人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示综合训练题

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7.3 * 复数的三角表示【教材课后习题】1.把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量.（1）6；（2）；（3）；（4）.2.把下列复数表示成代数形式：（1）；（2）；（3）；（4）.3.计算：（1）；（2）；（3）；（4）4.计算下列各式，并作出几何解释：（1）；（2）；（3）；（4）.5.（1）求证；（2）写出下列复数z的倒数的模与辐角：，，.6.求证：（1）；（2）.7.化简：（1）；（2）.8.设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.9.如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标，，求点C的坐标.10.如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明.【定点变式训练】11.复数的三角形式是(   )A. B.C.  D.12.设复数，，则(   )A. B. C. D.13.复数的辐角的主值是(   )A. B. C. D.14.已知复数，则是(   )A. B. C. D.15.若复数（i为虚数单位），则___________.16.已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为___________.17.将复数化为三角形式：______.18._____________.19.求下列复数的模和辐角主值.（1）；（2）.20.复数的代数形式与三角形式互化：（1）；（2）.
答案以及解析1.答案：（1），图见详解（2），图见详解（3），图见详解（4），图见详解解析：（1）6对应的向量如答图（1）中.，，，又，，.（2）对应的向量如答图（2）中.，，，又，，.（3）对应的向量如答图（3）中.，，，又，，.（4）对应的向量如答图（4）中.，，，又，，.2.答案：（1）（2）（3）-9（4）解析：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.3.答案：（1）9i（2）（3）（4）解析：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.4.答案：（1）-4，解释见解析（2），解释见解析（3），解释见解析（4），解释见解析解析：（1）原式.几何解释：设，，作与，对应的向量，，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，得到一个长度为4，辐角为的向量，则即为积所对应的向量.（2）原式.几何解释：设，，作与，对应的向量，，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为30°的向量，则即为积所对应的向量.（3）原式.几何解释：设，，作与，对应的向量，，然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.（4）原式几何解释：设，，作与，对应的向量，，然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.5.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证法1：左边右边.证法2：，，原等式成立.（2）解：时，，的模为，辐角为，.时，，的模为1，辐角为，.时，，的模为1，辐角为，.6.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）左边右边，原等式成立.（2）左边，原等式成立.7.答案：（1）（2）解析：（1）原式.（2）.8.答案：逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为；按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为-2i解析：将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为.将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为.9.答案：解析：将原点O平移至A点，建立平面直角坐标系，则，，将绕点A顺时针方向旋转得，在原平面直角坐标系xOy中，点C坐标为，即.10.答案：见解析解析：如答图：，，.设正方形边长为1，则，，，对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，.又，，即.11.答案：A解析：由，则.故选：A.12.答案：C解析：因为复数，，所以，，，，所以，故选：C.13.答案：C解析：因为，所以复数的辐角的主值是.故选：C.14.答案：B解析：由题设，，所以复数对应点为，故辐角在第四象限，且正切值为，则.故选：B.15.答案：解析：因为复数，其实部和虚部分别-1，，且在第二象限故幅角的正切值，由于，则，故答案为：.16.答案：解析：因为，，所以，所以复数z的辐角主值为.故答案为：.17.答案：解析：复数中，，设为复数的辐角主值，，又，，所以.故答案为：.18.答案：解析：.19.答案：（1）复数z的模为32，辐角主值为（2）复数z的模是，辐角主值为解析：（1），复数z的模为32，辐角主值为.（2），则复数的模.设辐角为，则，点在第四象限，，，.20.答案：（1）（2）解析：（1），，所以.（2），所以.