人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直随堂练习题

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8.6 空间直线、平面的垂直【教材课后习题】1.选择题（1）若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是(   ).A.  B.C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定（2）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“”是“且”的(   ).A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件（3）直线，互相平行的一个充分条件是(   ).A.，都平行于同一个平面 B.，与同一个平面所成的角相等C.，都垂直于同一个平面 D.平行于所在的平面2.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直.(   )（2）过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行.(   )（3）过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直.(   )（4）过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.(   )（5）过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(   )3.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明.（1）一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；（2）如果平面平面，平面平面，那么平面与平面所成的二面角和平面，与平面，所成的二面角相等或互补；（3）如果平面平面，平面平面，那么平面平面.4.如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点.求证：（1）；（2）；（3）.5.如图，在三棱锥中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证.6.如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少?7.如图，在三棱锥中，已知，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由.8.求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.已知：直线VA，VB，VC两两垂直.求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直.9.已知平面，且，，求证.10.已知平面，且，，，求证.11.如图，在正方体中，点P，Q分别为棱AD，的中点.求证.12.如图，m，n是两条相交直线，，是与m，n都垂直的两条直线，且直线l与，都相交，求证.13.求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等.已知：，，，，分别是a，b与所成的角..求证：.14.如图，在棱锥中，平面ABC，，，，你能判定，以及吗?15.如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，D是EF的中点.若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中，哪些棱与面互相垂直?16.求证：垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一一个平面.已知：，，求证：.17.求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.已知：平面，，，，，.求证：，，.18.如图，在三棱锥中，，，作出二面角的平面角，并求出它的余弦值.19.如图，在直三棱柱中，，，求证.20.如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.【定点变式训练】22.在正方体中，E为棱的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(   )A. B. C. D.23.如图，为正方体，给出以下结论：①平面；②；③平面.其中正确结论的个数是(   )A.0 B.1 C.2 D.324.在三棱锥中，，，，则二面角等于(   )A.30° B.45° C.60° D.90°25.设l是直线，，是两个不同的平面(   )A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则26.在长方体中，，，则直线与平面ABCD所成的角的大小为(   )A.30° B.45° C.60° D.90°27.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中错误是(   )A.平面 B.C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°D.异面直线MN与所成的角为60°28.在四边形ABCD中，，，，.如图，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成三棱锥.则在三棱锥中，下列结论正确的是(   )A.平面平面ABC B.平面平面BDCC.平面平面BDC D.平面平面ABC29.已知正三棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为(   )A. B. C. D.30.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，，，则直线与直线BD所成的角的大小为(   )A. B. C. D.31.如图，在三棱雉中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是______________.32.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下面四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面.其中正确结论的序号是_______________.（写出所有你认为正确结论的序号）33.已知矩形ABCD的边，，平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使，则a的值为_________________.34.如图，在四棱锥中，，，，平面底面ABCD，，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）底面ABCD；（2）平面PAD；（3）平面平面PCD.35.如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧棱，，求证：（1）平面ABCD；（2）平面平面PBD；（3）二面角的平面角的大小为45°.
答案以及解析1.答案：（1）D（2）A（3）C解析：2.答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）√解析：3.答案：（1）正确.设直线平面，直线平面，则存在直线，且.，.（2）正确.（3）错误，如长方体中两底面都与同一侧面垂直，但两底面不垂直.解析：4.答案：（1）见解析（2）见解析（3）见解析解析：（1）如图，取AB的中点D，连接CD，DP，P为的中点，.又Q为的中点，，，四边形CDPQ为平行四边形，.又，D为AB的中点，，.（2）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC.，由（1）知，.又，.（3）由（1）（2）知，，，而.平面.平面，.5.答案：见解析解析：底面ABC，底面ABC，.O在CD上，.又，平面POC，平面POC，.6.答案：90°解析：平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°.7.答案：平面VBA和平面VBC垂直.理由见解析解析：平面VBA和平面VBC垂直.因为，，所以平面ABC，所以.因为，所以.因为，所以平面VAB.又平面VBC，所以平面平面VBC.8.答案：见解析解析：如图所示，，，，平面VBC.又平面VAC，平面平面VBC.同理可得，平面平面VAB，平面平面VBC.9.答案：见解析解析：如答图，设，在平面内作直线.因为，所以.过a作一个平面与平面相交于直线b，由，得，所以.又，所以.10.答案：见解析解析：在上分别取点M，N，过点M，N分别作与的交线e和m的垂线c，d，如图所示，则，，所以，所以.因为，所以，所以.11.答案：见解析解析：取的中点R，连接QR，AR，.Q是的中点，.而..四边形ABQR是平行四边形，.在正方形中，P、R分别是AD、的中点，，.，，，即..12.答案：见解析解析：因为m，n是相交直线，所以它们可以确定一个平面记为，则，，，，，同理...13.答案：见解析解析：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面的同侧.且，连接AB和.因为，，所以四边形是平行四边形.所以.又，，所以.设，分别是平面的垂线，的垂足，连接，，则.在和中，因为，，所以，所以，.14.答案：能判定，理由见解析解析：能判定以及.理由如下：平面ABC，平面ABC，，，，.，平面VDO.平面VDO，.又，.15.答案：平面GEF，平面GSE，平面GSF解析：折前，，，折后，，.又SG，EG，FG交于一点G.平面GEF，平面GSE，平面GSF.16.答案：见解析解析：如图，过直线a作两平面、，使，，，.，，.，，，，.，.又与都在内且相交，.17.答案：见解析解析：如图所示，因为，，，所以，又，，所以，，所以，，同理可得.18.答案：解析：如图所示，取AB的中点M，连接VM，CM.，，，，为二面角的平面角.根据已知条件可得，，，，二面角的余弦值等于.19.答案：见解析解析：直三棱柱中，，四边形为正方形.连接，则.直棱柱中，底面ABC，底面ABC，.，即.又，平面.平面，.又，平面.平面..20.答案：直线DE与平面VBC垂直.理由见解析解析：直线DE与平面VBC垂直.理由：由VC垂直于所在平面，知，，即是二面角的平面角.由AB是的直径，知.因此，平面平面VBC.由D，E分别是VA，VC的中点，知，故.由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直.21.答案：垂直，证明见解析解析：垂直.证明如下：底面ABCD，平面ABCD，.又底面ABCD为正方形，，而.平面PAB.平面PAB，.，E为PB的中点，.而，平面PBC.平面AEF，平面平面PBC.22.答案：C解析：在正方体中，，所以异面直线AE与CD所成的角即为.设正方体的边长为2a，则由E为棱的中点，可得，所以.易知，则.故选C.23.答案：D解析：由正方体的性质得，所以结合线面平行的判定定理可得，平面，所以①正确.连接AC，由正方体的性质得，.又，即平面，所以，所以②正确.由正方体的性质得，由②可得，所以，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理可得平面，所以③正确.故选D.24.答案：C解析：取AB中点O，连接VO，CO.在三棱锥中，，，，，，是二面角的平面角.，，，为等边三角形.，二面角等于60°.故选C.25.答案：B解析：A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；B选项中，，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知，故B正确；C选项中，若，，则或，故C错误；D选项中，若，，则l与相交、平行或，故D错误.故选B.26.答案：C解析：如图所示，连接AC，由题可知平面ABCD，故为直线与平面ABCD所成的角，.又因为，所以.故选C.27.答案：D解析：如图，连接BD，，由M，N分别为AC，的中点知.因为平面，平面，所以平面，故A正确.易知平面，平面，所以.又，所以，故B正确.易知MN与平面ABCD所成的角即为与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确.易知MN与所成角即为与所成角，为45°，故D错误.故选D.28.答案：D解析：在平面图形中，，折起后仍然满足.因为平面平面BCD，所以平面ABD，.又因为，所以平面ADC，所以平面平面ABC.29.答案：C解析：如图所示，过点S作底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则，点O为等边三角形ABC的中心.延长AO交BC于点D，连接SD.则，.为侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角.正三棱锥的所有棱长均为2，，.在中，.故选C.30.答案：A解析：连接AC交BD于点O，连接，，.，，，，.底面ABCD是菱形，，.，，平面，，直线与直线BD所成的角的大小为.故选A.31.答案：解析：不妨设，，OB，OC两两垂直，.，平面OBC，.设点O到平面ABC的距离为h.，，解得.又是AB的中点，，与平面ABC所成的角的正弦值为，与平面ABC所成角的余弦值为.32.答案：①②④解析：连接AC，，，，.因为，，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.同理可证平面，又因为平面，平面，且，所以平面平面.因为平面，所以平面，故②正确.因为，所以平面，所以点P到平面的距离不变.又因为，所以三棱锥的体积不变，故①正确.连接DB，，DP.因为，所以当P为的中点时才有，故③错误.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.又因为，，所以平面.连接，又因为平面，所以.同理可证.又因为平面，平面，，所以平面.又因为平面，所以平面平面，故④正确.33.答案：解析：平面ABCD，平面ABCD，.边上存在点M，使，且，平面PAM.平面PAM，，以AD为直径的圆和BC相交.，圆的半径为.点M是唯一的，和以AD的中点为圆心，半径为的圆相切，，即.34.答案：（1）见解析（2）见解析（3）见解析解析：（1）平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，，底面ABCD.（2），，E是CD的中点，，且.四边形ABED为平行四边形..又平面PAD，平面PAD，平面PAD.（3），四边形ABED为平行四边形，，.由（1）知底面ABCD，.，平面PAD..和F分别是CD和PC的中点，，.，，平面BEF.平面PCD，平面平面PCD.35.答案：（1）见解析（2）见解析（3）见解析解析：（1），，，，.同理可证.，平面ABCD.（2）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，.四边形ABCD是正方形，.又，平面PBD.又平面PAC，平面平面PBD.（3）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，.又，，平面PDC.平面PDC，.为二面角的平面角.在中，，.二面角的平面角的大小为45°.