人教版八年级数学下册《勾股定理》强化练习(2份打包，教师版+原卷版)

人教版八年级数学下册

《勾股定理》强化练习

一              、选择题

1.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需(   ).

A.6秒       B.5秒       C.4秒       D.3秒

【答案解析】C

2.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是(    )尺

A.3.5      B.4     C.4.5      D.5

【答案解析】C

3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(  )

A.12 m           B.13 m        C.16 m            D.17 m

【答案解析】D.

4.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160km，BC＝120km，则A，C两村之间的距离为(    )

A.250km                       B.240km                         C.200km                       D.180km

【答案解析】C.

5.以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为(    )

A.9 cm2      B.13 cm2       C.18cm2      D.24 cm2

【答案解析】C.

6.在Rt△ABC中，若斜边AB＝3，则AC2＋BC2等于(　　)

A.6                         B.9                       C.12                         D.18

【答案解析】B

7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.已知DC＝8，AD＝4，则图中长为4的线段有(  )

A.4条        B.3条          C.2条          D.1条

【答案解析】B

8.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n(n＞1)，那么它的斜边长是(　　)

A.2n          B.n＋1          C.n2﹣1              D.n2＋1

【答案解析】D.

9.如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(　　)

A.3          B.6         C.3          D.

【答案解析】A.

10.在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(     )

A.10                            B.8                           C.6或10                         D.8或10

【答案解析】C

11.如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是(　　)

A.6cm        B.7cm      C.8cm        D.9cm

【答案解析】B.

12.直角三角形的两直角边为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总是成立的是(　　)

A.       B.   C.a2＋b2＝2ah         D.

【答案解析】A.

二              、填空题

13.如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则(a＋b)2的值为　   　.

【答案解析】答案为：79.

14.公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是　   　．

【答案解析】答案为：4.

15.如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(5，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为         .

【答案解析】答案为：5.

16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AC的长为　  　.(结果保留根号)

【答案解析】答案为：9.

17.将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F.

则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE＋CF＝EF；④BC2＝4S四边形AEDF.

其中正确结论是　   　(填序号).

【答案解析】答案为：①②④.

18.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点(不与点B重合)，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是         ．

【答案解析】答案为：1．

解析：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝4，

由轴对称的性质可知：BC＝CB′＝3，

∵CB′长度固定不变，

∴当AB′＋CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．

根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，

∴AB′＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．

三              、解答题

19.在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

【答案解析】解：公路AB需要暂时封锁．

理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．

因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，

所以根据勾股定理有AB＝500米．

因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC

所以CD＝＝＝240米．

由于240米＜250米，故有危险，

因此AB段公路需要暂时封锁．

20.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)

【答案解析】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，

∴AB＝12(m)，

∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，

∴CD＝13﹣0.5×10＝8(m)，

∴(m)，

∴)(m)．

答：船向岸边移动了)m．

21.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．

(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；

(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．

【答案解析】证明：(1)∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

在△BDG和△ADC中，

，

∴△BDG≌△ADC(SAS)，

∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，

∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，

∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF，

∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，

∴∠EDG＋∠FDA＝90°，

∴DE⊥DF；

(2)解：∵AC＝10，

∴DE＝DF＝5，

由勾股定理得，EF＝＝5.

22.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：

操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．

（1）如果AC=6cm，BC=8cm，可求得△ACD的周长为         ；

（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，可求得∠B的度数为            ；

操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=9cm，BC=12cm，请求出CD的长．

【答案解析】解：操作一：（1）14   （2）35º

操作二：∵AC=9cm，BC=12cm，

∴AB=15（cm），

根据折叠性质可得AC=AE=9cm，

∴BE=AB-AE=6cm，

设CD=x，则BD=12-x，DE=x，

在Rt△BDE中，由题意可得方程x2+62=（12-x）2，

解之得x=4.5，

∴CD=4.5cm．

23.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°.

(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM和△BON全等：

(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2.

【答案解析】 (1)证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，

∴∠AOB＋∠AON＝∠MON＋∠AON，即∠AOM＝∠BON，

∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OM＝ON，

∴△AOM≌△BON(SAS)，

∴AM＝BN；

(2)证明：连接AM，

∵∠AOB＝∠MON＝90°，

∴∠AOB-∠AON＝∠MON-∠AON，

即∠AOM＝∠BON，

∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OM＝ON，

∴△AOM≌△BON(SAS)，

∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，

∴∠MAN＝90°，

∴AM2＋AN2＝MN2，

∵△MON是等腰直角三角形，

∴MN2＝2ON2，

∴BN2＋AN2＝2ON2.

24. (1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：①∠AEB的度数为         ；②线段AD、BE之间的数量关系是          ．

(2)拓展研究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．

(3)探究发现：

图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

【答案解析】解：(1)①如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．

∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)．

∴∠ADC＝∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝60°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝120°．

∴∠BEC＝120°．

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE．

(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．

∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)．

∴AD＝BE＝AE﹣DE，∠ADC＝∠BEC，

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝45°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝135°．

∴∠BEC＝135°．

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．

∴AB＝17；

(3)如图3，由(1)知△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

∵∠CAB＝∠CBA＝60°，

∴∠OAB＋∠OBA＝120°

∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，

如图4，同理求得∠AOB＝60°，

∴∠AOE＝120°，

∴∠AOE的度数是60°或120°．