高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用综合训练题

9.2 正弦定理与余弦定理的应用——2022-2023学年高一数学人教B版2019必修第四册同步课时训练

1.如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了(   )（参考数据：，，）

A.45.5km B.51.5km C.56.5km D.60.5km

2.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东35°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东65°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东70°，那么B，C两点间的距离是(   )

A.海里 B.海里 C.海里 D.海里

3.已知轮船A和轮船B同时从C岛出发，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）.若A船的航行速度为，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距(   )nmile.

A. B.40 C. D.

4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为(   )

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

5.在中，若，则的形状是(   ).

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

6.在中,内角所对的边长分别是,若,则的形状为(   )

A.等腰三角形  B.直角三角形

C.等腰直角三角形  D.等腰三角形或直角三角形

7.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2海里的C处有我方一艘辑私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，B在C的正东方向，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇最快追上走私船时，行驶方向为(   )

A.北偏东30° B.北偏东45° C.北偏东60° D.北偏东75°

8. （多选）如图，在平面四边形ABCD中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是(   ).

A.  B.四边形ABCD的面积为

C.  D.四边形ABCD的周长为

9. （多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P在BC边上且为等腰三角形，，若，为钝角，则(   )

A.  B.

C.  D.

10. （多选）如图，在平滑的固定木板上有三个洞，取三条绳子系于一点O，穿过洞各挂一只猴子玩具，且呈现平衡状态.已知挂在洞下方的猴子玩具的质量分别为分别记作，则下列说法正确的是(   )

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

11.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得.已知山高，则山高__________m.

12.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为，则塔高为___________米.

13.如图，在中，，点D在AB的延长线上，，则CD长的最小值为________________.

14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B.

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求C；

(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.

答案以及解析

1.答案：C

解析：在中，由，，所以，

由正弦定理，即，

所以，，所以.

故选：C.

2.答案：C

解析：如图，作出，由题意可知，

海里，，，则，

因为，

所以海里，

即B，C两点间的距离是海里.

故选：C.

3.答案：B

解析：由图所示：由题意可知：，，，

由正弦定理可知：，

所以，所以，

即此时A，B两船相距40nmile；

故选：B.

4.答案：A

解析：由正弦定理可得，得.

，，整理得，得B为钝角，

为钝角三角形.

5.答案：A

解析：因为，

所以由正弦定理，可得，

又，所以，

因为，所以，

又因为，所以，所以为直角三角形.故选A.

6.答案：D

解析：由余弦定理得,

,代入原式得,

所以,所以,

解得或,则为等腰三角形或直角三角形.

7.答案：C

解析：如图，设需要t小时追上走私船，由余弦定理得，所以.在中，由正弦定理得，即，所以，则，所以辑私艇沿北偏东60°方向追击.故选C.

8.答案：ACD

解析：在中，可得，

在中，可得，

可得，即，

因为，所以，可得，

又因为B为三角形的内角，所以，所以，所以A正确；

因为，所以B不正确；

在中，可得，所以C正确；

四边形ABCD的周长，所以D正确.故选ACD.

9.答案：BC

解析：由题意得，所以，

解得或(舍)，

因为，所以，故选项A错误；

所以为等边三角形.由于是的外角，所以，

设.

在中，，即，所以，

所以，故选项B正确；

故，即，

所以，故选项C正确；

取PC的中点为D，则，故选项D错误.

综上所述，故选BC.

10.答案：ABD

解析：设，由题意知，如图，构成三角形，易知A、B正确，对于C，在中，易知，由正弦定理知，C错误.对于D，，所以，即，解得，D正确.故选ABD.

11.答案：150

解析：在中，，，，，

在中，，，，

由正弦定理可得，即，解得，

在中，.

故答案为150.

12.答案：15

解析：，米.，米.在中，由余弦定理得，由题意知，，.在中，（米）.

13.答案：

解析：在中，由正弦定理得，，

在中，由余弦定理得，，且，

，的最大值为1，

的最小值为.

14.答案：(1)

(2)

解析：(1)由题设及正弦定理得.

因为，所以.

由，可得，

故.

因为，故，因此.

(2)由题设及(1)知的面积.

由正弦定理得.

由于为锐角三角形，故，

由(1)知，所以，故，

从而.

因此，面积的取值范围是.

15.答案：(1).

(2)取值范围是.

解析：(1)，由已知条件得，

由，得，

由，得，

.

(2)由正弦定理得，

，其中，

又，

若存在最大值，即有解，即，

解得，即m的取值范围是.