高考数学二轮专题《空间向量二面角问题》解答题专项练习(2份打包，教师版+原卷版)

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如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小.
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB＝eq \r(3)，EF＝1，BC＝eq \r(13)，且M是BD的中点.
(1)求证：EM∥平面ADF；
(2)求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小.
如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形， ∠ABC＝∠ABE＝90°，四边形DCEF为平行四边形，平面ABCD⊥平面DCEF.
(1)求证：平面ADF⊥平面ABCD；
(2)若△ABD是边长为2的等边三角形，且异面直线BF与CE所成的角为45°，求点E到平面BDF的距离.
如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P﹣EF﹣B的大小为60°．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)当点E为线段AB靠近B点的三等分点时，求直线PC与平面PEF所成角θ的正弦值．
如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)所示.
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝2，AC＝2eq \r(2).M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ＝eq \f(1,3)QC1.
(1)证明：PQ∥平面ABC；
(2)若直线BA1与平面ABM所成角的正弦值为eq \f(2\r(15),15)，求∠BAC的大小.
如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq \f(π,2)，AB＝BC＝1，AD＝2，E是线段AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2所示.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求直线BD与平面A1BC所成角的正弦值.
如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，FB＝eq \r(10)，M，N分别为EF，AB的中点．
(1)求证：MN∥平面FCB；
(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．
如图1，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝eq \f(1,2)EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥底面AEFB，G是EF的中点，如图2.
(1)求证：AG⊥平面BCE；
(2)求二面角C﹣AE﹣F的余弦值．
如图所示，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A­DC­B.
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由.
(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出eq \f(BP,BC)的值；如果不存在，请说明理由.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面APD⊥平面ABCD，PA＝PD，E在AD上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2.
(1)求证：平面PEC⊥平面PBD；
(2)设直线PB与平面PEC所成的角为eq \f(π,6)，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值.
如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝eq \f(π,3).
(1)求证：BC1⊥平面ABC；
(2)设eq \(CE,\s\up15(→))＝λeq \(CC1,\s\up15(→)) (0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值.
如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，DC＝DA＝2AB＝2eq \r(5)，点E为AD的中点，BD∩CE＝H，PH⊥平面ABCD，且PH＝4．
(1)求证：PC⊥BD；
(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B﹣DF﹣C的余弦值是eq \f(\r(15),15)？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥P­ABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝2，且平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：平面AEF⊥平面PCD；
(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．
如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝AA1＝2，D为棱CC1的中点，AB1∩A1B＝O.
(1)证明：C1O∥平面ABD；
(2)设二面角D­AB­C的正切值为eq \f(\r(2),2)，AC⊥BC，E为线段A1B上一点，且CE与平面ABD所成角的正弦值为eq \f(2\r(2),3)，求eq \f(BE,BA1)的值.
已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2，AD＝eq \r(2)，AB＝1，如图①所示，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置得三棱锥P­BCD，如图②所示．
(1)求证：BD⊥PC；
(2)当平面PBD⊥平面PBC时，求二面角P­DC­B的大小．
已知：在▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2eq \r(2)，AD＝2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF＝eq \r(2)，M为线段BC的中点．
(1)求证：直线MF∥平面BED.
(2)求平面BED与平面FBC所成角的正弦值．