高考数学二轮专题大题优练9 导数与零点有关的问题((2份打包，教师版+原卷版)

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     例1．已知函数，．（1）求函数的极值点；（2）若关于的方程至少有两个不相等的实根，求的最大值．【答案】（1）极大值点为，不存在极小值点；（2）最大值为．【解析】（1）函数的定义域为，．令，得或(舍)．当时，，∴单调递增；当时，，∴单调递减，则当时，函数取得极大值，故函数的极大值点为，不存在极小值点．（2）由可得，∴．设，则，令，则，令，可得或(舍)．所以在上，，单调递减；在上，，单调递增，所以函数的最小值为．又，所以当时，，又当时，，因此必存在唯一，使得，当变化时，，，的变化情况如表：1+0-0++0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时，有极大值，当时，有极小值．又，，且当时，，所以，可得时，直线与函数至少有两个交点，所以的最大值为．例2．已知函数，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数．【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析．【解析】（1）当时，，，，，所以曲线在处的切线方程为．（2）函数的定义域为，．①当时，，无零点；②当时，，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值．当，即时，无零点；当，即时，只有一个零点；当，即时，，，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，因此当时，，．因为，所以，于是．又在上单调递增，，且，所以在上有唯一零点．，当时，，令，其中，则，令，，则，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，，故当时，．因为，所以，即，所以．由，得，即，得，于是．又，，在上单调递减，所以在上有唯一零点．故时，有两个零点；③当时，由，得，则，又当时，，所以，无零点．综上可知，或时，无零点；时，只有一个零点；时，有两个零点．例3．已知在有零点．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），．①当时，在时恒成立，在上递增，，不符合题意；②当时，，当时，；当时，，在上递增，在上递减，，当时，，满足题意；③当时，在时恒成立，在上递减，，不符合题意，综上所述，的取值范围是．（2）由（1）知，，要证明，只要证明，设，，，，即，另一方面：要证明，只要证明，即证明，，即证，设，，则，所以当时，，即，所以成立．  
1．已知函数(为自然对数的底数)．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，函数有两个零点，求m的取值范围．            2．已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求证：在区间上有唯一极小值点．                3．设，已知函数，．（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：函数有唯一零点．                 4．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．              5．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，函数有且只有三个零点．(参考数据：，，)               6．已知函数（ …是自然对数的底数）．（1）若在内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．     
1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）时，，且，而，，所求切线方程为，即．（2）由，得，设，，依题意只需函数与直线在上有两个交点．，当时，，则为增函数，设与相切时的切点为，而切线斜率，则切线方程为，当切线过时，，即，即，得或(舍)，此时，切线斜率，其切线方程为，斜率，又恒在直线上，当倾斜角变大时，由切线变成割线，满足有两个交点，则斜率，故函数有两个零点，则．2．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，，则，∴，又，∴所求切线方程为，即．（2）由题意得．令，则，因为和均在上单调递增，所以在上单调递增，又，，∴存在唯一实数，使得，则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，又，则，即，即，，∴，，，∴存在唯一实数，使得，∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，∴在区间上有唯一极小值点．3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】，令，（1）证明：要证原不等式，只需证：当时，，则对任意的恒成立．所以，函数在上单调递增，因此，即原不等式成立．（2）（i）由（1）可得当时，，故函数在上没有零点；（ii）当时，，令，，则递增，且，，在上存在唯一零点，记为，当，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增，，，，，在上存在唯一零点，当时，．故当，；当时，，在上递增，在上递减，且．令，当时，则，函数在上递增，，，取，且，则，则有，又，由零点存在定理可得，在上存在唯一的零点．综上可证：函数在上有唯一零点．4．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1）因为，所以，且．令，得；令，得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由题意，，因为函数有且只有一个零点，所以方程有且只有一个实数根．两边同时除以，得．令，则，即，设，则，，由题意，函数有且只有这一个零点．令，．（i）当，即时，，，此时单调递增，符合题意；（ii）当时，方程有两根，设为，则，，所以，所以当时，；当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．①当时，，所以，即．又因为时，，所以在上存在零点，所以此时不符合题意；②当时，因为，，所以，所以，由，当时，，可得在上存在零点，所以此时不符合题意；③当时，易得，，由，当且无限接近于0时，，可得在上存在零点，所以此时不符合题意，综上，实数的取值范围是．5．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：．若，由，得．由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增；若，由，得或．当时，由，得；由，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，由，得；由，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增．（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在，上单调递增，所以，，令，则．令，则，所以在上单调递增，所以，所以，从而在上单调递减，所以，即，又当时，，即，又，该式关于单调递减，所以，所以，因为在上单调递增，且，所以函数在区间上有且只有一个零点．令，显然单调递减，所以，所以．因为在上单调递减，且，所以函数在区间有且只有一个零点．，该式关于单调递减，所以．因为在上单调递增，且，所以函数在上有且只有一个零点．综上所述：当时，函数有且只有三个零点．6．【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】（1）由题意可求得，因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，即在上有两个不相等的变号根．设，则．①当时，，，所以在上单调递增，不符合条件．②当时，令得，当，即时，，，所以在上单调递减，不符合条件；当，即时，，，所以在上单调递增，不符合条件；当，即时，在上单调递减，上单调递增，若要在上有两个不相等的变号根，则，解得，综上所述，．（2）设，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．（ⅰ）当时，，则，所以．因为，，所以，因此在上单调递增；（ⅱ）当时，，则，所以．因为，，，，即，又，所以，因此在上单调递减，综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，当，即时，①当时，，要使，可令，即；②当时，，要使，可令，即，所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，当时，关于x的方程根的个数为1，当时，关于x的方程根的个数为2．