高考数学二轮专题大题优练10 导数虚设零点问题(2份打包，教师版+原卷版)

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     例1．已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值集合．【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1）由题意知：，且，解得，∴．∵的定义域为，即，且函数在上为增函数，，即当时，；当时，，∴的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）（法一）且定义域为，①当时，，此时在上单调递减，当时，，显然不符合题意；②当时，，不合题意；③当时，令，得，即．令，则，所以在上单调递增，则存在，使得，两边同时取对数可得．当时，，；当时，，，∴．令，则．由，得；由，得，从而，所以．又，所以，∴，故的取值集合为．（法二），令，则等价于．设，则，①当时，，此时在上单调递减，因为，所以不恒成立．②当时，在上单调递增，在上单调递减，则．令，则．由，得；由，得，从而，所以．又，所以，∴，故的取值集合为． 
1．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求正整数的最大值．参考数据：．【答案】（1）答案见解析；（2）4．【解析】（1），因为，则，当，即时，对恒成立，∴在上单调递减．当，即时，令，得，由，解得；由，解得，所以在单调递增，在单调递减，综上所述，当，在上单调递减；当时，在单调递增，在单调递减．（2）∵当时，，即对恒成立．令，得，令，则，因为，所以，是增函数，因为，，所以，使，由，得，当，，单调递减；当，，单调递增，所以时，取得最小值，为，所以，又为正整数，所以，所以正整数的最大值为4．2．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：．【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间；（2）证明见解析．【解析】（1）函数的定义域为．当时，，则．记，则．显然在上单调递减，且，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，即恒成立，所以函数在上单调递减．所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．（2）要证，只需证．①当时，，，，不等式显然成立；②当时，，，由，可得，于是原问题可转化为求证，即证．令，则，令，则，易知在上单调递增，又，，所以存在使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，，即，综上，．3．已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）若当时，，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），当，定义域为，令，得；，得，在上单调递增，在上单调递减；当，定义域为，令，得；，得，在单调递增，在单调递减．（2）要证，，即证，令，则，设，则，令，其中，．当时，，此时函数单调递减；所以，，则对任意的，，所以，函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，存在，使得，可得．当时，，即，此时函数单调递减；当时，，即，此时函数单调递增．，令，，，则函数在时单调递减，所以，，所以，，因此，对任意的，，即．4．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2），若为极值点，其中为函数的导函数．证明：．【答案】（1）单调增区间为和，函数的单调减区间；（2）证明见解析．【解析】（1），∵的定义域为，∴，由，可得或；由，可得，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．（2）∵，∴，令，则，又在时恒成立，所以在是单调增函数，又∵，，则存在，使得，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增．所以为的极值点，则，两边取对数可得，即，∴，令，∴在上恒成立，∴在上单调递减，所以，∴．5．已知函数．（1）求的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）．【解析】（1），令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，无最大值．（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以．设，易知在上单调递增．因为，，所以存在，使得，即．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，从而，故的取值范围为．