北师大版初中数学八年级下册第二单元《一元一次不等式与一元一次不等式组》（困难）（含答案不含解析） 试卷

北师大版初中数学八年级下册第二单元《一元一次不等式与一元一次不等式组》（困难）（含答案解析）

考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列给出四个式子，；；；，其中是不等式的是(    )

A.   B.   C.   D.  

2.  ，满足约束条件，若取得最大值的解不唯一，则实数的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

3.  设，则，，之间的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知点关于轴的对称点在第三象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  对于，给出如下定义：若点是边上一定点，且以为圆心的半圆满足：所有点均在的内部或边上；半径最大，则称此半圆为边上的点关于的最大内半圆．若点是边上一动点不与、重合，则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边关于的内半圆．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动不与重合，将关于的内半圆半径记为，当：时，点的坐标的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  在平面直角坐标系中和的图象有两个交点，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  关于的不等式组有三个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  把一些笔记本分给几个学生，如果每人分本，那么余本；如果前面的每个学生分本，那么最后一人分到了，但不到本，则共有学生________．

14.  若解集为，则_____．

15.  若不等式的解集为，则关于的方程的解为_______

16.  根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．每块型钢板的面积比每块型钢板的面积小．方案一总面积记为，方案二总面积记为，则______填“，或”．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

当时，用“”号连接下列各式：，，，

当时，用“”号连接下列各式：，，．

18.  本小题分

我们知道完全平方公式是：，

已知，，求的值．

因为 可得到： 即。

这是重要的基本不等式： 当时，且是定值时， 有最小值是

已知：，请利用基本不等式，求的最小值，并直接写出此时的值。

19.  本小题分
用等号或不等号填空：
比较与的大小：
当时， ______
当时， ______
当时， ______
任选取几个的值，计算并比较与的大小；
无论取什么值，与总有这样的大小关系吗？试说明理由．

20.  本小题分

已知的整数解为，，．

当，为整数时，求，的值

当，为实数时，求，的取值范围．

21.  本小题分

对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等量距离”为．

请分别判断函数，，有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”；

已知函数．

若其“等量距离”为，求的值；

若，求其“等量距离”的取值范围：

若“等量距离”，直接写出的取值范围．

22.  本小题分

春耕来临之际，某小型机械加工厂为满足不同农民用户的需求，加工、两种不同型号的小型播种机．已知加工台类小型播种机和台类小型播种机需要元成本，加工台类小型播种机和台类小型播种机需要元成本．该工厂又把加工好的小型播种机出售给某经销商，每台类小型播种机售价元，每台类小型播种机售价元．该工厂每天可以生产 台类小型播种机或者台小型播种机，且每月加工的类小型播种机台数不少于类小型播种机台数的倍注：每月加工的、两类小型播种机的台数均为整数假设工厂每月有天加工小型播种机，其中加工类小型播种机天，加工、两类小型播种机的月利润为元．

求该工厂加工一台类小型播种机和一台类小型播种机的成本分别是多少元？

求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；

每月加工类小型播种机多少台时，该工厂月利润最大，最大利润是多少元？

23.  本小题分
如图．对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：若存在点不与点重合，且直线不与坐标轴平行或重合，过点作直线轴，过点作直线轴，直线，相交于点当线段，的长度相等时，称点为点的等距点，称三角形的面积为点的等距面积．例如：如图，点，点，因为，所以点为点的等距点，此时点的等距面积为．
点的坐标是，在点，，中，点的等距点为点______．
点的坐标是，点的等距点在第四象限；
若点的坐标是，求此时点的等距面积；
若点的等距面积不小于求此时点的横坐标的取值范围．

24.  本小题分
在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
填空：______，______；并在图中补全该函数图象；

根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的写“对”，错误的写“错”；
该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴．______
该函数有最大值和最小值．当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值．______
当或时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．______
已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集保留位小数．

25.  本小题分
已知一次函数的图象交轴和轴于点和，另一个一次函数的图象交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点，
当，为何值时，和的图象重合；
当，且在时，则成立．求的取值范围；
当的面积为时，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

根据不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．逐一进行判断即可．

【解答】

；；；，是不等式，

故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．
由题意作出已知条件的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得．

【解答】
解：如图，由知的几何意义是直线在轴上的截距，


故当时．取得最大值的解唯一，因此不满足；
当时，要使取得最大值的解不唯一，直线与直线平行，则；
当时，要使取得最大值的解不唯一，直线与直线平行则．
故选：

3.【答案】 

【解析】

【分析】
首先根据已知条件将、、变形，然后由不等式的基本性质，结合的条件即可求解．
本题主要考查了不等式的基本性质及分式的恒等变形．
不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】
解：，
，，．
，
，
．
，
，
，
即．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数的性质，不等式的基本性质，解题的关键是通过设参数的方法求出的取值范围．先设，用表示出、、的值，再由，，为非负数即可求出的取值范围，把所求代数式用的形式表示出来，根据的取值范围即可求解．
【解答】
解：设，
则，，，
；；，
；；；
解得；；；
，
，把，，，代入得：
，
，
解得，．
的最大值是；最小值是，
最大值和最小值的和为：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了关于轴对称点的性质以及不等式组的解法，正确得出点所在位置是解题关键．
直接利用关于轴对称点的性质结合第二象限内点的坐标特点得出的取值范围进而得出答案．
【解答】
解：点关于轴的对称点在第三象限，
点在第二象限，
，
解得：，
如图所示：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
关于的不等式的解集为，
，
，
，
得：，
，
把代入得：，
，
把，代入，得：
，
解得，．
故选：．
根据不等式的性质，可得、的关系，求出，的值，代入，解不等式可得答案．
本题考查了不等式的解集，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

7.【答案】 

【解析】解：设购进这种水果千克，进价为元千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高，则售价为元千克，根据题意得：购进这批水果用去元，但在售出时，水果只剩下千克，售货款为元，根据公式：利润率售货款进货款进货款可列出不等式：

解得，

超市要想至少获得的利润，这种水果的售价在进价的基础上应至少提高．

故选B．

8.【答案】 

【解析】解：当时，原不等式变形为：；
当时，原不等式变形为：．
故选：．
本题可对，与的情况进行讨论．不等式两边同时除以一个正数不等号方向不变，同时除以一个负数不等号方向改变，据此可解本题．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意同除时是否要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变．在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，
当时，设与切于点，过作的切线，交于，作于，连接，如图：

在直线上，
，
，
，
当时，，
，
根据对称性知此时，
当时，如图：

，
点在上，
由图可知，此时，
当时，，只需；
当时，作于，

，，
，
时，，
，
由∽得，
，
解得
当时，，，
，此等式不成立，即的半径总小于，
，
综上所述：或，
故选：．
与轴正半轴的夹角是，当时，与切于点，当时，分别求出和的临界值，从而确定的范围，当时，同样方法求得．
本题考查了新定义的阅读理解，主要转化为与圆有关的位置和计算，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键作出图形和分类讨论思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，一次函数与一元一次不等式的关系等知识，关键是用分类讨论进行讨论；先确定的图象，由的函数图象一定过定点，然后讨论和的图象有一个交点和无交点时的取值范围，从而确定和的图象有两个交点时的取值范围即可．
【解答】
解：如图所示，


因为的函数图象一定过定点，
所以当中的时与直线有一个交点，
当时，和 的图象有一个交点，
当时，和 的图象无交点，
当直线过点时，，此时和 的图象只有一个交点，
故当时，和 的图象无交点，
由上可得，和 的图象有两个交点时，
的取值范围为： 
故选A．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次不等式组的求解，先将不等式组的每一个不等式求解，然后取公共部分作为不等式组的解集先求出不等式组的解集，根据不等式组有三个整数解，即可求得，进行求解即可．
【解答】
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
关于的不等式组有三个整数解，
，
解得：．
故选A．  

12.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组恰有三个整数解，且
这三个整数解为、、，
，
解得，
故选B．
先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数的取值范围．
此题考查的是一元一次不等式组的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．
 

13.【答案】人 

【解析】

【分析】
此题主要考查了不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键．根据每人分本，那么余本，如果前面的每个学生分本，那么最后一人就分不到本，得出，且，分别求出即可．
【解答】
解：假设共有学生人，
根据题意，得，解得．
因为是整数，
所以．
故答案为人．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式的解集，利用了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】
解：由的解集为，得
，
解得，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元一次不等式的解集的求法和一元一次方程的求法，解答此题可先由的解集为求得的值，然后将的值代入方程解之即可求出方程的解．
【解答】
解：的解集为，
，
，
，
，
解得：，
将代入方程中可得：，
解得：，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，
方案一：用块型钢板，用块型钢板，用式子表示为：；
方案二：用块型钢板，用块型钢板，用式子表示为：，


，
，
，
．
故答案为：．
设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，方案一：用块型钢板，用块型钢板，用式子表示为：；方案二：用块型钢板，用块型钢板，用式子表示为：，用减去，结果与比较即可；
本题考查了探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”，读懂方法，计算化简即可．本题难度中等略大．
 

17.【答案】解：因为，不妨令，
此时，，，

所以．

因为，

所以，或，．

当，时，不妨取，，此时
，
，
．

所以．

当，时，不妨取，，此时

，

，

．

所以．

综上所述，当时，总有．

【解析】当某些式子通过观察不容易比较大小时，往往采用特殊值法，先求出式子的值，再进行比较．
 

18.【答案】解：，，，
，
解得；
，
；

，
，
；
的最小值为，
此时，
，
解得或． 

【解析】本题主要考查不等式的性质，完全平方公式．
由完全平方公式知，再将已知条件代入计算可求解；
先将表示的代数式通过配方法化为，再利用不等式的性质可求解的最小值，进而可得，解方程进而可求解值．
 

19.【答案】解：比较与的大小：
当时，
当时，
当时，，
故答案为：，，；
当时，，
当时，；
证明：，
． 

【解析】根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了不等式的性质，利用完全平方公式是非负数是解题关键．
 

20.【答案】解：， 
，． 

【解析】略
 

21.【答案】解：函数没有“等量值”，函数有和两个“等量值”，其“等量距离”为，
函数有和两个“等量值”，其“等量距离”为；
函数的“等量距离”为零，
方程有两个相等的实数根，
，
解方程，得，，
，
，
函数的“等量距离”的取值范围为，
的取值范围为或． 

【解析】本题主要考查了不等式求解，解二元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握不等式求解，解二元一次方程的计算，
根据已知及解二元一次方程的计算，可知函数，，的“等量值”及“等量距离”；
根据已知及不等式求解，解二元一次方程的计算，求出的值，求出，求其“等量距离”的取值范围，直接写出的取值范围．
 

22.【答案】解：设加工一台类小型播种机的成本为元，一台类小型播种机的成本为元，
根据题意得：，
解得：，
答：加工一台类小型播种机的成本为元，一台类小型播种机的成本为元；
工厂每月有天加工小型播种机，其中加工类小型播种机天，
加工类小型播种机天，
加工、两类小型播种机的月利润为：

，
每月加工的类小型播种机台数不少于类小型播种机台数的倍，
，
解得：，
的取值范围是；
，，
随的增大而增大，
每月加工的、两类小型播种机的台数均为整数，且，
当时，，，
不符合题意，
当时，，，
当时符合题意，
元．
答：每月加工类小型播种机台时，该工厂月利润最大，最大利润是元． 

【解析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找出题目中的等量关系式和不等关系式，是解题的关键．
设加工一台类小型播种机的成本为元，一台类小型播种机的成本为元，根据等量关系式：加工台类小型播种机需要的成本台类小型播种机需要的成本元，加工台类小型播种机需要的成本台类小型播种机需要的成本元，列出方程组，解方程组即可；
用先把加工的两种播种机的台数表示出来，然后再根据利润售价成本，用表示出，根据每月加工的类小型播种机台数不少于类小型播种机台数的倍列出不等式，解不等式即可求得的取值范围；
根据解析得出的关系式，结合的取值范围，求出的最大值即可．
 

23.【答案】解：过点作平行轴的直线与过点作平行轴的直线交于点，
如图所示：
点，点，
，
是点的等距点，
同理：，
是点的等距点，
，
不是点的等距点，
故答案为：，．

如图，根据题意，可知，
，，
，
，
点的等距面积为；

点的等距面积不小于，
，
，
如图，根据作全等的等腰直角和等腰直角，
则点可以在射线上或线段上，
或，
解得：或，
点在第四象限，
点的横坐标的取值范围为：或． 

【解析】过点作平行轴的直线与过点作平行轴的直线交于点，，即是点的等距点，同理，是点的等距点，，不是点的等距点；
根据题意得，，则；
由点的等距面积不小于，则，得出或，解得或，由点在第四象限，即可得出结果．
本题是三角形综合题，主要考查了新定义等距点与等距面积、不等式的计算、坐标与图形的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握新定义等距点与等距面积是解题的关键．
 

24.【答案】   
画出函数的图象如图：

错  对  对
由图象可知：不等式的解集为或． 

【解析】将，分别代入解析式即可得的值，再画出函数的图象；
结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
根据图象求得即可．
本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：的图象过点，
，
，
，，
和的图象重合，
，
，；
即当，时，和的图象重合；
，如图，










，
，
，
，且时，成立，
由图象得，
；
第一种情况，如图，

根据题意易求得，，，，
，
，
，
解得：或，
，，，，，
，；
第二种情况，如图，

，，，，
，
，
解得：或，
，，，，
，，
综上所述，或． 

【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
把代入求得，得到，于是得到结论；
根据题意列不等式即可得到结论；
第一种情况，如图，第二种情况，如图，根据函数解析式得到，，，，求得，根据三角形的面积列方程即可得到结论．