北师大版初中数学八年级下册第五单元《分式与分式方程》（困难）（含答案不含解析）试卷

北师大版初中数学八年级下册第五单元《分式与分式方程》（困难）（含答案解析）

考试范围：第五单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D.

2.  若实数，，满足条件，则，，中(    )

A. 必有两个数相等 B. 必有两个数互为相反数
C. 必有两个数互为倒数 D. 每两个数都不等

3.  下列式子；；；；中正确的是(    )

A. 个 B.  个 C.  个 D.  个

4.  计算所得正确结果

A.  B.  C.  D.

5.  读一读：式子“”表示从开始的个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知是整数，且是正整数，则所有符合条件的的值的和是  (    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知、为实数且满足，，设，，则下列两个结论(    )

时，，时，；时，若，则．

A. 都对 B. 对错 C. 错对 D. 都错

9.  小王步行的速度比跑步的慢，跑步的速度比骑车的慢如果他骑车从城去城，再步行返回城共需，那么小王跑步从城到城需要(    )

A.  B.  C.  D.

10.  关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  使得关于 的不等式组有解，且关于 的方程的解为整数的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若关于的分式方程有增根，则的值是(    )

A. 或 B.
C.  D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  使分式有意义的的取值范围是______．

14.  当变化时，分式的最小值是________．

15.  已知，，____________．

16.  当________时，解分式方程会出现增根．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

若分式的值为整数，试求整数的值．

18.  本小题分
阅读下面的学习材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”例如：这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为“带分式”即：整式与真分式的和的形式，
例如：，．
参考上面的方法解决下列问题：
将分式化为带分式；
当取什么整数值时，分式的值也为整数？

19.  本小题分

已知均不为，且，证明：．

20.  本小题分
计算



 

21.  本小题分

先化简，再求值：其中，．

22.  本小题分

阅读理解对于正数，，我们把叫做，的算术平均数，叫做，的调和平均数．当，时，比较大小：．

实际应用甲和乙两人分两次同时到一家加油站去给汽车加油，第一次油价为元公升，第二次的油价为元公升，他们两人的加油方式不一样．甲每次加相同数量的油．乙每次只拿出相同数量的钱来加油．问两种加油方式，哪一种合算？请说明理由．

23.  本小题分

在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为当为常数时，，则称分式为次分式例如，为三次分式．

请写出一个只含有字母的二次分式   

已知，其中，为常数．

若，，则，，，中，化简后是二次分式的为   

若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为，求的值．

24.  本小题分

六一前夕，某幼儿园园长到厂家选购、两种品牌的儿童服装，品牌服装每套进价比品牌服装每套进价多元，用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．

求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？

品牌每套售价为元，品牌服装每套售价为元，服装店老板决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的倍还多套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过元，则最少购进品牌的服装多少套？

25.  本小题分

为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍．

求甲、乙两种品牌温度枪的单价．

若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪个，则该校共有几种购买方案？

在条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：要使式子在实数范围内有意义，则，
解得：．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：，
去分母并整理得：，
即：，
，
，
，
即：，，，
必有两个数互为相反数，
故选：．
首先把等式去分母得到，用分组分解法将上式左边分解因式，
得到，，，根据相反数的定义即可选出选项．
本题主要考查了分式的基本性质，因式分解的分组分解法，相反数，单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式等知识点，去分母后分解因式是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故正确；
，故错误；
故选C．
根据分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时，先把除法转化成乘法，要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分． 
在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．

【解答】

解：原式．

故选 A．
 

5.【答案】 

【解析】


．
故选B
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式的混合运算，关键是运用法则进行正确的运算．按同底数幂除法法则，约分，分式混合运算法则进行运算，看结果是否正确即可．
【解答】
解：化简结果应该为，错误；
B.化简正确；
C.化简的结果应该为，错误；
D.，错误．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查分式的混合运算，根据分式混合运算的法则，先把除法转化为乘法计算后，再计算减法，最后化为最简分式，再根据结果为正整数及为整数再求解

【解答】

解：



，
为整数，且分式的值为正整数，
，，
，，
所有符合条件的的值的和：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据分式的加减法法则计算，然后分类讨论即可得结论；
根据分式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
【解答】
解：，，



，
当时，，
，
当时，
，或，
或，
或；
当时，
或，而，
或；
错误；

，
，
原式


，，
，
，
，
．
正确．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式方程的应用，解题关键在于找到等量关系骑行的时间加上步行的时间等于，列出方程即可求解．
【解答】
设之间的路程为，骑车速度为，则跑步的速度为，步行的速度为，
根据题意列方程得
，
解得，
经检验：是原方程的解，
跑步的速度为，
小王跑步从城到城需要小时分钟．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：解不等式组得，
不等式组的解集为，
，
原分式方程可化为：，
解得，
分式方程的解为正整数，
，
解得，，
的取值范围：，且，
分式方程的解为正整数，
或或或，
解得，，，，
，
所有满足条件的整数的和为：．
故选：．
先求出不等式组的解集，再根据已知解集，求出的取值范围，先求出用表示的再根据分式分母不为，分式方程的解为正整数，列不等式组，确定的取值范围，再根据分式方程的解为正整数，求出，进而求出所有满足条件的整数的和．
本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，掌握解分式方程的步骤及不等式解集的確定，根据题目的要求求出的取值范围是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为整数，得到，，，，，，
解得：，，，，，，
，，，，
，
，
，
，，
则所有整数的和为，
故选：．
根据不等式组的解集的情况求得的解集，再解分式方程得出，根据是整数得出所有的的和．
本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，
把代入整式方程得：；
把代入整式方程得：．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意知，
解得且，
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于及非零数的零指数幂列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题重点考查分式最值的求法，若分式分子分母的最高次数相等，且分子最高次项的系数大于分母最高次项的系数，则需要运用分离常数法求解最值，即使得分子只含有数字，将分母配方来求解分式的最值．
根据分式的性质给分子分母同乘以，再进行变形，可得，即可确定最值．
【解答】
解：给已知分式分子、分母同时乘以，得，
提取公因式，得，
变形，得，
得，
，
，
，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式的值的求法和整体代入方法，关键是利用完全平方公式对所求的分式进行变形先变形所求的分式，然后整体代入计算可得结果．
【解答】
解：




．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 

【解答】

解：去分母得：，
由分式方程有增根，

得到，即，
把代入整式方程得：，
，
，
故答案为．

17.【答案】解：，

由题意可得的值为，，

的值为，，，．

又，．

整数的值为，或．

【解析】略
 

18.【答案】解：，；
，
当，，，，即，，，时，分式的值也为整数． 

【解析】两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：令
则
故
同理得：
则
所以， 

【解析】本题考查分式的值，整体思想，令
则是关键
通过中介“”将题干中的字母进行转化，最终得出复杂式子间的关系；进而告诉我们，当题目中的式子比较复杂时，需要注意观察式子的特征，选择合适的方法进行转化求值即可解答．
 

20.【答案】解：

；


；


；


． 

【解析】根据积的乘方法则、多项式除单项式法则、分式的混合运算法则计算即可．
本题考查的是整式的混合运算、分式的乘除法，掌握积的乘方法则、分式的乘除法法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：


；
当时，
原式． 

【解析】本题考查分式的化简求值，二次根式的计算，正确化简分式是解题关键．
先将分式括号里进行通分，再将除法转化为乘方，然后化简，最后将的值代入求值即可．
 

22.【答案】解：；
乙比较划算理由如下：
甲：设他每次买公升，则平均价格：
乙：设他每次用元买油，则他买的油总共有，
平均价格为：
而，
所以乙比较划算． 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的加减法，根据题意表示出两人的平均价格是解本题的关键．
可分别代入求出代数式的值，即可比较出大小；
分别表示出两人的平均价格，比较即可得到结果．
【详解】，

 
故答案为．
见答案．  

23.【答案】解：答案不唯一．
，
，，
．
与的和是一次分式，
．
，
与的和化简后是一次分式，且分母的次数为，
或．
或．
或． 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是新定义问题的有关知识．
根据给出的定义结合二次分式的定义进行求解即可；
分别求出，，，，然后利用次分式的定义进行求解即可；
先表示出，然后根据一次分式的定义和分母的次数为求出，，然后代入代数式求值即可．
【解答】
解：由题意得
只含有字母的二次分式可以为；
，，
，，

，是二次分式；



，是一次分式；


，是一次分式；
，是二次分式．
则是二次分式的有，；
见答案．  

24.【答案】解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：、两种品牌服装每套进价分别为元、元；
设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，
由题意得：，
解得：，
答：至少购进品牌服装的数量是套． 

【解析】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出、两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．”列出方程，解方程即可；
首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过元”可得不等式，再解不等式即可．
 

25.【答案】解：设甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为元、元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为元、元；
由题意得：，，
解得：，
该校共有种购买方案：时，，
即购买甲种品牌的温度枪个，购买乙种品牌的温度枪个；
时，，
即购买甲种品牌的温度枪个，购买乙种品牌的温度枪个；
由可得，，
随的增大而减小，
当时，总费用最低，最低费用元，，
即购买甲种品牌的温度枪个，购买乙种品牌的温度枪个时，可使总费用最低，最低费用是元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用有关知识
设甲、乙两种品牌额温枪的单价分别为元、元，由题意列出分式方程，解方程即可；
先由题意得，再求出，即可解决问题．
由得出，然后再利用一次函数的性质解答