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北师大版4 整式的乘法精品达标测试
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第2讲 整式乘法
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1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．
2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.
知识精讲
知识点01单项式的乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
【知识拓展1】计算：
（1）； （2）；
（3）．
【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把与分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．
【答案与解析】解： （1）
．
（2）
．
．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉．
【即学即练1】 计算：
（1）
（2）．
【答案与解析】解：（1）
（2）
．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.
知识点02单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【知识拓展1】 计算：
（1）； （2）；
（3）；
【答案与解析】解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．
【即学即练1】 ．
【答案】解：原式
．
【即学即练2】若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数．
【答案】解：＝
因为3能被3整除，所以整式的值一定是3的倍数．
【知识拓展2】计算：
（1）
（2）
【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简．
【答案与解析】解：（1）
．
（2）
．
【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果．（2）单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每一项的符号时，一定要小心．
【知识拓展3】化简求值：
（1）已知的值
（2）已知的值.
（3）已知，求的值.
【答案与解析】解：（1）
当时，原式＝
（2）
法1：，则。将代入上式得：
法2：原式＝
由，得原式.
（3）法1: 由，得。
原式＝
法2: 原式＝
【总结升华】整体思想是指将题中条件或结论中的一部分看成一个整体，使问题转化为对这个整体的研究，能起到化繁为简、化难为易的作用．若一个代数式能整理成只含某个代数式的形式，则可整体求值．
【知识拓展4】若，求的值．
【答案】解：
，
当时，原式＝．
知识点03多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【知识拓展1】计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．
【知识拓展2】求方程的解．
【思路点拨】等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解.
【答案与解析】解：去括号，得．
移项并合并同类项，得．
系数化为1，得．
【总结升华】利用整式乘法去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．
【即学即练1】求出使成立的非负整数解．
【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．
解：，
，
，
，
．
∴ 取非负整数为0，1，2，3．
【知识拓展3】若多项式与的积不含项，也不含项，求和的值．
【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含和项，也就是和项的系数为0，由此得方程组求解．
【答案与解析】解：
∵ 乘积中不含和项．
∴ ，解得．
【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解方程（组）求解．
【即学即练1】在 的积中，项的系数是－5，项的系数是－6，
求、．
【答案】解：
因为项的系数是－5，项的系数是－6，
所以，，解得
能力拓展
1.已知(m - x)× (-x) + n(x + m) = x2 + 5x - 6 对于任意数 x 都成立， 求 m(n -1) + n(m +1) 的值．
【难度】★★★
【答案】－7．
【解析】化简得： -mx + x2 + nx + mn = x2 + 5x - 6
-(m - n + 5)x + mn + 6 = 0
代数式对任意 x 都成立
\m - n = -5 ， mn = -6 ，
∴原式= mn - m + mn + n = -7 ．
【总结】本题考察了整式的乘法和项与系数的意义．
2.已知a + 2b = 0 ，求a3 + 2ab(a + b) + 4b3 - 8 的值．
【难度】★★★
【答案】－8．
【解析】由已知得： a = -2b ，代入得：原式= -8b 3 -4b2 (-2b + b) + 4b3 - 8 = -8 ．
【总结】本题考察了整式的混合运算
3.已知(x + ay)(x + by) = x2 - 4xy - 6y2 ，求代数式3(a + b) - 2ab 的值．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】化简为： x2 + (a + b)xy + aby2 = x2 - 4xy - 6y2 ，
\a + b = -4，ab = -6 ，∴原式= 3´ (-4) - 2´ (-6) = 0 ．
【总结】本题考察了整式的乘法以及整体思想的运用．
4.(x + y + z)4 的乘积展开式中，各项系数之和是 ．
【难度】★★★
【答案】81．
【解析】令 x = y = z = 1，
则(1+1+1)4 = 81．
即各项系数和为 81．
【总结】本题考察了多项式的展开式．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2021·北京市第一六一中学分校七年级期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用单项式乘多项式的运算法则计算可得．
【详解】解：原式
故选：C．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则．
2．（2021·上海黄浦·七年级期末）若x2+px+q＝（x﹣3）（x+5），则p的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣2 C．2 D．8
【答案】C
【分析】根据根据多项式乘以多项式，把等号右边展开，即可求得p的值．
【详解】解：，
．
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法运算是解题的关键．
3．（2021·安徽·淮南市田家庵区教育体育局教研室七年级期中）如图所示，一块“L”型菜地，小新在求菜地面积的面积时，列出了下列4个式子，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查利用代数式表示不规则图形的面积，根据题意，作出辅助线求解即可得．
【详解】解：A选项如图所示：将不规则图形分为两个长方形，
∴面积为：，A选项正确；
B选项如图所示：将不规则图形分为两个长方形，
面积为：，B选项正确；
D选项如图所示：将不规则图形补全，
面积为：，D选项正确；
C选项不能表示图形面积，错误；
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用代数式表示不规则图形的面积，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
4．（2021·湖南·邵阳市第六中学七年级阶段练习）如图，阴影部分的面积是（ ）
A．xy B．xy C．6xy D．3xy
【答案】A
【分析】如图，把阴影部分分割为两个长方形，再求解两个长方形的面积之和即可.
【详解】解：如图，
阴影部分的面积是
故选：A
【点睛】本题考查的是单项式乘法与图形的面积，根据图形特点列出正确的运算式是解本题的关键.
5．（2021·北京市第三十五中学七年级期中）规定新运算“ω”的运算规则为：aωb=3a－2b，则(x+y)ω(x－y)等于（ ）
A．x+y B．x+2y
C．2x+2y D．x+5y
【答案】D
【分析】根据定义的新运算规则，可看作将，代入新运算中计算即可得．
【详解】解：，
，，
代入可得：
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】题目主要考查整式的混合运算，理解定义的新运算规则进行计算是解题关键．
6．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
【答案】A
【分析】根据大长方形的面积（长为、宽为）等于1个边长为的小正方形的面积、4个长方形的面积（长为、宽为）、3个边长为的小正方形的面积之和即可得出答案．
【详解】解：由图可知，，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，读懂题意，理解几个图形的面积之间的联系是解题关键．
二、填空题
7．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）计算：＝______．
【答案】
【分析】根据单项式乘以多项式计算即可；
【详解】原式；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，准确计算是解题的关键．
8．（2021·北京市三帆中学七年级期中）如图（图中长度单位：m）阴影部分的面积是_____m2（用含的式子表示），面积表达式是_____次三项式．
【答案】 二
【分析】由阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去小的长方形的面积可得第一空的答案；再结合多项式的项与次数可得第二空的答案.
【详解】解：阴影部分的面积
有三项，最高次项是
所以是二次三项式，
故答案为：，二
【点睛】本题考查的是图形面积与多项式的乘法运算之间的关系，多项式的次数与项的概念，理解多项式的乘法运算与图形面积之间的关系是解本题的关键.
9．（2021·江苏·梅岭中学教育集团运河中学七年级期中）一套住房的平面图如图所示，其中卫生间、厨房的占地面积之和是______．（用含x、y的代数式表示）
【答案】3xy
【分析】利用长方形的面积公式分别计算卫生间、厨房的面积，相加即可得出结果．
【详解】解：由题意得：x（4y﹣2y）+y（4x﹣2x﹣x）
＝2xy+xy
＝3xy，
故答案为：3xy．
【点睛】本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解．掌握数形结合是解题关键．
三、解答题
10．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室七年级期中）为庆祝六一儿童节，某书店为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图（1）），推出了一系列优惠活动，购买此书籍则赠送如图（2）所示的精致矩形包书纸.在图（2）的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸正好可以包好图（1）中的《世界经典童话》这本书，该书的长为24 cm，宽为17 cm，厚度为2 cm．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为a cm．
（1）该包书纸的长为_____________cm，宽为___________cm（用含a的代数式表示）；
（2）当a=2时，求该包书纸的面积（含阴影部分）．
【答案】（1）（36+2a）； （24+2a）；（2）当a=2时，该包书纸的面积为1120cm2．
【分析】（1）根据题意，列出代数式，即可求解；
（2）先将原式化简，再将a=2代入，即可求解．
【详解】解：（1）该包书纸的长为17×2+2+2a =（36+2a）cm，
宽为（24+2a）cm，
故答案是：（36+2a），（24+2a）；
（2）
当a=2时，原式 cm2，
答：当a=2时，该包书纸的面积为1120cm2．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的乘法运算，明确题意，准确列出代数式是解题的关键．
11．（2021·广西·大新县养利学校七年级期中）填空： ； ；
； ；
（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果： ；
（2）运用上述结果，写出下列各题结果：
① ；
②
【答案】填空：，，，；（1）；（2）①；②．
【分析】填空：根据多项式乘以多项式的法则即可得；
（1）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得；
（2）①运用（1）的规律即可得；②运用（1）的规律即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：，，，；
（1）由上面的计算可知，，
故答案为：；
（2）①，
，
故答案为：；
②，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键．
题组B 能力提升练
一、填空题
1．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，我们知道（a+b）n展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第n+1行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：，照此规律，计算：=__________；
【答案】
【分析】结合题意，根据数字规律、多项式、幂的乘方的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，．
【点睛】本题考查了数字规律、多项式、幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握多项式、幂的乘方的性质，从而完成求解．
2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）若展开后不含和项，则的值为___．
【答案】7
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于m、n的方程，求出m、n即可．
【详解】解：
，
的展开式中不含项和项，
，，
解得：，，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能够正确得出关于m、n的方程是解题的关键．
3．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：__．
【答案】
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握运算法则．
二、解答题
4．（2022·全国·七年级）计算
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先计算乘方，然后计算单项式乘以单项式，即可得到答案；
（2）由单项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可得到答案；
（3）由多项式乘以多项式的法则，即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．
5．（2021·全国·七年级专题练习）已知与的乘积中不含和项，求的值．
【答案】，
【分析】先把按多项式与多项式相乘的法则进行运算，再根据乘积不含和项，列出，，即可求解．
【详解】解：
∵乘积中不含和项，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
6．（2021·上海市西延安中学七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）5展开式的系数和是 ；（a+b）n展开式的系数和是 ．
（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是 ；（a+b）n展开式的系数和是 ．
【答案】（1）25； 2n；（2）35；3n．
【分析】（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1,b=1时的代数式的值，按此规律便可求解
（2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）5展开式的系数和（2+1）5计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）n即可
【详解】解：（1）1=10=（1+1）0，
1，1，1+1=2=21=（1+1）1，
1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2，
1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）3
1，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4
……
当a=1,b=1时，(a+b)n展开式的系数和（1+1）n
展开式的系数和是25，
∴（a+b）5展开式的系数和是当a=1,b=1时（1+1）5=25；
∴（a+b）5展开式的系数和是25；
当a=1,b=1时，（a+b）n=（1+1）n=2n，
（a+b）n展开式的系数和是2n，
故答案为：25； 2n；
（2）当a＝2时，b=1,（a+b）5=（2+1）5=35
当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是35；
当a＝2时，b=1, （a+b）n=（2+1）n=3n
（a+b）n展开式的系数和是3n．
故答案为：35；3n．
【点睛】本题考查两数和的n次方公式与展开式各项系数和，本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律是求a与b为特定值是的代数式的值，属于一种开放性题目．
7.（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）定义 =，如 =．
（1）若 =4，求的值；
（2）若 的值与x无关，求nm值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据新定义行列式的运算法则，变形，利用多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项，解一元一次方程即可；
（2）根据新定义行列式的运算法则，变形，利用多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项，利用与x无关，得出，解方程即可．
【详解】解：（1）∵ =4，
∴，
∴，
∴
∴，
解得；
（2）∵ =，
=，
=
=，
∵ 的值与x无关，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新定义行列式计算，多项式乘以多项式运算法则，多项式与x无关型，掌握新定义行列式计算，多项式乘以多项式运算法则，多项式与x无关型是解题关键，本题是知识创新型，考查学生观察，分析问题，知识迁移能力．
8．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．
例：若，，试比较，的大小．
解：设，那么
看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！
问题：若，，试比较，的大小．
【答案】
【分析】根据题意设，求出x，y的值，进行比较即可得．
【详解】解：设，
则
，
，
所以．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是理解题意，掌握整式混合的运算法则．
9．（2021·上海奉贤·七年级期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．
如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）
（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．
【答案】（1）；（2）（3）遮阳帘遮住的面积大于窗户的透光的面积
【分析】（1）根据题意求得长方形窗户的长为，高为，即可求得面积；
（2）窗户透光的面积等于总面积减去遮阳帘的面积即可；
（3）先求得下窗户的遮阳帘的长，进而求得遮阳帘遮住的面积，根据（1）的总面积减去遮阳帘遮住的面积即可得到窗户的透光的面积，进而根据整式的加减作出比较即可求解．
【详解】（1）长方形窗户的长为，高为，
长方形窗户ABCD的总面积为：
（2）上面窗户遮阳帘的面积为
下面窗户的遮阳帘的面积为
窗户透光的面积为
（3）
如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，则下面遮阳帘的长为
上面窗户遮阳帘的面积为
下面窗户的遮阳帘的面积为
遮阳帘遮住的面积为
窗户的透光的面积为
b＞a＞0
遮阳帘遮住的面积大于窗户的透光的面积
【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．（2021·浙江·七年级专题练习）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【详解】，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
2．（2021·全国·七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042
【答案】D
【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可
【详解】解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021，
∴第一项为：x2021，
第二项为：
故选：D
【点睛】本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键
3．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
【答案】A
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误．
【详解】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
二、填空题
4．（2021·山东·青岛市城阳第六中学七年级期中）数学兴趣小组发现：
（x－1）（x＋1）＝x2－1
（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1
利用你发现的规律：求：＝__________
【答案】
【分析】先补一个，同时除以6，再根据公式计算即可得出答案.
【详解】由题意可得：
故答案为.
【点睛】本题考查的是找规律，需要注意的是补了一个，同时还要除以6才能使式子前后保持平衡.
5．（2020·浙江杭州·模拟预测）若，其中均为整数，则m的值为_______．
【答案】或
【分析】先根据整式的乘法运算可得，再根据“均为整数”分情况求解即可得．
【详解】，
，
，
，
均为整数，
分以下8种情况：
①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
⑤当时，，
⑥当时，，
⑦当时，，
⑧当时，，
综上，m的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则，并正确分情况讨论是解题关键．
6．（2021·全国·七年级专题练习）若的积不含项，则___________．
【答案】
【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．
【详解】解：
=
=
∵的积不含项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
7．（2021·浙江南浔·七年级期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．
【答案】
【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案．
【详解】如图所示，对需要的交点标注字母：
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
化简得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点．
三、解答题
8．（2020·重庆文德中学校七年级期中）数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例，请根据阅读理解上述材料解答下列各题：
（1）___________；
（2）计算：
（3）已知实数满足行列式，求代数式的值．
【答案】（1），（2）；（3），代数式的值为：．
【分析】（1）由=，可得，再计算可得答案；
（2）先推导规律：，再利用规律进行计算即可得到答案；
（3）由，可得：，再化简代数式可得：原式，再代入求值可得答案．
【详解】解：（1），
故答案为：．
（2）由
（为正整数）
（一共个）
（3）
【点睛】本题考查的是定义情境下的有理数的混合运算，整式的乘法运算，合并同类项，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021·江苏锡山·七年级期中）（感悟数学方法）
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．
【答案】感悟数学方法：（1）；（2）；解决实际问题：．
【分析】感悟数学方法：（1）将A、B的值代入计算整式的加减即可得；
（2）根据“值与字母的取值无关”建立方程，再解方程即可得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，从而可得购进乙型口罩箱，再根据题意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得．
【详解】感悟数学方法：（1），，
，
，
；
（2），
的值与字母的取值无关，
，
解得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，则购进乙型口罩箱，
则经销商的利润为，
，
，
要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，
则，
解得．
【点睛】本题考查了整式乘法与加减法的应用、以及无关型问题、一元一次方程的应用，正确列出利润的表达式是解题关键．
10．（2020·河南·七年级期中）已知为有理数，现规定一种新运算，满足．
求的值；
求的值；
，探索与两个式子是否相等，说明理由．
【答案】（1）8；（2）240；（3）不相等，理由见解析．
【分析】（1）先根据新运算列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得；
（2）利用两次新运算进行转化，再计算即可得；
（3）先根据新运算列出运算式子，再计算整式的加减法与乘法即可得．
【详解】（1）；
（2），
，
，
，
，
；
（3）两个式子不相等，理由如下：
，
，
则，
，
，
，
因为，
所以，
所以与两个式子不相等．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算、整式的加减法与乘法，读懂题意，掌握新运算的定义是解题关键．
11．（2021·贵州织金·七年级期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如图所示是该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超出的部分
超出但不超出的部分
超出的部分
注：水费按月结算．
（1）填空：若某户居民2月份用水，则2月份应收水费______元；若该户居民3月份用水，则3月份应收水费______元；
（2）若该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为，水费12元；另外一部分用水量为______，此部分应收水费______元；则4月份总共应收水费______元．（用的整式表示并化简）
（3）若该户居民5月份用水，求该户居民5月份共交水费多少元？（用的整式表示并化简）
【答案】（1）8，20；（2），，；（3）该户居民5月份共交水费元
【分析】（1）根据表格中的收费标准，求出水费即可；
（2）根据a的范围，求出水费即可；
（3）根据表格中的收费标准，求出每段的水费即可；
【详解】（1）解：（1）2月份用水，2×4＝8（元）；3月份用水，2×6+2×4=20（元），
故答案为：8 ，20；
（2）另外一部分用水量为： ，
此部分应收水费为：（元），
则4月份总共应收水费为：（元）
故答案为：，，；
（3）（元）
答：该户居民5月份共交水费元．
【点睛】此题考查了整式的运算和分段计费问题，准确理解题意，能够列出每段费用并熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2021·全国·七年级单元测试）在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时求的值（用含a、b的代数式表示）．
【答案】
【分析】设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：设，则，
【点睛】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．
13．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
【答案】（1）x4−1；（2）xn＋1−1，理由见详解；（3）；（4）
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；
（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；
（3）利用得出的规律计算得到结果；
（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．
【详解】解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
故答案是： x4−1；
（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，
理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1+ xn+xn﹣1+……+x-（xn+xn﹣1+……+x+1）
= xn＋1−1，
故答案是：xn＋1−1；
（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）
=﹣32100×4÷8÷380
=-
=；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3
=2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3
=2×（32018+32016+32014+……+32）+3
=2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3
=2×+3
=2×
=，
故答案是：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，是解题的关键．
第2讲 整式乘法
目标导航
1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．
2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.
知识精讲
知识点01单项式的乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
【知识拓展1】计算：
（1）； （2）；
（3）．
【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把与分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．
【答案与解析】解： （1）
．
（2）
．
．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉．
【即学即练1】 计算：
（1）
（2）．
【答案与解析】解：（1）
（2）
．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.
知识点02单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【知识拓展1】 计算：
（1）； （2）；
（3）；
【答案与解析】解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．
【即学即练1】 ．
【答案】解：原式
．
【即学即练2】若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数．
【答案】解：＝
因为3能被3整除，所以整式的值一定是3的倍数．
【知识拓展2】计算：
（1）
（2）
【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简．
【答案与解析】解：（1）
．
（2）
．
【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果．（2）单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每一项的符号时，一定要小心．
【知识拓展3】化简求值：
（1）已知的值
（2）已知的值.
（3）已知，求的值.
【答案与解析】解：（1）
当时，原式＝
（2）
法1：，则。将代入上式得：
法2：原式＝
由，得原式.
（3）法1: 由，得。
原式＝
法2: 原式＝
【总结升华】整体思想是指将题中条件或结论中的一部分看成一个整体，使问题转化为对这个整体的研究，能起到化繁为简、化难为易的作用．若一个代数式能整理成只含某个代数式的形式，则可整体求值．
【知识拓展4】若，求的值．
【答案】解：
，
当时，原式＝．
知识点03多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【知识拓展1】计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．
【知识拓展2】求方程的解．
【思路点拨】等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解.
【答案与解析】解：去括号，得．
移项并合并同类项，得．
系数化为1，得．
【总结升华】利用整式乘法去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．
【即学即练1】求出使成立的非负整数解．
【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．
解：，
，
，
，
．
∴ 取非负整数为0，1，2，3．
【知识拓展3】若多项式与的积不含项，也不含项，求和的值．
【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含和项，也就是和项的系数为0，由此得方程组求解．
【答案与解析】解：
∵ 乘积中不含和项．
∴ ，解得．
【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解方程（组）求解．
【即学即练1】在 的积中，项的系数是－5，项的系数是－6，
求、．
【答案】解：
因为项的系数是－5，项的系数是－6，
所以，，解得
能力拓展
1.已知(m - x)× (-x) + n(x + m) = x2 + 5x - 6 对于任意数 x 都成立， 求 m(n -1) + n(m +1) 的值．
【难度】★★★
【答案】－7．
【解析】化简得： -mx + x2 + nx + mn = x2 + 5x - 6
-(m - n + 5)x + mn + 6 = 0
代数式对任意 x 都成立
\m - n = -5 ， mn = -6 ，
∴原式= mn - m + mn + n = -7 ．
【总结】本题考察了整式的乘法和项与系数的意义．
2.已知a + 2b = 0 ，求a3 + 2ab(a + b) + 4b3 - 8 的值．
【难度】★★★
【答案】－8．
【解析】由已知得： a = -2b ，代入得：原式= -8b 3 -4b2 (-2b + b) + 4b3 - 8 = -8 ．
【总结】本题考察了整式的混合运算
3.已知(x + ay)(x + by) = x2 - 4xy - 6y2 ，求代数式3(a + b) - 2ab 的值．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】化简为： x2 + (a + b)xy + aby2 = x2 - 4xy - 6y2 ，
\a + b = -4，ab = -6 ，∴原式= 3´ (-4) - 2´ (-6) = 0 ．
【总结】本题考察了整式的乘法以及整体思想的运用．
4.(x + y + z)4 的乘积展开式中，各项系数之和是 ．
【难度】★★★
【答案】81．
【解析】令 x = y = z = 1，
则(1+1+1)4 = 81．
即各项系数和为 81．
【总结】本题考察了多项式的展开式．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2021·北京市第一六一中学分校七年级期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用单项式乘多项式的运算法则计算可得．
【详解】解：原式
故选：C．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则．
2．（2021·上海黄浦·七年级期末）若x2+px+q＝（x﹣3）（x+5），则p的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣2 C．2 D．8
【答案】C
【分析】根据根据多项式乘以多项式，把等号右边展开，即可求得p的值．
【详解】解：，
．
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法运算是解题的关键．
3．（2021·安徽·淮南市田家庵区教育体育局教研室七年级期中）如图所示，一块“L”型菜地，小新在求菜地面积的面积时，列出了下列4个式子，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查利用代数式表示不规则图形的面积，根据题意，作出辅助线求解即可得．
【详解】解：A选项如图所示：将不规则图形分为两个长方形，
∴面积为：，A选项正确；
B选项如图所示：将不规则图形分为两个长方形，
面积为：，B选项正确；
D选项如图所示：将不规则图形补全，
面积为：，D选项正确；
C选项不能表示图形面积，错误；
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用代数式表示不规则图形的面积，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
4．（2021·湖南·邵阳市第六中学七年级阶段练习）如图，阴影部分的面积是（ ）
A．xy B．xy C．6xy D．3xy
【答案】A
【分析】如图，把阴影部分分割为两个长方形，再求解两个长方形的面积之和即可.
【详解】解：如图，
阴影部分的面积是
故选：A
【点睛】本题考查的是单项式乘法与图形的面积，根据图形特点列出正确的运算式是解本题的关键.
5．（2021·北京市第三十五中学七年级期中）规定新运算“ω”的运算规则为：aωb=3a－2b，则(x+y)ω(x－y)等于（ ）
A．x+y B．x+2y
C．2x+2y D．x+5y
【答案】D
【分析】根据定义的新运算规则，可看作将，代入新运算中计算即可得．
【详解】解：，
，，
代入可得：
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】题目主要考查整式的混合运算，理解定义的新运算规则进行计算是解题关键．
6．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
【答案】A
【分析】根据大长方形的面积（长为、宽为）等于1个边长为的小正方形的面积、4个长方形的面积（长为、宽为）、3个边长为的小正方形的面积之和即可得出答案．
【详解】解：由图可知，，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，读懂题意，理解几个图形的面积之间的联系是解题关键．
二、填空题
7．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）计算：＝______．
【答案】
【分析】根据单项式乘以多项式计算即可；
【详解】原式；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，准确计算是解题的关键．
8．（2021·北京市三帆中学七年级期中）如图（图中长度单位：m）阴影部分的面积是_____m2（用含的式子表示），面积表达式是_____次三项式．
【答案】 二
【分析】由阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去小的长方形的面积可得第一空的答案；再结合多项式的项与次数可得第二空的答案.
【详解】解：阴影部分的面积
有三项，最高次项是
所以是二次三项式，
故答案为：，二
【点睛】本题考查的是图形面积与多项式的乘法运算之间的关系，多项式的次数与项的概念，理解多项式的乘法运算与图形面积之间的关系是解本题的关键.
9．（2021·江苏·梅岭中学教育集团运河中学七年级期中）一套住房的平面图如图所示，其中卫生间、厨房的占地面积之和是______．（用含x、y的代数式表示）
【答案】3xy
【分析】利用长方形的面积公式分别计算卫生间、厨房的面积，相加即可得出结果．
【详解】解：由题意得：x（4y﹣2y）+y（4x﹣2x﹣x）
＝2xy+xy
＝3xy，
故答案为：3xy．
【点睛】本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解．掌握数形结合是解题关键．
三、解答题
10．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室七年级期中）为庆祝六一儿童节，某书店为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图（1）），推出了一系列优惠活动，购买此书籍则赠送如图（2）所示的精致矩形包书纸.在图（2）的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸正好可以包好图（1）中的《世界经典童话》这本书，该书的长为24 cm，宽为17 cm，厚度为2 cm．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为a cm．
（1）该包书纸的长为_____________cm，宽为___________cm（用含a的代数式表示）；
（2）当a=2时，求该包书纸的面积（含阴影部分）．
【答案】（1）（36+2a）； （24+2a）；（2）当a=2时，该包书纸的面积为1120cm2．
【分析】（1）根据题意，列出代数式，即可求解；
（2）先将原式化简，再将a=2代入，即可求解．
【详解】解：（1）该包书纸的长为17×2+2+2a =（36+2a）cm，
宽为（24+2a）cm，
故答案是：（36+2a），（24+2a）；
（2）
当a=2时，原式 cm2，
答：当a=2时，该包书纸的面积为1120cm2．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的乘法运算，明确题意，准确列出代数式是解题的关键．
11．（2021·广西·大新县养利学校七年级期中）填空： ； ；
； ；
（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果： ；
（2）运用上述结果，写出下列各题结果：
① ；
②
【答案】填空：，，，；（1）；（2）①；②．
【分析】填空：根据多项式乘以多项式的法则即可得；
（1）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得；
（2）①运用（1）的规律即可得；②运用（1）的规律即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：，，，；
（1）由上面的计算可知，，
故答案为：；
（2）①，
，
故答案为：；
②，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键．
题组B 能力提升练
一、填空题
1．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，我们知道（a+b）n展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第n+1行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：，照此规律，计算：=__________；
【答案】
【分析】结合题意，根据数字规律、多项式、幂的乘方的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，．
【点睛】本题考查了数字规律、多项式、幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握多项式、幂的乘方的性质，从而完成求解．
2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）若展开后不含和项，则的值为___．
【答案】7
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于m、n的方程，求出m、n即可．
【详解】解：
，
的展开式中不含项和项，
，，
解得：，，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能够正确得出关于m、n的方程是解题的关键．
3．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：__．
【答案】
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握运算法则．
二、解答题
4．（2022·全国·七年级）计算
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先计算乘方，然后计算单项式乘以单项式，即可得到答案；
（2）由单项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可得到答案；
（3）由多项式乘以多项式的法则，即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．
5．（2021·全国·七年级专题练习）已知与的乘积中不含和项，求的值．
【答案】，
【分析】先把按多项式与多项式相乘的法则进行运算，再根据乘积不含和项，列出，，即可求解．
【详解】解：
∵乘积中不含和项，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
6．（2021·上海市西延安中学七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）5展开式的系数和是 ；（a+b）n展开式的系数和是 ．
（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是 ；（a+b）n展开式的系数和是 ．
【答案】（1）25； 2n；（2）35；3n．
【分析】（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1,b=1时的代数式的值，按此规律便可求解
（2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）5展开式的系数和（2+1）5计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）n即可
【详解】解：（1）1=10=（1+1）0，
1，1，1+1=2=21=（1+1）1，
1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2，
1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）3
1，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4
……
当a=1,b=1时，(a+b)n展开式的系数和（1+1）n
展开式的系数和是25，
∴（a+b）5展开式的系数和是当a=1,b=1时（1+1）5=25；
∴（a+b）5展开式的系数和是25；
当a=1,b=1时，（a+b）n=（1+1）n=2n，
（a+b）n展开式的系数和是2n，
故答案为：25； 2n；
（2）当a＝2时，b=1,（a+b）5=（2+1）5=35
当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是35；
当a＝2时，b=1, （a+b）n=（2+1）n=3n
（a+b）n展开式的系数和是3n．
故答案为：35；3n．
【点睛】本题考查两数和的n次方公式与展开式各项系数和，本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律是求a与b为特定值是的代数式的值，属于一种开放性题目．
7.（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）定义 =，如 =．
（1）若 =4，求的值；
（2）若 的值与x无关，求nm值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据新定义行列式的运算法则，变形，利用多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项，解一元一次方程即可；
（2）根据新定义行列式的运算法则，变形，利用多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项，利用与x无关，得出，解方程即可．
【详解】解：（1）∵ =4，
∴，
∴，
∴
∴，
解得；
（2）∵ =，
=，
=
=，
∵ 的值与x无关，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新定义行列式计算，多项式乘以多项式运算法则，多项式与x无关型，掌握新定义行列式计算，多项式乘以多项式运算法则，多项式与x无关型是解题关键，本题是知识创新型，考查学生观察，分析问题，知识迁移能力．
8．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．
例：若，，试比较，的大小．
解：设，那么
看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！
问题：若，，试比较，的大小．
【答案】
【分析】根据题意设，求出x，y的值，进行比较即可得．
【详解】解：设，
则
，
，
所以．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是理解题意，掌握整式混合的运算法则．
9．（2021·上海奉贤·七年级期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．
如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）
（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．
【答案】（1）；（2）（3）遮阳帘遮住的面积大于窗户的透光的面积
【分析】（1）根据题意求得长方形窗户的长为，高为，即可求得面积；
（2）窗户透光的面积等于总面积减去遮阳帘的面积即可；
（3）先求得下窗户的遮阳帘的长，进而求得遮阳帘遮住的面积，根据（1）的总面积减去遮阳帘遮住的面积即可得到窗户的透光的面积，进而根据整式的加减作出比较即可求解．
【详解】（1）长方形窗户的长为，高为，
长方形窗户ABCD的总面积为：
（2）上面窗户遮阳帘的面积为
下面窗户的遮阳帘的面积为
窗户透光的面积为
（3）
如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，则下面遮阳帘的长为
上面窗户遮阳帘的面积为
下面窗户的遮阳帘的面积为
遮阳帘遮住的面积为
窗户的透光的面积为
b＞a＞0
遮阳帘遮住的面积大于窗户的透光的面积
【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．（2021·浙江·七年级专题练习）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【详解】，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
2．（2021·全国·七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042
【答案】D
【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可
【详解】解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021，
∴第一项为：x2021，
第二项为：
故选：D
【点睛】本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键
3．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
【答案】A
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误．
【详解】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
二、填空题
4．（2021·山东·青岛市城阳第六中学七年级期中）数学兴趣小组发现：
（x－1）（x＋1）＝x2－1
（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1
利用你发现的规律：求：＝__________
【答案】
【分析】先补一个，同时除以6，再根据公式计算即可得出答案.
【详解】由题意可得：
故答案为.
【点睛】本题考查的是找规律，需要注意的是补了一个，同时还要除以6才能使式子前后保持平衡.
5．（2020·浙江杭州·模拟预测）若，其中均为整数，则m的值为_______．
【答案】或
【分析】先根据整式的乘法运算可得，再根据“均为整数”分情况求解即可得．
【详解】，
，
，
，
均为整数，
分以下8种情况：
①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
⑤当时，，
⑥当时，，
⑦当时，，
⑧当时，，
综上，m的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则，并正确分情况讨论是解题关键．
6．（2021·全国·七年级专题练习）若的积不含项，则___________．
【答案】
【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．
【详解】解：
=
=
∵的积不含项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
7．（2021·浙江南浔·七年级期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．
【答案】
【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案．
【详解】如图所示，对需要的交点标注字母：
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
化简得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点．
三、解答题
8．（2020·重庆文德中学校七年级期中）数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例，请根据阅读理解上述材料解答下列各题：
（1）___________；
（2）计算：
（3）已知实数满足行列式，求代数式的值．
【答案】（1），（2）；（3），代数式的值为：．
【分析】（1）由=，可得，再计算可得答案；
（2）先推导规律：，再利用规律进行计算即可得到答案；
（3）由，可得：，再化简代数式可得：原式，再代入求值可得答案．
【详解】解：（1），
故答案为：．
（2）由
（为正整数）
（一共个）
（3）
【点睛】本题考查的是定义情境下的有理数的混合运算，整式的乘法运算，合并同类项，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021·江苏锡山·七年级期中）（感悟数学方法）
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．
【答案】感悟数学方法：（1）；（2）；解决实际问题：．
【分析】感悟数学方法：（1）将A、B的值代入计算整式的加减即可得；
（2）根据“值与字母的取值无关”建立方程，再解方程即可得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，从而可得购进乙型口罩箱，再根据题意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得．
【详解】感悟数学方法：（1），，
，
，
；
（2），
的值与字母的取值无关，
，
解得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，则购进乙型口罩箱，
则经销商的利润为，
，
，
要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，
则，
解得．
【点睛】本题考查了整式乘法与加减法的应用、以及无关型问题、一元一次方程的应用，正确列出利润的表达式是解题关键．
10．（2020·河南·七年级期中）已知为有理数，现规定一种新运算，满足．
求的值；
求的值；
，探索与两个式子是否相等，说明理由．
【答案】（1）8；（2）240；（3）不相等，理由见解析．
【分析】（1）先根据新运算列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得；
（2）利用两次新运算进行转化，再计算即可得；
（3）先根据新运算列出运算式子，再计算整式的加减法与乘法即可得．
【详解】（1）；
（2），
，
，
，
，
；
（3）两个式子不相等，理由如下：
，
，
则，
，
，
，
因为，
所以，
所以与两个式子不相等．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算、整式的加减法与乘法，读懂题意，掌握新运算的定义是解题关键．
11．（2021·贵州织金·七年级期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如图所示是该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超出的部分
超出但不超出的部分
超出的部分
注：水费按月结算．
（1）填空：若某户居民2月份用水，则2月份应收水费______元；若该户居民3月份用水，则3月份应收水费______元；
（2）若该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为，水费12元；另外一部分用水量为______，此部分应收水费______元；则4月份总共应收水费______元．（用的整式表示并化简）
（3）若该户居民5月份用水，求该户居民5月份共交水费多少元？（用的整式表示并化简）
【答案】（1）8，20；（2），，；（3）该户居民5月份共交水费元
【分析】（1）根据表格中的收费标准，求出水费即可；
（2）根据a的范围，求出水费即可；
（3）根据表格中的收费标准，求出每段的水费即可；
【详解】（1）解：（1）2月份用水，2×4＝8（元）；3月份用水，2×6+2×4=20（元），
故答案为：8 ，20；
（2）另外一部分用水量为： ，
此部分应收水费为：（元），
则4月份总共应收水费为：（元）
故答案为：，，；
（3）（元）
答：该户居民5月份共交水费元．
【点睛】此题考查了整式的运算和分段计费问题，准确理解题意，能够列出每段费用并熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2021·全国·七年级单元测试）在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时求的值（用含a、b的代数式表示）．
【答案】
【分析】设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：设，则，
【点睛】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．
13．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
【答案】（1）x4−1；（2）xn＋1−1，理由见详解；（3）；（4）
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；
（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；
（3）利用得出的规律计算得到结果；
（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．
【详解】解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
故答案是： x4−1；
（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，
理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1+ xn+xn﹣1+……+x-（xn+xn﹣1+……+x+1）
= xn＋1−1，
故答案是：xn＋1−1；
（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）
=﹣32100×4÷8÷380
=-
=；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3
=2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3
=2×（32018+32016+32014+……+32）+3
=2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3
=2×+3
=2×
=，
故答案是：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，是解题的关键．
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