北师大版七年级下册6 完全平方公式优秀当堂检测题

这是一份北师大版七年级下册6 完全平方公式优秀当堂检测题，文件包含第4讲完全平方公式-七年级数学下册同步精品讲义北师大版解析版docx、第4讲完全平方公式-七年级数学下册同步精品讲义北师大版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。
第4讲 完全平方公式
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1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
知识精讲

知识点
一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【知识拓展1】完全平方公式
1．（2021秋•白云区期末）计算：9992＝　 　．

2、 下列各式是完全平方式的是（ ）．
A． B． C． D．
3.（1）如果多项式是一个完全平方式，那么的值为 ；
（2）如果多项式是一个完全平方式，那么的值为 .
4．（2021秋•天河区期末）若x+y＝3，且xy＝1，则代数式x2+y2的值为 　　．
5．（2021秋•永吉县期末）a，b是两个实数，若a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a2+b2的值为 　　．
6．（2021秋•铁西区期末）利用乘法公式解决下列问题：
（1）若x﹣y＝8，xy＝40．则x2+y2＝　 　；
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2值．




7．（2021秋•通榆县期末）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
＝（x2+2xy）﹣（x2+2x+1）+2x第一步
＝x2+2xy﹣x2+2x+1+2x第二步
＝2xy+4x+1第三步
（1）小颖的化简过程从第 　　步开始出现错误，错误的原因是 　
（2）写出此题正确的化简过程．









8．（2021秋•成都期末）若实数x、y满足x﹣2＝y，则代数式x2﹣2xy+y2的值为 　　．
9．（2021秋•洪山区期末）若（2022﹣a）（2021﹣a）＝2020，则（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝　 　．
10．（2021秋•铁西区期中）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 　　．
11．（2021秋•海淀区期末）化简：（x﹣2）2+（x+3）（x+1）．



12．（2021秋•丰台区期末）计算：（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）．





13.（1）； （2）； （3）； （4）．



【知识拓展2】完全平方公式的几何背景
14．（2021秋•越秀区期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
15．（2021秋•丰台区期末）如图，根据正方形ABCD的面积，写出一个正确的等式 　

16．（2021秋•宽城区期末）【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：
（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：　 　，　 　．
（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：　 　．
【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：
（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．
（4）当A＝，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．
















17．（2021秋•桦甸市期末）如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中阴影部分的正方形边长为 　 　．
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．


















18．（2021秋•延边州期末）（1）在数学中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2＝　 　；

（2）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面积为6，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和；
（3）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝7，CN＝3，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为60，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为 　 　．








【知识拓展3】完全平方式
19．（2021秋•绥棱县期末）要使x2+kx+4是完全平方式，那么k的值是（　　）
A．k＝±4 B．k＝4 C．k＝﹣4 D．k＝±2
20．（2021秋•铁锋区期末）如果多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是 　 　．
21．（2021秋•河东区期末）已知关于x的多项式16x2+mx+1是一个完全平方式，则常数m的值是 　　．
22．（2021秋•无为市期末）若4x2﹣12x+k是完全平方式，则k的值为 　　．


能力拓展

类型一、公式法——完全平方公式
例1、分解因式：
（1）； （2）；



（3）； （4）．




【变式】分解因式：
（1）．



（2）．



例2、分解因式：．





【变式】若，是整数，求证：是一个完全平方数.




类型二、配方法分解因式
例3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：

那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？
我们先考虑二次项系数为1的情况：如添上什么就可以成为完全平方式？

因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.
那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：.




类型三、完全平方公式的应用
例4、若、、为三角形的三边边长，试判断的正负状况．





【变式】若△ABC的三边长分别为、、,且满足，
求证：.





分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共3小题）
1．（2021秋•江油市期末）已知x2﹣2mx+9是完全平方式，则m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．±6 D．6
2．（2021秋•集贤县期末）已知x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
3．（2020秋•宜宾期末）若a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a﹣b的值是（　　）
A．0或7 B．0或﹣13 C．﹣7或7 D．﹣13或13
二．填空题（共5小题）
4．（2021秋•西城区期末）若a2+ka+9是一个完全平方式，则常数k＝　　．
5．（2021秋•克东县期末）如果x2﹣2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，则m＝　　．
6．（2021秋•郾城区期末）如果x2+mx+9是完全平方式，则m＝　　．
7．（2021秋•双辽市期末）若x2﹣2（m﹣1）x+16是一个完全平方式，则为m的值　 　．
8．（2021秋•武威月考）下面两个图形能验证的乘法公式是 　 　．


三．解答题（共4小题）
9．（2021秋•汝南县期末）认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　 　；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝4，求阴影部分的面积．





10．（2021秋•昌吉州期中）（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值．
（2）已知x+y＝6，，求x2+y2的值．









11．（2021春•石景山区校级期中）已知2x2﹣2x＝1，求代数式（x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）的值．





12．（2021春•甘孜州期末）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为 　　；
①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．
（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是 　 　；
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．














题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•崇川区校级月考）若x2+2mx+16是完全平方式，则（m﹣1）2+2的值是（　　）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
2．（2021春•迁安市期末）对于等式（a+b）2＝a2+b2，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是（　　）
甲：无论a和b取何值，等式均不能成立．
乙：只有当a＝0时，等式才能成立．
丙：当a＝0或b＝0时，等式成立．
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．只有丙正确 D．三人说法均不正确
3．（2021春•沙坪坝区校级期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（　　）
A．0 B．﹣5或7 C．7 D．9
4．（2021春•盐城期末）如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
5．（2021春•庐阳区期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（　　）

A．30 B．34 C．40 D．44
二．填空题（共6小题）
6．（2021秋•科左中旗期末）若a+b＝8，ab＝﹣5，则（a﹣b）2＝　　．
7．（2021秋•勃利县期末）若4x2﹣2kx+1是完全平方式，则k＝　　．
8．（2021秋•铁西区期末）多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m＝　　．
9．（2021春•拱墅区校级期中）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 　 ．
10．（2021春•醴陵市期末）小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 　　．
11．（2021春•南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 　　．











三．解答题（共3小题）
12．（2021秋•海淀区校级期末）已知x+y＝7，xy＝﹣8，求
（1）x2+y2的值；
（2）（x﹣y）2的值．





13．（2021秋•吉林期末）有若干张正方形和长方形卡片如图①所示，其中A型、B型卡片分别是边长为a、b的正方形．C型卡片是长为a、宽为b的长方形．
【操作一】若用图①中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡片 　　张，B型卡片 　　张，C型卡片 　　张；
【操作二】将C型卡片沿如图①所示虚线剪开后，拼成如图②所示的正方形，则选取C型卡片 　　张，阴影部分图形的面积可表示为 　 　；
【操作三】如图③，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图②中阴影部分的面积为4，图③中阴影部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为SA、SB、SC，求SA+SB+SC的值．








14．（2021秋•滑县期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．











题组C 培优拔尖练
1．（2021秋•虹口区校级月考）若，x+＝3，则＝　　．
2．（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝　　．
3．（2018秋•西湖区校级月考）已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝　　．



4．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝　 　，并说出第7排的第三个数是　　．

5．如果x﹣y＝+1，y﹣z＝﹣1，那么x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx＝　　．
6．（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有　　项，系数分别为　 　；
（2）（a+b）n展开式共有　 　项，系数和为　　．


7．已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为　　．
二．解答题（共7小题）
8．（2021秋•黄石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．




9．（2021秋•平邑县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的面积为 　 　；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 　 　；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？












10．（2021春•电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为 　　 或 　　 ，这就验证了乘法公式 　 　（用式子表达）；
（2）问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，
而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．
尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：
13+23+33＝　 　．（要求自己构造图形并写出推证过程）．
（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝　 　．








11．（2020秋•安岳县期末）阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　　；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为　　平方单位．















12．（2021秋•南安市期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．
（1）用含a、b的代数式表示GC＝　 　；
（2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长；
（3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝　　．




13．（2021秋•石景山区校级期中）下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b）7的展开式共有　　项，（a+b）n的展开式共有　　 项，各项的系数和是　 ．

14．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是　 　．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝　 　；
【方法2】S阴影＝　 　；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．