初中数学北师大版七年级下册1 两条直线的位置关系精品同步测试题

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第6讲 两条直线的位置关系
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1．理解余角（补角）与互余（互补）的区别和联系，会求已知角的余角或补角．
2.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；
3.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
4.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
5.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.
知识精讲

知识点01余角和补角
1.余角
如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余．其中一个角称为另一个角的余角．
2.补角
如果两个角的度数的和是180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补．其中一个角称为另一个角的补角．
3.角的度量
度量单位：度（记作：“”），分（记作：“”），秒（记作：“”）．
角的度量单位度、分、秒的关系：，．
4.同角（或等角）的余角相等．
同角（或等角）的补角相等．
【知识拓展1】（2021秋•威县期末）下列说法不正确的是（　　）
A．两点确定一条直线
B．经过一点只能画一条直线
C．射线AB和射线BA不是同一条射线
D．若∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2互余
【即学即练1】（2021秋•利通区期末）若∠A与∠B互为补角，且∠A＝28°，则∠B的度数是（　　）
A．152° B．28° C．52° D．90°
【即学即练2】（2021秋•锦江区校级期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠BOC＝20°，则∠AOD等于（　　）

A．160° B．140° C．130° D．110°
【知识拓展2】（2021秋•红桥区期末）若∠A＝20°18′，则∠A的补角的大小为 　 　．
【即学即练1】（2021秋•洪山区期末）若一个角比它的余角大30°，则这个角等于（　　）
A．30° B．60° C．105° D．120°
【即学即练2】（2021秋•封开县期末）下列叙述正确的是（　　）
A．延长直线AB到点C
B．30°和60°互为余角
C．5.1625精确到百分位是5.163
D．两点之间，直线最短
【知识拓展3】（2021秋•昆明期末）如图，∠AOC＝50°36′，OB是∠AOC的角平分线．
（1）当∠COD＝48°52′时，求∠BOD的度数．
（2）∠AOB的余角是多少度？












【即学即练1】（2021秋•吉林期末）【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°．
①若∠BCH＝36°，则∠ACD＝　　°；若∠ACD＝130°，则∠BCH＝　　°；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．







【即学即练2】（2021秋•长沙期末）如图，O是直线AB上一点，∠DOB＝90°，∠EOC＝90°．
（1）如果∠DOE＝50°，求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOD，求∠BOE．







【即学即练3】（2021秋•威县期末）如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC．
（1）分别求∠AOB的补角和∠AOC的度数；
（2）现有射线OE，使得∠BOE＝30°．
①小明在图2中补全了射线OE，根据小明所补的图，求∠DOE的度数；
②小静说：“我觉得小明所想的情况并不完整，∠DOE还有其他的结果．”请你判断小静说的是否正确？若正确，请求出∠DOE的其他结果；若不正确，请说明理由．












知识点02相交线
【知识拓展1】（2021秋•杏花岭区校级期中）（1）直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，则这三条直线最多有 　　个交点；
（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线l4，则这四条直线最多可有 　　个交点．
（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，n（n＞1）条直线最多有　 个交点．
【即学即练1】（2021春•招远市期中）平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+n＝（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【即学即练2】（2020秋•江岸区期末）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为a1，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为a2，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为a3，…，（n+1）条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为an，若++…+＝，则n＝（　　）
A．10 B．11 C．20 D．21
知识点03邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
3. 邻补角与对顶角对比：
角的名称

特 征

性 质

相 同 点

不 同 点
对顶角

①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.

对顶角相等.


①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的.

①有无公共边；
②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.

邻补角


①两条直线相交而成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.

邻补角互补.

【知识拓展1】（2021秋•南岗区校级期末）如图所示方式摆放纸杯测量角的基本原理是 　 　．

【即学即练1】（2021秋•皇姑区期末）填空，完成下列说理过程：
如图，直线EF和CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF，∠AOE＝40°．求∠BOD的度数．
解：∵∠AOE＝40°（已知）
∴∠AOF＝180°﹣　　（邻补角定义）
＝180°﹣　　°
＝　　°
∵OC平分∠AOF（已知）
∴∠AOC＝∠AOF＝　　°（ 　 　）
∵∠AOB＝90°（已知）
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC（ 　 　）
＝180°﹣90°﹣　　°
＝　　°








知识点04垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

要点诠释：
(1)记法：直线a与b垂直，记作：；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点诠释：
（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
【知识拓展1】垂线（2021秋•双阳区期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练1】（2020秋•苍南县期末）如图，直线AB，CD交于点O，射线OE，OF都在直线AB的上方，且OE⊥OF．
（1）若∠AOC＝28°，∠BOF＝30°，求∠DOE的度数．
（2）若OB平分∠DOF，请写出图中与∠AOE互余的角 　 ．（直接写出所有答案）

【即学即练2】（2021秋•通州区期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝150°，则∠BOD的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【知识拓展3】垂线段最短（2021秋•昌平区期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD几条线段，其中只有线段PC与直线l垂直．这几条线段中，　　的长度最短．

【即学即练1】（2021秋•绿园区期末）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

【即学即练2】（2020秋•杭州期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：

（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 　 ，互补的角为 　 ．（各写出一对即可）
【知识拓展4】点到直线的距离（2021秋•南岗区校级期末）如图，点P是直线m外一点，A、B、C三点在直线m上，PB⊥AC于点B，那么点P到直线m的距离是线段（　　）的长度．

A．PA B．PB C．PC D．AB
【即学即练1】（2021春•天河区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段　　的长度．

知识点05平行线
一、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：

用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.
④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
【知识拓展1】（2021春•和平区校级月考）下列语句正确的有（　　）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
【即学即练1】（2021春•浦东新区期末）（1）补全下面图形，使之成为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的直观图；
（2）写出既与棱AB异面又与棱DD1平行的棱：　　；
（3）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高的比是3：2：1，它的所有棱长和是24厘米，那么这个长方体的体积是 　　立方厘米．

能力拓展

类型一、余角和补角
例1.一个角的补角比这个角的余角的3倍大14°，求这个角的度数？



【变式】已知x、y是正整数，的度数等于，的度数等于，且与互为补角，则x、y的和是多少？









例2.已知，与互余．
（1）若OP是的平分线，计算的度数；
（2）若与互补，OE平分，画出所有符合条件的图形，并直接写
出的度数．





类型二、邻补角与对顶角
例3．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。



例4.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．

【变式】已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．






例5.（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？
（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？






【变式】如图，直线AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是　 　，∠1的对顶角是　 　．

类型三、垂线
例6．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直




例7.如图，∠1=30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．

【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.

例8.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．

(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)







【变式1】如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．

【变式2】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋•南岗区期末）下列四幅图中，∠1和∠2是对顶角的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021秋•盐池县期末）若∠α的补角是125°24′，则∠α的余角是（　　）
A．90° B．54°36′ C．36°24′ D．35°24′
3．（2021秋•长春期末）下列4个角中，最有可能与65°角互补的角是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021秋•西山区期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠α与∠β相等（　　）
A． B．
C． D．

5．（2021秋•朝阳区期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西66°的方向，轮船B在OA的反向延长线的方向上，同时轮船C在东南方向，则∠BOC的大小为（　　）

A．45° B．31° C．24° D．21°
6．（2021秋•德惠市期末）一个角的余角的3倍比这个角的4倍大18°，则这个角等于（　　）
A．36° B．40° C．50° D．54°
7．（2021秋•安居区期末）如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝130°，则∠BOC的度数为（　　）

A．130° B．140° C．135° D．120°
二．填空题（共7小题）
8．（2021秋•桦甸市期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于　　．

9．（2021秋•兰考县期末）如果线段PO与线段AB互相垂直，O点在AB之间，设P到AB的距离为m，P到A的距离为n，那么m、n的大小关系是　 　．
10．（2020秋•黄陂区期末）如图，从直线l外一点P向l引三条线段PA、PB、PC，其中最短的线段为 　PB　，理由是 　 　．

11．（2021秋•长沙期末）若∠α＝27°，则∠α的补角是 　 ．
12．（2021秋•江汉区期末）一个角是28°40′，它的余角是 　 　．
13．（2021秋•汕尾期末）如图，AO⊥BO，CO⊥DO，则图中与∠BOC互补的角是 　　．

14．（2021秋•二道区校级月考）如图，OA⊥OB，若∠1＝55°16′，则∠2的度数是 　 　．

三．解答题（共8小题）
15．（2021春•秦都区月考）如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．

16．（2021秋•建华区期末）已知直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC＝50°，请你画出图形并求出∠COE的度数．







17．（2021秋•长春期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．

18．（2021春•瑶海区期末）如图，直线AB、CD和EF相交于点O．
（1）写出∠AOC、∠BOF的对顶角；
（2）如果∠AOC＝70°，∠BOF＝20°，求∠BOC和∠DOE的度数．

19．（2021春•简阳市 月考）如图所示，直线AB、CD相交O，OE⊥AB于O，且∠DOE＝3∠COE，求∠BOD的度数和∠AOD的度数．

20．如图，用刻度尺分别量出点P到直线AB，BC和AC的距离．






21．小威同学平时学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．这不，学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使∠1＝120°，AB⊥BC，那么∠2的度数是多少呢？

22．（2020秋•滨海县期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．














题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•佳木斯期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD＝90°．则图中互余的角有（　　）对．

A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2021秋•双辽市期末）下列说法正确的个数是（　　）
①平方等于本身的数是正数；
②单项式﹣π2x3y2的次数是7；
③近似数7与7.0的精确度不相同；
④因为a＞b，所以|a|＞|b|；
⑤一个角的补角大于这个角本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020秋•建湖县期末）下列说法中正确的是（　　）
A．一个锐角的补角比这个角的余角大90°
B．﹣a表示的数一定是负数
C．射线AB和射线BA是同一条射线
D．如果|x|＝5，那么x一定是5
4．（2020秋•海淀区校级期末）如图，直线AB，CD交于点O，已知EO⊥AB于点O，OF平分∠BOC，若∠DOE＝3∠EOF+5°，则∠AOD的度数是（　　）

A．71° B．72° C．73° D．74°
5．（2020秋•虎林市期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置于点A处，下列结论：
①∠BAE＞∠DAC；②∠BAD＝∠EAC；③AD⊥BC；④∠BAE+∠DAC＝180°；⑤∠E+∠D＝∠B+∠C．其中结论正确的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•镇海区期末）一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是 　　
7．已知∠2是∠1的余角，∠3是∠1的补角，则∠3比∠2大　　．
8．（2021秋•朝阳区期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝　　°．

9．（2018秋•黔南州期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝128°，那么∠BOC＝　 　．






10．（2015秋•张家港市期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：
①∠1是∠B的余角；
②图中互余的角共有3对；
③∠1的补角只有∠ACF；
④与∠ADB互补的角共有3个．
其中正确结论有　 　（把你认为正确的结论的序号都填上）

三．解答题（共6小题）
11．一个角的余角比这个角的补角的一半还少40°，求这个角的度数．





12．（2021秋•延边州期末）一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角的度数．












13．（2021秋•铁西区期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠AOC＝68°，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，如果直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，那么∠COE的度数为 　 　；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O按顺时针方向转动到某个位置，如果OC恰好平分∠AOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠AOC的内部，请直接用等式表示∠AOD和∠COE之间的数量关系．



















14．（2021秋•宽城区期末）如图①，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为 　　 ．（用含m的代数式表示）
（3）由（1）和（2）可得，∠BON和∠MOC之间的数量关系是 　　 ．
（4）若将直角三角形MON绕点O旋转到如图②所示的位置，其他条件不变，请问∠BON和∠MOC之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．



















15．（2021秋•双辽市期末）（1）已知：如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
（2）已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请判断∠AOC与∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）已知：如图3，∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．直接写出锐角∠MPN的度数是 　 　．


















16．（2021春•济阳区期中）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．

（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝　 　；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝　 　；
②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．












题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2020秋•奉化区校级期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共7小题）
2．（2019秋•建湖县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有　　 ．（填序号）

3．（2019秋•南岗区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝　 　．
4．当原点O到直线L：（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0的距离最大时，则k＝　 ．
5．若∠1＝30°，∠1与∠2互补，则∠2＝　 　．
6．已知∠AOB＝35°，以O为顶点作射线OC，OD．若∠AOC＝2∠AOB，OD⊥OB，则∠COD的度数为 　 　．
7．把一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，则∠1＝　　度，∠2＝　　度．

8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，∠BOF＝　　度；
（2）若∠BOF＝36°，∠AOC＝　　度．




三．解答题（共5小题）
9．（2020秋•封开县期末）如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．




10．（2021春•香坊区期末）如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．
（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；
（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；
（3）如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数







11．（2020秋•光明区期末）直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．
（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝　　 °；
（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝　　 °；
（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF＝56°，求∠BOE的度数．





















12．（2020秋•中山区期末）如图2，已知直角三角板CAB和直角三角板EAD，∠CAB＝45°，∠EAD＝30°．将两块三角板摆放在一起，且点A重合，过点A作射线AH、AF，且∠DAH＝∠DAB，∠CAF＝∠CAE．
（1）按图1所示位置摆放，则∠HAF＝　 　；
（2）按图2所示位置摆放，求∠HAF的值；
（3）按图3所示位置摆放，且∠EAH＝3∠BAF，求的值．


















13．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．
（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．