初中数学北师大版七年级下册4 用尺规作三角形精品同步测试题

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第12讲 用尺规做三角形与全等三角形的应用
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知识精讲

知识点01 作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
【知识拓展】（2021秋•和平区期末）如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线．
如图②，步骤如下：
第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
第二步，分别以点M，N为圆心，a的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
第三步，画射线OC．射线OC即为所求．
下列说法正确的是（　　）


A．a＞0 B． C． D．
【分析】根据基本作图（作一个角的平分线）进行判断．
【解答】解：第二步，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
【即学即练1】（2021秋•定西期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
【解答】解：∵PA＝PC，
∴P点为AC的垂直平分线的上的点．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【即学即练2】（2021秋•信都区期末）图1、图2是两个基本作图的痕迹，关于弧①、弧②、弧③所在圆的半径的长度，有以下的说法，其中正确的是（　　）

A．弧①所在圆的半径长度有限制，弧②、弧③所在圆的半径长度无限制
B．弧①、弧②、弧③所在圆的半径长度均无限制
C．弧①、弧②所在圆的半径长度有限制，弧③所在圆的半径长度无限制
D．弧①、弧②、弧③所在圆的半径长度均有限制
【分析】利用基本作图（过一点作直线的垂线和作线段的垂直平分线）进行判断．
【解答】解：图1中，过P点作AB的垂线，以P点为圆心，以P点到AB另外一边某一点的距离为半径画弧得到弧①，接着分别以C、D为圆心，以大于CD的长为半径画弧得到弧②；
图2中，作AB的垂直平分线，分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧得到弧③；
所以弧①②③所在圆的半径长度均有限制．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段和垂线段最短．
【即学即练3】（2021秋•信都区期末）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（　　）

A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图可得．
【解答】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．

【即学即练4】如图，在△ABC中，∠B是钝角，请你利用尺规作图作△ABC中BC上的高，写出作法，保留作图痕迹．

【分析】利用基本作图，过直线外一点作直线的垂线作AH⊥BC于H．
【解答】解：（1）以A点为圆心，AB为半径画弧交CB的延长线于D，
（2）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E，
（3）延长AE交直线BC于H，
则AH为BC边上的高．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．
知识点02 全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【知识拓展1】（2021秋•临海市期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（　　）

A．HL B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF．
【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．
【即学即练1】（2021秋•朝天区期末）小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（　　）

A．① B．② C．③ D．都可以
【分析】根据三角形全等的判定方法解答．
【解答】解：由图可知，带③能满足“角边角”，可以配一块与原玻璃一样形状和大小的玻璃．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【即学即练2】（2021秋•玉林期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′就可以，这是利用什么数学原理呢？（　　）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A′B′上，进而得出答案．
【解答】解：连接AB，A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
故选：B．

【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
【即学即练3】（2021秋•东台市期末）如图，要测量河两岸相对的A、B两点的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD，从点D出发沿与河岸BF的垂直方向移动到点E，使点E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（　　）

A．ASA B．HL C．SAS D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【即学即练4】（2021秋•龙凤区校级期末）已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B'，使∠ACB'＝∠ACB，这时只要出AB'的长，就知道AB的长，那么判定△ABC≌△AB'C的理由是（　　）

A．ASA B．AAS C．SAS D．HL
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】解：∵AC⊥AB
∴∠CAB＝∠CAB′＝90°
在△ABC和△AB′C中，
，
∴△ABC≌△AB′C（ASA）
∴AB′＝AB．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用．解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
【即学即练5】（2021秋•绵竹市期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【知识拓展1】（（2021秋•朝天区期末）小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．

【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB﹣PB求出即可．
【解答】解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝70°．
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA）．
∴DP＝AB．
∵BD＝11.2m，BP＝3m，
∴DP＝BD﹣BP＝8.2m，即AB＝8.2m．
答：路灯AB的高度是8.2m．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
【即学即练1】（2021秋•莆田期末）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为什么？

【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABD≌△ACD（SSS），进而得出答案．
【解答】解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AP平分∠BAC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确得出△ABD≌△ACD是解题关键．
【即学即练2】（2021秋•肇源县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．

【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
【即学即练3】（2021秋•崆峒区期末）小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？

【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB﹣PB求出即可．
【解答】解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝70°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP＝AB，
∵DB＝11.2，PB＝3，
∴AB＝11.2﹣3＝8.2（m），
答：路灯的高度AB是8.2米．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
【即学即练4】（2020秋•永城市期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度．他们是这样做的（如图所示）：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对（∠ABC＝90°）的一棵树A；
②沿河岸直走100步有一棵树C，继续前行100步到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走．
（1）只需测量△CDE的哪条边长，就可以得到河宽AB？
（2）请你证明他们做法的正确性．

【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB＝DE；
（2）利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】（1）解：只需测量△CDE的DE边长，就可以得到河宽AB；
（2）证明：由作法知，BC＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED，
即他们的做法是正确的．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，根据“角边角”证明△ABC和△EDC全等是解决问题的关键．
【即学即练5】（2021秋•莱西市期中）某校七年级一班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案：
方案a：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长；
方案b：如图（2）所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案a是否可行？请说明理由．
（2）方案b是否可行？不必说明理由．
（3）方案b中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 　对应角∠ABD＝∠BDE＝90°　，若仅满足∠ABD＝∠BDE，方案b的结论是否成立

【分析】（1）方案a对顶角相等，只要夹这个角的两边相等，利用“边角边”就可以判断三角形全等．
（2）方案b对顶角相等，又有垂直，两个对应角是直角，利用“角边角”，就可以判断两个三角形全等；
（3）根据垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）可行，
理由：在△ABC和△DEC中，

∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴DE＝AB．
（2）可行，
理由：∵AB⊥BF，ED⊥BF，
∴∠B＝∠CDE＝90°，
∵BC＝DC，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB．
（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是对应角∠ABD＝∠BDE＝90°，只要∠ABC＝∠BDE，方案b仍成立．
故答案为：对应角∠ABD＝∠BDE＝90°．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；在测量长度或者角度问题中，如果不能直接到达，可以构造全等三角形，利用对应边（角）相等，来解决问题．
能力拓展

一．解答题（共10小题）
1．（2019秋•遂宁期末）如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．

【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；
（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；

（2）猜想：∠MPN+∠AOB＝180°或∠MPN＝∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠MPN+∠AOB＝180°．
右图中，∵∠PJM＝∠OJN，∠AMJ＝∠JNO＝90°，
∴∠MPN＝∠AOB．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2020秋•宜兴市期中）如图，已知点D为OB上的一点，按下列要求进行作图．
（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP＝a；
（3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP与∠ODP的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OC即可；
（2）在OC上取一点P，使得OP＝a；
（3）以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM＝PN，利用HL证明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P＝∠ODP，再根据平角的定义即可求解．
【解答】解：（1）如图，OC即为所求；

（2）如图，OP＝a；

（3）∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°．
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，
PN⊥OB于N，则PM＝PN．
在△E2PM和△DPN中，
，
∴△E2PM≌△DPN（HL），
∴∠OE2P＝∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OA于另一点E1，连接PE1，
则此点E1也符合条件PD＝PE1，
∵PE2＝PE1＝PD，
∴∠PE2E1＝∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P＝180°，
∵∠OE2P＝∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP＝180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°．


【点评】本题主要考查了角平分线的作法，作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需要熟练掌握，另外还考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．
3．（2019春•金山区期末）线段AB与射线AP有一公共端点A．
（1）用直尺和圆规作出AB的中点M；（不写作图方法）
（2）用直尺和圆规作出以点B为顶点的∠ABQ，使∠ABQ＝∠PAB，且BQ与AP相交于点C．（不写作图方法）
（3）联结CM，用量角器测量∠AMC和∠BMC的度数，你认为∠AMC和∠BMC的大小关系如何？

【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径，在线段AB的上方和下方分别画弧，交于两点，连接这两点，与线段AB的交点就是中点M；
（2）根据作一个角等于已知角的方法，即可作出∠ABQ＝∠PAB，找到点C的位置；
（3）用量角器测量∠AMC和∠BMC的度数，会发现两角的度数相等．
【解答】解：（1）如图所示，点M即为所求；

（2）如图所示：∠ABQ即为所求；

（3）用量角器测量可知：∠AMC＝90°，∠BMC＝90°，
所以∠AMC和∠BMC的大小相等．

【点评】本题考查了用圆规和直尺的基本作图方法，熟练掌握作图步骤是关键．
4．（2019春•应城市期中）如图，直线AB、CD相交于O，P是CD上一点按要求画图并回答问题：
（1）过P点画AB的垂线段PE，垂足为E；
（2）过P点画CD的垂线段，与AB相交于F；
（3）说明线段PE、PO、FO三者的大小关系，其依据是什么？

【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线即可得；
（2）过直线上一点作已知直线的垂线可得；
（3）根据点到直线上所有点的连线中垂线段最短解答可得．
【解答】解：（1）如图，垂线段PE即为所求；


（2）如图，垂线段PF即为所求；

（3）PE＜PO＜FO，
∵PE⊥AB，
∴PE＜PO，
∵OP⊥PF，
∴PO＜OF，
∴PE＜PO＜FO．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握作已知直线的垂线的尺规作图和垂线段的性质是解题的关键．
5．（2019秋•花都区期中）已知△ABC，如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BDC的平分线DE；
（2）先根据角平分线的定义得到∠BDE＝∠CDE，再利用三角形外角性质得∠BDC＝∠A+∠ACD，加上∠ACD＝∠A，则∠BDE＝∠A，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥AC．
【解答】解：（1）如图，DE为所作；
（2）DE∥AC．理由如下：
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
而∠BDC＝∠A+∠ACD，
即∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ACD，
∵∠ACD＝∠A，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC．

【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
6．（2018秋•巢湖市期末）读题、画图、计算并作答：
画线段AB＝3cm，在线段AB上取一点K，使AK＝BK，在线段AB的延长线上取一点C，使AC＝3BC，在线段BA的延长线上取一点D，使AD＝AB．
（1）求线段BC、DC的长；
（2）点K是哪些线段的中点．
【分析】先根据题意画出图形，再计算解答．
【解答】解：

（1）如图：∵AB＝3cm，
∴AK＝BK＝AB＝×3＝1.5cm，
∵AD＝AB，
∴AD＝×3＝1.5cm．
又∵AC＝3BC，
设BC＝x，
则x＝AC＝（AB+BC）＝（3+x），
整理得出：x＝1，
解得：x＝1.5cm．
DC＝AD+AB+BC＝1.5+3+1.5＝6cm．

（2）∵K是AB的中点，DK＝AD+AK＝1.5+1.5＝3cm
CK＝BK+BC＝1.5+1.5＝3cm，
故K是AB和DC的中点．
【点评】此题很简单，只要根据题意画出图形，分别计算出各线段的长度即可解答．
7．（2021•罗湖区校级模拟）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．

【分析】（1）根据题意所述画出示意图即可．
（2）根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的长度也就得出了AB之间的距离．
【解答】解：（1）所画示意图如下：

（2）在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，
又∵小刚共走了100步，其中AD走了40步，
∴走完DE用了60步，
一步大约50厘米，即DE＝60×0.5米＝30米，
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米．
【点评】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类得题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可．
8．（2019秋•桐城市期末）如图所示，传说在19世纪初，一位将军率领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确地落在河对岸的敌军阵地，将军站在河这岸，将帽檐压低，使视线沿着帽檐恰好落在河对岸的边线上，然后他向后退（保证B′、B、C在一条直线上），一直退到视线落在河这岸的边线上为止，这时，他后退的距离就等于河宽，这是为什么？请给予证明．

【分析】由题意知∠ABC＝∠A′B′C′＝90°、AB＝A′B′、∠A＝∠A′，据此证△ABC≌△A′B′C′可得答案．
【解答】解：根据题意，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°
在△ABC和△A′B′C′中

∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）
∴BC＝B′C′
∴他后退的距离就等于河宽
【点评】本题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
9．（2020秋•赣州期中）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 　EF＝BE+FD　．

【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】探索延伸：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；
结论运用：连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF＝AE+BF，根据距离、速度和时间的关系计算即可．
【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，
∴FG＝DG+FD＝BE+DF；
结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．


【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线．
10．（2018秋•宿松县期末）（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝
60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　BE+DF＝EF　；

（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．

（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图2，

在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；

（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．

分层提分

题组A 基础过关练

一．选择题（共9小题）
1．（2021秋•讷河市期末）在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答
【解答】解：BC边上的高应从点A向BC引垂线，
只有选项D符合条件，
故选：D．
【点评】掌本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解三角形的高的概念．
2．（2021•罗湖区校级模拟）如图，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD，则一定有（　　）

A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90°
【分析】利用基本作法，作了线段CQ的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质可对各选项进行判断．
【解答】解：由作法得AD垂直平分CQ，
所以PQ＝PC．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
3．（2021•孝感二模）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到AB边的中点的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用基本作图进行判断．
【解答】解：作AB的垂直平分线可确定AB边的中点，所以通过可用直尺成功地找到AB边的中点．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是此类解决问题的关键．
4．（2020秋•娄底期末）如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（　　）

A．以C为圆心，以CD长为半径的弧
B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧
C．以D为圆心，以CD长为半径的弧
D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧
【分析】利用作角的平分线的画法进行判断．
【解答】解：由作图可知，弧①是以C为圆心，以大于CD长为半径的弧．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
5．（2021秋•长安区校级期末）如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果△AOB≌△COD，则只需测出（　　）

A．OD的长度 B．CD的长度 C．AB的长度 D．AC的长度
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△AOB≌△COD，
∴AB＝CD，
故只需测出CD的长度，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．（2021秋•乐亭县期末）一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）

A．带1，2或2，3去就可以了
B．带1，4或3，4去就可以了
C．带1，4或2，4或3，4去均可
D．带其中的任意两块去都可以
【分析】2、4虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形．
【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，
带1、4可以用“角边角”确定三角形，
带2、4可以延长还原出原三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．
7．（2021秋•环江县期末）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE＝AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（　　）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等，即ASA这一方法．
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．（2021秋•宁津县期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（　　）

A．5厘米 B．6厘米 C．2厘米 D．厘米
【分析】连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【解答】解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝5厘米，
∵EF＝6厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是×（6﹣5）＝（厘米），
故选：D．

【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
9．（2021秋•绿园区期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“要在BC边上找一点D，使AD＝BD”知点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，据此求解即可．
【解答】解：若要在BC边上找一点D，使AD＝BD，
则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，
故选：D．
【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质．
二．填空题（共3小题）
10．（2021秋•吉林期末）如图，AC＝DB，AO＝DO，CD＝55m，则A、B两点之间的距离为 　55　m．

【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△AOB≌△DOC（SAS），进而得出AB＝CD＝55m．
【解答】解：∵AC＝DB，AO＝DO，
∴AC﹣AO＝BD﹣DO，即BO＝CO，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝55m．
故答案为：55．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
11．（2021秋•怀化期末）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是　20　米．

【分析】由AB、ED均垂直于BD，即可得出∠ABC＝∠EDC＝90°，结合CD＝CB、∠ACB＝∠ECD即可证出△ABC≌△EDC（ASA），由此即可得出AB＝ED＝20，此题得解．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理（ASA）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．
12．（2021秋•崆峒区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，此时测得DE＝13米，则AB的长为 　13米　．

【分析】由垂线的定义可得出∠B＝∠EDC＝90°，结合BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，即可证出△ABC≌△EDC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB＝ED．
【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠B＝∠EDC＝90°．
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝13．
答：AB的长为13米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABC≌△EDC是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
13．（2020•浙江自主招生）海盗头子弗林特带着一群海盗匆匆忙忙来到一个孤岛上，打算将刚抢来的财宝藏在这个孤岛上．岛上有三棵树，构成一个三角形，其中山毛榉离海边最近，两棵橡树在山毛榉的两侧．他们从山毛榉到1号橡树拉一根绳子，然后从1号橡树出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度，把这一地点记为1号地点；然后从2号橡树出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度，把这一地点记为2号地点，最后他们把财宝埋藏在1号地点与2号地点的正中间，由于匆忙，离开的时候他们忘记了绘制藏宝图．半年后有个小海盗瞒着海盗头子偷偷潜回该岛，企图盗走财宝，他知道找财宝的诀窍，但令他失望的是，作为标记的山毛榉被台风刮走了，没有留下一点痕迹，只有两棵橡树还在．但他并不放弃，在没有山毛榉作标记的情况下，还是凭着智慧找到了财宝，你知道这个小海盗是怎样找到的吗？

【分析】首先以1号、2号橡树为边作正方形，再利用全等三角形的判定与性质得出正方形的对角线交点即为财宝．
【解答】解：如图：以1号、2号橡树为边作正方形，正方形的对角线交点即为财宝．

【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练应用正方形的性质得出是解题关键．
14．（2020秋•北海期末）某中学八年级同学到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一池塘，同学们想知道池塘两端的距离．某同学设计了如下测量方案：先取一个可直接到达池塘的两端的点A，B的点E，连接AE，BE，分别延长AE至点D，BE至点C，使得ED＝AE，EC＝BE．再测出CD的长度即可知道AB之间的距离．他的方案可行吗？请说明理由．

【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
15．（2021秋•孝义市期末）如图，已知线段a，b．射线AM．
实践与操作：在射线AM上作线段AB＝a，AC＝a﹣b．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

推理与探究：若线段AB的中点是点D，线段BC的中点是点E．请在上图中标出点D，E．探究：线段DE与AC有怎样的数量关系，并说明理由．

【分析】先在射线AM上截取AB＝a，再截取CB＝b，则AC＝a﹣b，由于线段AB的中点是点D，线段BC的中点是点E，则AD＝BD，CE＝BE，然后利用等线段代换可得到AC＝2DE．
【解答】解：如图，AB、AC为所作；

AC＝2DE．
理由如下：∵线段AB的中点是点D，线段BC的中点是点E，
∵AD＝BD，CE＝BE，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝DE+BE+CD＝DE+CE+CD＝DE+DE＝2DE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了两点间的距离．
16．（2021秋•花都区期末）如图，已知线段m，n（m＜n）．
（1）尺规作图：在射线AE上截取AC＝m，CB＝n，使得AB＝m+n（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若点O是AB的中点，当m＝3，n＝5时，求线段OC的长；
（3）在（1）的条件下，若点O是AB的中点，点D是AO的中点，则线段CD＝　　（用含m，n的代数式表示）．


【分析】（1）在射线AE上延长截取AC＝m，CB＝n，从而得到AB；
（2）先利用点O是AB的中点得到AO＝4，然后计算OA﹣AC即可；
（3）先由点O是AB的中点得到AO＝（m+n），再利用点D是AO的中点得到AD＝（m+n），然后计算AC﹣AD即可．
【解答】解：（1）如图，AB为所作；

（2）∵m＝3，n＝5，
∴AB＝3+5＝8，
∵点O是AB的中点，
∴AO＝AB＝×8＝4，
∴OC＝OA﹣AC＝4﹣3＝1；
（3）∵点O是AB的中点，
∴AO＝AB＝（m+n），
∵点D是AO的中点，
∴AD＝AO＝（m+n），
∴CD＝AC﹣AD＝m﹣（m+n）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了两点间的距离．
17．（2021秋•鼓楼区期末）如图，已知∠BAC．用三种不同的方法作∠α等于∠BAC．
要求：
（1）尺规作图；
（2）保留作图痕迹，不写作法．

【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法作出图形即可．
【解答】解：方法一、如图1所示，∠α即为所求；

方法二、如图2所示，∠α即为所求；

方法三、如图3所示，∠α即为所求；

【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18．（2021秋•崆峒区期末）小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？

【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB﹣PB求出即可．
【解答】解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝70°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP＝AB，
∵DB＝11.2，PB＝3，
∴AB＝11.2﹣3＝8.2（m），
答：路灯的高度AB是8.2米．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共4小题）
1．（2021•柳南区校级模拟）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6．依据尺规作图的痕迹可求出AD的长为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．6
【分析】证明△ABC是等边三角形，求出AB，BD，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：由题意，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∴AD＝＝＝3，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021•驻马店模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连接CF．若AC＝2，CG＝，则CF的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．
【分析】由作图过程可知：DE是BC的垂直平分线，FG∥AC，从而可以证明FG是△ABC的中位线，可得FG＝1，再根据勾股定理即可求出CF的长．
【解答】解：由作图过程可知：
DE是BC的垂直平分线，
∴FG⊥BC，CG＝BG，
∴∠FGC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴FG∥AC，
∵点G是BC的中点，
∴点F是AB的中点，
∴FG是△ABC的中位线，
∴FG＝AC＝2＝1，
在Rt△CFG中，根据勾股定理，得
CF＝＝＝2．
答：CF的长为2．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和性质．
3．（2021秋•淇县期末）如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
4．（2021春•温江区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（　　）

A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS
【分析】根据全等三角形的判定定理进行解答．
【解答】解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D．
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
二．填空题（共2小题）
5．（2021秋•西工区校级期中）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是　②③④　．
①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．

【分析】根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．
【解答】解：由作图可知，OC＝OD，PC＝PD，OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分线段CD，
故③④正确，
∵△PCD是等边三角形，PQ⊥CD，
∴CQ＝DQ，
∴CP＝2QC，故②正确，
故答案为②③④．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
6．（2021秋•沂源县期末）如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一共走了140步．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为 　40米　．

【分析】根据题意所述画出示意图即可，根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的长度也就得出了AB之间的距离．
【解答】解：所画示意图如下：

由题意知：AC＝DC＝30步，
DE＝140﹣30﹣30＝80（步），
∴80×0.5＝40（米），
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE＝40米，
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据题意建立数学模型是解决问题的关键．
三．解答题（共6小题）
7．（2021秋•川汇区期末）如图，已知射线AD，线段a，b．
（1）尺规作图：在射线AD上作线段AB，BC，使AB＝a，BC＝b．（保留作图的痕迹，不要求写出作法）
（2）若a＝5cm，b＝3cm，求线段AC的长．

【分析】（1）分两种情况在射线AD上作线段AB，BC，使AB＝a，BC＝b；
（2）结合（1）根据a＝5cm，b＝3cm，即可求线段AC的长．
【解答】解：（1）如图，线段AB，BC（或BC′）即为所求；，

（2）AC＝a+b＝8cm，或AC′＝a﹣b＝2cm．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
8．（2021秋•开州区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．
（1）尺规作图：作∠CAB的角平分线，交CD于点P，交BC于点Q（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ABC＝54°，求∠CPQ的度数．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）求出∥CAQ，∠ACD，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线AQ即为所求；

（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝54°，
∴∠CAB＝36°，
∵AQ平分∠ACB，
∴∠CAQ＝∠CAB＝18°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝54°，
∴∠CPQ＝∠CAQ+∠ACD＝18°+54°＝72°，
即∠CPQ的度数为72°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．如图，已知∠BAC，用三种不同的方法画出∠BAC的角平分线．
要求：（1）画图工具：带有刻度的直角三角板；（2）保留画图痕迹，简要写出画法．


【分析】方法一：分别在射线AB，AC上截取AM，AN，使得AM，AM＝AN，分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AC，ME交NF于点P，作射线AP，射线AP即为所求；
方法二：分别值射线AB，AC上 截取AM，AN，使得AM，＝AN，取AM，AN的中点E，F，连接EN，MF，EN交FM于点P，作射线AP，射线AP即为所求；
方法三：在射线AB，AC上截取AE，AF，使得AE＝AF，画AP⊥EF，射线AP即为所求．
【解答】解：如图，射线OP即为所求．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021秋•庐阳区期末）已知：∠α，∠AOB（如图）．
（1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，则∠AOC的度数为 　40°或80°　．

【分析】（1）利尺规根据要求作出图形即可；
（2）分两种情形求解可得结论．
【解答】解：（1）如图，∠BOC，∠BOC′即为所求；


（2）∵∠AOB＝60°，∠BOC＝∠BOC′＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°或∠AOC′＝∠AOB+∠BOC′＝80°．
故答案为：40°或80°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
11．（2021秋•岚皋县期末）如图，已知△ABC，利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】利用尺规作出∠ABC的平分线BD即可．
【解答】解：如图，射线BD即为所求．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
12．（2021秋•道县期末）小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小河的宽度（即图中AB的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：
如图，先测量出BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，点B、E、D在同一直线上，点A，E，C在同一直线上，测量出CD＝8m，小琪就知道河面宽度AB的长了．则你认为河宽AB是多少？请说明理由．

【分析】河宽为8米，理由如下：由于BE＝DE，∠B＝∠D，对顶角相等，利用“角边角”，可以判断两个三角形全等，从而AB＝CD＝8m．
【解答】解：河宽为8米，理由如下：
在△ABE和△CDE中，
．
∴△ABE≌△CDE（ASA）．
∴AB＝CD＝8m．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
日期：2022/3/21 18:37:07；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：3
题组C 培优拔尖练
一．解答题（共12小题）
1．（2019春•汝州市期中）作图题
如图，点C，E均在直线AB上，∠BCD＝45°．
（1）在图中作∠FEB，使∠BEF＝∠DCB（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出直线EF与直线CD的位置关系．

【分析】（1）根据射线EF与射线CD在直线AB的同侧，另一个则在直线AB的两侧得出两种情况；
（2）分别利用若射线EF与射线CD在直线AB的同侧，则直线EF与直线CD平行；若射线EF与射线CD在直线AB的两侧，则直线EF与直线CD相交．
【解答】解：（1）如图所示，∠BEF即为所求：

（2）当射线EF与射线CD在直线AB的同侧时，由∠BEF＝∠BCD知直线EF与直线CD平行；
当射线EF与射线CD在直线AB的两侧时，延长DC交EF于点G，
∵∠BEF＝∠BCD＝∠ECG＝45°，
∴∠EGC＝90°，
∴EF⊥CD．
【点评】主要考查了作一角等于已知角，注意分类讨论思想的应用，此题容易漏解．
2．（2018秋•江岸区校级月考）已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，并证明
作法：①在射线OA上取点C，以O为圆心，　OC　的长为半径画弧交OB于D
②画一条射线O′A′，以O′为圆心，　OC　的长为半径画弧交O′A′于点C′
③以点C′为圆心，　CD　的长为半径画弧与第②步中所画弧交于点D′
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．

【分析】根据全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：作法：①在射线OA上取点C，以O为圆心，OC的长为半径画弧交OB于D
②画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC的长为半径画弧交O′A′于点C′
③以点C′为圆心，CD的长为半径画弧与第②步中所画弧交于点D′
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
故答案为OC，OC，CD．
理由：在△COD和△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS），
∴∠COD＝∠C′O′D′．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
3．（2015秋•东城区期末）数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小强的作法如下：
①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；
②在∠AOB处，再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线OC；
③去掉三角板后得到的图形如图3．
老师说小强的作法完全符合要求．
请你回答：
（1）小强画的∠AOB的度数是　150°　；
（2）射线OC是∠AOB的平分线的依据是　∠BOC＝∠AOB　．

【分析】（1）按照把摆放的三角板，利用三角板中的特殊角可计算出∠AOB的度数；
（2）按照把摆放的三角板，利用三角板中的特殊角可计算出∠BOC的度数，从而可得∠BOC＝∠AOB，所以射线OC是∠AOB的平分线．
【解答】解：（1）∠AOB＝60°+90°＝150°；
故答案为150°；
（2）∠BOC＝30°+45°＝75°，
所以∠BOC＝∠AOB．
故答案为150°；∠BOC＝∠AOB．
【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
4．（2015秋•北京校级期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图（图1）：作一个角的平分线．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线OP．
小芸的作法如下：请你跟随小芸的叙述，在图中完成这个尺规作图．
如图（图2），
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P．
（3）画射线OP，射线OP即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是　SSS　．

【分析】先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等可得出其依据．
【解答】解：如图所示：
小芸的作图依据是：
从画法（1）可知OM＝ON，
从画法（2）可知PM＝PN，
又OP＝OP，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，
∴∠MOP＝∠NOP，
即射线OO就是∠AOB的角平分线．
故答案为：SSS．

【点评】此题主要考查了基本作图，正确利用全等三角形的性质是解题关键．
5．（2014秋•太原期末）如图，已知线段a，b和∠O．
（1）用直尺和圆规在∠O的一边上作线段OA＝a，在另一边上作线段OB＝b，并作直线AB

（2）根据（1）中作出的图形，解答下列问题：
①用大写字母表示所有的线段：　OA，OB，AB　
②以点A为端点的射线共有　3　条．
【分析】（1）以点O为圆心，分别以线段a，b为半径画圆，使OA＝a，OB＝b，作过AB的直线即可；
（2）①根据线段的表示方法表示出所有的线段；
②根据射线的定义写出所有的射线．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）①由图可知，线段有OA，OB，AB．
故答案为：OA，OB，AB；

②以点A为端点的射线有射线有3条．
故答案为：3．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一条线段等于已知线段的作法是解答此题的关键．
6．（2021春•榆林期末）如图，在河的北岸种植一排小树AB，点C在河的南岸，已知在△ABC中，D是BC边的中点，AD的长度和方向都已确定，现在想要过点C也种植一排与AB平行的小树，小明使用了如下方法：延长AD到E，使DE＝DA，连接 EC，那么就能得知AB∥EC，请你说明这样做的理由．

【分析】根据题意得出AD＝DE，BD＝DC，再利用SAS证明△ADB≌△EDC，结合平行线的判定方法得出答案．
【解答】解：由题意可得：AD＝DE，BD＝DC，
在△ADB和△EDC中
，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥EC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用以及平行线的判定等知识，正确得出△ADB≌△EDC是解题关键．
7．（2020秋•邓州市期中）如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小有什么关系．

【分析】（1）由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，不难求解．
【解答】解：（1）△ABC与△DEF全等．理由如下：
在Rt△ABC与Rt△DEF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；

（2）∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由（1）知，Rt△ABC≌Rt△DEF，则∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°．
【点评】此题考查了学生对全等三角形的判定及性质的运用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法．
8．（2019秋•定南县期中）淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．

【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD＝OB，利用ASA定理可得，△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝20（m）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
9．（2017秋•高唐县期末）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm，如图，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．
（2）若固定一根木条AB不动，AB＝2cm，量得木条CD＝5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A．C．D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．

【分析】（1）连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可；
（2）由题意点C在点D右侧时，构建方程组即可解决问题；
【解答】解：（1）相等．
理由：连接AC，
在△ACD和△ACB中，
∵，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠B＝∠D；

（2）设AD＝x，BC＝y，
由题意点C在点D右侧，可得，
解得；
∴AD＝13cm，BC＝10cm．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、二元一次方程组、三角形三边关系等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考常考题型．
10．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．
（1）若AB＝2，求BC的长；
（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD＝CG；
（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．

【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．
（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD＝PG，再利用30度角性质即可解决问题．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP＝PC，作DK⊥AB于K，设BK＝DK＝a，则AK＝a，AD＝2a，只要证明∠BAD＝30°即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
在RT△AHB中，∵AB＝2，∠B＝45°，
∴BH＝AB•cosB＝2×＝2，
AH＝AB•sinB＝2，
在RT△AHC中，∵∠C＝30°，
∴AC＝2AH＝4，CH＝AC•cosC＝2，
∴BC＝BH+CH＝2+2．
（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，
∵AG⊥AD，∴∠DAF＝∠EAC＝90°，
在△DAF和△GAE中，
，
∴△DAF≌△GAE，
∴AD＝AG，
∴∠BAP＝90°＝∠DAG，
∴∠BAD＝∠PAG，
∵∠B＝∠APB＝45°，
∴AB＝AP，
在△ABD和△APG中，
，
∴△ABD≌△APG，
∴BD＝PG，∠B＝∠APG＝45°，
∴∠GPB＝∠GPC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴PG＝GC，
∴BD＝CG．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP＝PC，
在RT△AHC中，∵∠ACH＝30°，
∴AC＝2AH，
∴AH＝AP，
在RT△AHD和RT△APG中，
，
∴△AHD≌△APG，
∴∠DAH＝∠GAP，
∵GM⊥AC，PA＝PC，
∴MA＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝∠MAH＝30°，
∴∠DAM＝∠GAM＝45°，
∴∠DAH＝∠GAP＝15°，
∴∠BAD＝∠BAH﹣∠DAH＝30°，
作DK⊥AB于K，设BK＝DK＝a，则AK＝a，AD＝2a，
∴＝＝，
∵AG＝CG＝AD，
∴＝．


【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．
11．（2013秋•桥西区期中）附加题（一中学生必做，其他学校选做）
如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在DB的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE＝CA，然后她测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．
（1）你能说明张倩这样做的根据吗？
（2）如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定AB的长度范围吗？
（3）在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在△ABC中，AD是BC边的中线，AD＝3cm，AB＝5cm，求AC的取值范围．

【分析】（1）根据题意只要证明△ABC≌△EDC即可证明DE＝AB；
（2）确定AB的长度就是确定DE的长度，由题意可列出关系式AE﹣AD＜DE＜AD+AE，然后代入数据即可求出；
（3）先由题意画出图形，然后做AD的延长线，使DE＝AD，再连接EC，根据（1）（2）可列出关系式AE﹣CE＜AC＜CE+AE，再代入数据即可求得．
【解答】解：（1）在△ABC和△EDC中，

∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝DE．

（2）∵AE﹣AD＜DE＜AD+AE，
又∵AC＝CE＝120，AB＝DE，AD＝200，
∴240﹣200＜DE＜200+240，
即40米＜DE＜440米，
∴40米＜DE＜440米．

（3）如图，延长AD至E使DE＝AD，连接EC；
根据（1）（2），∴AE﹣EC＜AC＜CE+AE，
∴6﹣5＜AC＜6+5，
即1cm＜AC＜11cm．


【点评】本题考查了全等三角形的应用；解决此题的关键是找全等三角形，根据全等三角形的性质来判定三角形全等，继而求出对应边相等，然后再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质来求边的取值范围．
12．把一张方格纸贴在纸板上．按图1所示画上正方形，然后沿图示的直线切成5小块．当你照图2的样子把这些拼成正方形的时候中间居然出现了一个洞！
我们发现，图1的正方形是由49个小正方形组成的．图2中拼成的正方形却只有48个小正方形．哪一个小正方形没有了？它到哪去了？

【分析】本题要运用三角形全等，和多边形全等的知识判断每个对应标号的多边形是不是全等的．例如：仔细看看左右的多边形3，是两个梯形，但是他们的上底不相等，所以左右的梯形3不全等．
【解答】解：5小块图形中最大的两块对换了位置之后，被那条对角线切开的每个小正方形都变得高比宽大一点点．这意味着这个大正方形不再是严格的正方形．它的高增加了，从而使得面积增加，所增加的面积恰好等于那个方洞的面积．

【点评】本题考查了全等三角形的应用；由于三角形具有稳定性，三角形的全等判断有简便方法；其他多边形不稳定，需要各对应边相等，各对应角相等，才能判断他们全等．
声明：试题


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