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北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（困难）（含答案解析） 试卷
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这是一份北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（困难）（含答案解析），共36页。
北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠C=72∘，D是AB的中点，点E在AC上，DE⊥AB，连接BE，则cosA的值为( )
A. 5−12 B. 5−14 C. 5+14 D. 5+12
2. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：
①EF⊥BG；
②GE=GF；
③△GDK和△GKH的面积相等；
④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，
其中正确的结论共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. △ABC是锐角三角形，sinC=45，则sin A的取值范围是( )
A. 0
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
5. C为线段AB上一点，在线段AB的同侧分别作等边△ACD、△BCE，连接AE、BD相交于F，连接CF.若S△DEF=123，则CF=( )
A. 33
B. 43
C. 3
D. 53
6. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B、C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosa=45.下列结论：①当BD=6时，△ABD与△DCE全等；②△ADE∽△ACD；③△DCE为直角三角形时，BD为8或252；④CD2=CE·CA.其中正确的结论有几个：( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为31316；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+372．
其中，正确结论的序号为( )
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③
8. 学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境．预计花园每平方米造价为40元，学校建这个花园需要投资(精确到1元，参考数据2≈1.414,3≈1.732)( )
A. 41578元 B. 41568元 C. 33936元 D. 33946元
9. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD米数为(结果精确到0.1米，参考数据：2=1.41，3=1.73.)( )
A. 2.8 B. 2.9 C. 3 D. 3.5
10. 某斜坡的坡度i=1:33，则该斜坡的坡角为( )
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
11. 某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度(或坡比)为i=1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)( )
A. 774米 B. 772米 C. 56米 D. 66米
12. 5G时代，万物互联.互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活.网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC的平台CD上，已知山坡BC的坡度为1：2.4.身高1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°，向前步行6米到达B处，再沿斜坡BC步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是50°，若A、B、C、D、M、N在同一平面内，且A、B和C、D、N分别在同一水平线上，则发射塔MN的高度约为( )
(结果精确到0.1米，参考数据：sin 37° ≈ 0.6，cos 37° ≈ 0.8，tan 37° ≈ 0.75，sin 50° ≈ 0.77，cos50° ≈ 0.64，tan 50° ≈ 1.20 )
A. 17.3米 B. 18.9米 C. 65.0米 D. 66.6米
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=2，D是边AB上一点.连接CD，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在△ABC的内部(不含边界)时，AD长度的取值范围是_____．
14. 如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BNCN的值为______．
15. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面的垂直距离为25m，则这个坡面的坡度为__________．
16. 在四边形ABCD中，AC⊥BD，∠BAD=45°，∠ACD=2∠CAB，BD=2，AC=522，则CD的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=35，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，求B′DCD的值．
18. (本小题8.0分)
如图，Rt△AOB在平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=23，AO=6，∠ABO的角平分线BE与AB的垂直平分线DE的交点E在AO上．
(1)求直线BE的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)x轴上是否存在点P，使△PAD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE//AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．
(1)求CD的长；
(2)若点M是线段AD的中点，求EFDF的值．
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边AB上，DE平分∠CDB交边BC于E，EM是线段BD的垂直平分线．
(1)求证：CDBC=BEBD；
(2)若AB=10，cosB=45，求CD的长．
21. (本小题8.0分)
如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部距离地面1.2米．卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°，问此时车厢的最高点A距离地面多少米？(精确到1m)
22. (本小题8.0分)
某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长BC=20m，斜坡上的影长CD=8m，已知斜坡CD与操场平面的夹角为30°，同时测得身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3m.求旗杆AB的高度．(结果精确到1m)
(提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据：2≈1.414．3≈1.732．5≈2.236)
23. (本小题8.0分)
如图，某校数学兴趣小组要测量大楼AB的高度．他们在点C处测得楼顶B的仰角为30°，再往大楼AB方向前进至点D处测得楼顶B的仰角为48°，CD=96m，其中点A、D、C在同一直线上．求AD的长和大楼AB的高度(结果精确到1m).参考数据：sin48°=0.74，cos48°=0.67，tan48°=1.11．3=1.73．
24. (本小题8.0分)
如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向800千米的B处，以50千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．
(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
25. (本小题8.0分)
如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮筐D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，
先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC.再证明△BEC∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式CEBC=BEAB，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
【解答】
解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72∘，
∴∠ABC=∠C=72∘，∠A=180°−∠C−∠ABC=36∘，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，AD=2，
∴∠ABE=∠A=36∘，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=36∘，
∠BEC=180°−∠EBC−∠C=72∘，
∴∠BEC=∠C=72∘，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4−x．
在△BEC与△ABC中，
∠CBE=∠A=36∘，∠C=∠C=72∘，
∴△BEC∽△ABC，
∴CEBC=BEAB，即4−xx=x4，
解得x=−2±25
经检验x=−2±25都是方程的解，但由于x>0，∴负值舍去，
∴AE=−2+25．
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA=ADAE=225−2=5+14．
故选C．
2.【答案】C
【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，
∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，
∴EF垂直平分BG，∠FEG=∠BEF
∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，
∵AD//BC，
∴∠EFB=∠FEG，
又∵∠FEG=∠BEF，
∴∠EFB=∠BEF，
∴BE=BF，
又∵BE=EG，BF=FG
∴GE=GF，故②正确，
∵BE=EG=BF=FG，
∴四边形BEGF是菱形，
当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，
∵ABBE=612=12，
∴∠AEB=30°，
∵∠FEG=∠BEF
∴∠FEG=75°，即∠DEF=75°，故④正确，
过点K作KM⊥GH于点M，
∵四边形BEGF是菱形，
∴BG平分∠DGH，
∴KD=KM，
又KG为公共边
∴Rt△GDK≌Rt△GMK，即S△GDK=S△GMK
故选C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值的有关知识，因为△ABC为锐角三角形所以C+A>90°，0°
解：因为△ABC为锐角三角形
所以C+A>90°，0°
所以cos90°
1>1−cos²A>1−1625=925
即1>sin²A>925，
1>sinA>35，
∴sinA的取值范围是：35
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的锐角三角函数值，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PM及PN的长．利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质和特殊角的锐角三角函数值等知识，逐一判断，即可得出结论．
【解答】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60∘，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90∘
∴∠ABE=∠DCF=30∘，
∴∠CPD=∠CDP=75∘，
∴∠PDE=∠ADC−∠CDP=90°−75°=15∘，
∵∠PBD=∠PBC−∠HBC=60∘−45∘=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE．
故①正确；
∵△BDE∽△DPE，
∴∠BDE=∠DPE=45°，
∴∠DPF=∠DPE+∠EPF=45°+60°=105°，
∵∠PDH=∠CDP−∠CDP=75°−45°=30°，
∴∠BHP=∠DPH+∠PDH=75°+30°=105°，
∴∠BHP=∠DPF，
∵∠PBD=∠PDF=15°，
∴△BPH∽△DFP，
故②正确；
在Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴tan∠DCF=tan30°=DFCD=33，
∵BC=CD，
∴DFBC=33，
∵AD//BC，
∴△DHF∽△BHC，
∴FHCH=DFBC=33，
故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60∘，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30∘
∴CM=PN=PB⋅sin60∘=4×32=23
PM=PC⋅sin30∘=4×12=2，
∵DE//PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM=DMPM=4−232=2−3，
故④正确．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：如图，作EH⊥BD于H，设AE与CD交于点O，
∵△ADC，△EBC都是等边三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
AC=CD∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠AOC=∠DOF，
∴∠DFO=∠OCA=60°，
∴△DOF∽△AOC，
∴DOAO=OFOC，
∴DOOF=AOOC，
∵∠AOD=∠FOC，
∴△DOA∽△FOC，
∴∠ADO=∠OFC=60°，∠DCF=∠DAF，
∴∠CFB=60°，
∴∠DFC=∠EFC=120°，
∵∠ECB=∠DAC=60°，
∴AD//CE，
∴∠DAF=∠FEC，
∴∠DCF=∠FEC，
∴△DFC∽△CFE，
∴DFCF=CFEF，
∴CF2=DF⋅EF，
∵S△DEF=12⋅DF⋅EF⋅sin60°=123，
∴DF⋅EF=48，
∴CF2=48，
∵CF>0，
∴CF=43．
故选：B．
如图，作EH⊥BD于H.首先证明∠DFA=∠AFC=∠CFB=60°，再证明△DFC∽△CFE，推出DFCF=CFEF，推出CF2=DF⋅EF，由S△DEF=12⋅DF⋅EF⋅sin60°=123，推出DF⋅EF=48，可得CF2=48，由此即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．也考查了解直角三角形．根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，而∠ADE=∠B=α，则∠ADE=∠C，所以△ADE∽△ACD，于是可对②进行判断；作AH⊥BC于H，如图1，先证明△ABD∽△DCE，再利用余弦定义计算出BH=8，则BC=2BH=16，当BD=6时，可得AB=CD，则可判断△ABD≌△DCE，于是可对①进行判断；由于△DCE为直角三角形，分类讨论：当∠DEC=90°时，利用△ABD∽△DCE得到∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，易得BD=8，当∠EDC=90°，如图2，利用△ABD∽△DCE得到∠DAB=∠EDC=90°，然后在Rt△ABD中，根据余弦的定义可计算出BD=252，于是可对③进行判断；由于∠BAD=∠CDE，而AD不是∠BAC的平分线，可判断∠CDE与∠DAC不一定相等，因此△CDE与△CAD不一定相似，这样得不到CD2=CE⋅CA，则可对④进行判断．
【解答】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以②正确；
作AH⊥BC于H，如图1，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，
∵cosB=cosα=BHAB=45，
∴BH=45×10=8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6时，CD=10，
∴AB=CD，
∴△ABD≌△DCE，所以①正确；
当∠DEC=90°时，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，
∴点D与点H重合，此时BD=8，
当∠EDC=90°，如图2，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠DAB=∠EDC=90°，
在Rt△ABD中，cosB=cosα=ABBD=45，
∴BD=1045=252，
∴△DCE为直角三角形时，BD为8或252，所以③正确；
∵∠BAD=∠CDE，
而AD不是∠BAC的平分线，
∴∠CDE与∠DAC不一定相等，
∴△CDE与△CAD不一定相似，
∴CD2=CE⋅CA不成立，所以④错误．
故正确的为①②③，共3个．
故选C．
7.【答案】D
【解析】解： ①在△ABC中可知PC恒大于PD，PD大于等于DQ，
∴PC>DQ，故 ①错误;
②∵∠A=∠B=60∘，
∴当ADBP=AQBC时，△AQD∽△BCP，
设BP=a，则AQ=52−a，
则12a=52−a3，
整理得2a2−5a+3=0，△=(−5)2−4×2×3=1>0，故方程有解，故 ②正确;
③设AQ=x，
则S四边形PCDQ=12×3×332−12×12×32x−12×(3−x−12)×332=338+538x．
∵x的最大值为3−12=52，
∴当x=52时，四边形PCDQ的面积最大，最大值为31316，故 ③正确;
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F//PQ，且D′F=PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形PCDQ的周长最小.过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于点H，交AB于点J．
由题意得DD′=2AD·sin60∘=32，HJ=12DD′=34，CJ=332，
FH=32−12−14=34，
∴CH=CJ+HJ=734，
∴CF=FH2+CH2=(34)2+(734)2=392，
∴四边形PCDQ的周长的最小值为3+392，故 ④错误，
所以正确的有 ② ③，
故选D．
①根据三角形的边角关系即可判断①．
②当ADBP=AQBC时，△AQD∽△BCP，整理得到一元二次方程，根据根的判别式判断方程有解，即可判断②．
③设AQ=x，则S四边形PCDQ=338+535x，当x取最大值时，可得结论，即可判断③．
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F//PQ，且D′F=PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形PCDQ的周长最小.求出CF的长即可判断④．
本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．延长BC，过A作AD⊥BC的延长线于点D，再根据补角的定义求出∠ACD的度数，由锐角三角函数的定义接可求出AD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积，再根据每平方米造价为40元计算出所需投资即可．
【解答】
解：延长BC，过A作AD⊥BC的延长线于点D，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=180°−120°=60°，
∵AC=60米，
∴AD=AC⋅sin60°，
=60×32，
=303(米)，
∴S△ABC=12BC⋅AD，
=12×40×303，
=6003(平方米)，
∴所需投资=6003×40≈41568(元)．
故选B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型．在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．
【解答】
解：在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，
∴CM=MB⋅tan30°=12×33=43，
在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，
∴∠MAD=∠MDA=45°，
∴MD=AM=4米，
∴CD=CM−DM=43−4≈2.9(米)，
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了坡度，坡角的概念和特殊角的三角函数值．解题关键是理解坡度的定义．解题时，设坡角为α，运用坡度的定义tanα=i，求出tanα的值，再利用特殊角的三角形函数值求出α的度数即可．
【解答】
解：∵斜坡的坡度i=1:33=3，设坡角为α，
∴tanα=i=1:33=3，
∴α=60°．
故选B．
11.【答案】B
【解析】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i=1：2.4，
∴DMCM=12.4=512，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，CD=26米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即(5k)2+(12k)2=262，
解得k=2，
∴DM=10(米)，CM=24(米)，
∵斜坡CB的坡度为i=1：2.4，
设DE=12a米，则BE=5a米，
∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=CM+MF=(24+12a)米，
∴AE=AF−EF=24+12a−10=(14+12a)米，
在Rt△ADE中，DE=12a米，AE=(14+12a)米，
∵tan∠ADE=AEDE=tan53°≈43，
∴14+12a12a=43，
解得a=72，
∴DE=12a=42(米)，AE=14+12a=56(米)，
BE=5a=352(米)，
∴AB=AE−BE=56−352=772(米)，
答：基站塔AB的高为772米．
故选：B．
通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i=1：2.4，CD=26，由勾股定理可求出DM的长，设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
本题考查解直角三角形−仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，设C点处垂线与视线交点为F，过F点作FL⊥MN，垂足为L，过E点作EI⊥MN，交MN的延长线于I，延长AB交MN的延长线于H，设MN=xm，CN=ym，由BC的坡度结合勾股定理可得BG=6m，CG=512BG=2.5m，通过解直角三角形可得x−1.6y=1.2①，x+0.912+y=0.75②，两式联立解方程组即可求解x值，即求得MN的值．
【解答】
解：设C点处垂线与视线交点为F，过F点作FL⊥MN，垂足为L，过E点作EI⊥MN，交MN的延长线于I，延长AB交MN的延长线于H，
设MN=xm，CN=ym，
由题意得AE=CF=1.6m，
由山坡BC的坡度为1：2.4可得CGBG=12.4=512，
∴BC2=CG2+BG2=5122+1BG2=169144BG2，
∴BC=1312BG，
∵BC=6.5m，
∴BG=6m，CG=512BG=2.5m，
在Rt△MFL中，tan50°=MLFL≈ 1.20，
∵ML=MN−LN=MN−FC=(x−1.6)m，FL=CN=y m，
∴x−1.6y=1.2①，
在Rt△EIM中，tan37°=MIEI≈0.75，
∵EI=AH=AB+BG+GH=6+6+y=(12+y)m，
MI=MN+NI=MN+NH−IH=x+CG−AE=x+2.5−1.6=(x+0.9)m，
∴x+0.912+y=0.75②，
①②联立可得x−1.6y=1.2x+0.912+y=0.75,
解得
x=28415≈18.9y=1309,
即MN为18.9m．
故选B．
13.【答案】55
【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点E落在AB和BC上时AD的值是本题的关键．
由勾股定理可而且AB的长，分别求出当点E落在AB上时和当点E落在BC上时，AD的长，即可求解．
【解析】
解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=AC2+BC2=1+4=5，
当点E落在AB上时，如图，
∵将△ACD沿CD折叠，点A落在E处，
∴∠ADC=∠EDC=90°，
∵cosA=ADAC=ACAB，
∴AD=1×15=55，
当点E落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵将△ACD沿CD折叠，点A落在E处，
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∵DH⊥AC，
∴∠HDC=∠HCD=45°，
∴CH=DH，
∵tanA=HDAH=BCAC=2，
∴HD=2AH=CH，
∵AC=AH+CH=2AH+AH=1，
∴AH=13，CH=23=DH，
∴AD=AH2+HD2=19+49=53，
∴当点E在△ABC内部(不含边界)时，AD长度的取值范围为55
【解析】解：
延长NF与DC交于点H，
∵∠ADF=90°，
∴∠A+∠FDH=∠A+∠ADC−∠ADF=90°，
∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，
∴∠A=∠DFH，
∴∠FDH+∠DFH=90°，
∴NH⊥DC，
设DM=4k，DE=3k，EM=5k，
∴AD=9k=DC，DF=6k，
∵tanA=tan∠DFH=43，
则sin∠DFH=45，
∴DH=45DF=245k，
∴CH=9k−245k=215k，
∵cosC=cosA=CHNC=35，
∴CN=53CH=7k，
∴BN=2k，
∴BNCN=27．
首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．
15.【答案】1：2
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，先画出示意图，求出水平距离，再由坡度的定义即可求解．
【解答】
解：如图所示：
∵AB=10米，BC=25米，
在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=45，
坡度=BCAC=1：2．
故答案为1：2．
16.【答案】322
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，交AC于点H，过点C作CF⊥DE，垂足为F，
∵DE⊥AB，∠BAD=45°，
∴∠ADE=90°−∠BAD=45°，
∴AE=DE，
∵∠AHE=∠DHC，∠AED=∠HMD=90°，
∴∠EAH=∠EDB，
又∵∠AED=∠DEB=90°，AE=DE，
∴△AEH≌△DEB(ASA)，
∴AH=BD=2，
∴CH=AC−AH=522−2=322，
∵DE⊥AB，CF⊥DE，
∴AB//CF，
∴∠HCF=∠BAC，
∵∠ACD=2∠CAB，
∴∠ACD=2∠HCF，
即CF是∠ACD的平分线，
∵CF⊥DE，
∴△HCD是等腰三角形，
∴CD=CH=322．
故答案为：322．
利用∠BAD=45°，可以构造等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB，可得AE=DE，利用ASA可证△AEH≌△DEB，可得AH=BD=2，则利用线段的和差关系可得CH=AC−AH=322，再过点C作CF⊥DE，可证AB//CF，则∠BAC=∠ACF，又利用∠ACD=2∠CAB，可得CF是∠ACD的平分线，利用等腰三角形的三线合一的逆定理可得△CDH是等腰三角形，则CD=CH=322．
本题考查了勾股定理定理，解直角三角形的应用，解题的关键是利用45°角构造等腰三角形，得到全等三角形．
17.【答案】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠ACB=90°，cosB=35，
∴BCAB=35;
设BC=3λ，则AB=5λ，
由勾股定理得AC=4λ，
∵∠B=∠B，∠BMC=∠ACB，
∴△BMC∽△BCA，
∴BC2=BM⋅AB，
∴BM=95λ.由旋转变换的性质得：
CB=CB′，A′C=AC=4λ，∠A′=∠A;而CM⊥BB′，
∴B′M=BM，AB′=5λ−185λ=75λ，
∵∠A′=∠A，∠A′DC=∠ADB′，
∴△A′DC∽△ADB′，
∴B′DCD=AB′A′C=720，
【解析】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
如图，作辅助线;根据△BMC∽△BCA，首先求出BM的长度，进而求出B′M的长度;证明△A′DC∽△ADB′，得B′DCD=AB′A′C=720，即可解决问题．
18.【答案】解：(1)∵OB=23，AO=6，
∴AB=(23)2+62=43，点B的坐标为(0,23)，
∴sin∠BAO=OBAB=2343=12，
∴∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，
∵∠ABO的角平分线BE与AB的垂直平分线DE的交点E在AO上，
∴∠EBO=30°，
∴OE=OB⋅tan∠EBO=23×33=2，
∴点E的坐标为(−2,0)，
设直线BE的解析式为y=kx+b，
b=23−2k+b=0，得k=3b=23，
即直线BE的解析式为y=3x+23；
(2)∵OB=23，AO=6，∠ABO的角平分线BE与AB的垂直平分线DE的交点E在AO上，
∴点B(0,23)，点A(−6,0)，
∴点D的坐标为(−3,3)；
(3)点P的坐标为(23−6,0)，(−6−23,0)或(0,0)，(−4,0)．
【解析】
【分析】
本题是一道一次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想解答，注意第(3)问，一定考虑全面，不要漏点．(1)根据题意可以求得点B和点E的坐标，从而可以求得直线BE的解析式；
(2)根据点A和点B的坐标，由点D为点A和点B的中点，即可求得点D的坐标；
(3)根据题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的方法可以求得点P的坐标．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)点P的坐标为(23−6,0)，(−6−23,0)或(0,0)，(−4,0)，
理由：当AD=AP时，
∵点D为AB的中点，AB=43，
∴AD=23，
∴AP=23，
∴点P的坐标为(−6+23,0)，(−6−23,0)；
当DA=DP时，
∵AD=23，
∴DP=23，
∵点A(−6,0)，点D(−3,3)，
∴点P的坐标为(0,0)；
当点P在AD的垂直平分线上时，与x轴交于点P，
∵点A(−6,0)，点D(−3,3)，∠DAE=30°，AD=23，
∴AP=3cos30°=332=2，
∴点P的坐标为(−4,0)，
由上可得，点P的坐标为(23−6,0)，(−6−23,0)或(0,0)，(−4,0)．
19.【答案】解：(1)∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=12∠BAC=30°，
在Rt△ADC中，DC=AC⋅tan30°=6×33=23；
(2)∵∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，
∴BC=AC⋅tan60°=6×3=63，
∴BD=BC−CD=63−23=43，
∵DE//AC，
∴∠FDM=∠GAM，
∵点M是线段AD的中点，
∴DM=AM，
在△DFM和△AGM中，∠FDM=∠GAMDM=AM∠DMF=∠AMG，
∴△DFM≌△AGM(ASA)，
∴DF=AG，
∵DE//AC，
∴EFAG=BEAB=BDBC，
∴EFDF=EFAG=BDBC=4363=23．
【解析】(1)求出∠DAC=12∠BAC=30°，在Rt△ADC中，由三角函数得出DC=AC⋅tan30°=6×33=23；
(2)由三角函数得出BC=AC⋅tan60°=63，得出BD=BC−CD=63−23=43，证明△DFM≌△AGM(ASA)，得出DF=AG，由平行线分线段成比例定理得出EFAG=BEAB=BDBC，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠B，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB，
∴∠CDE=∠B，
∵∠DCE=∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴CDBC=DEBD，
∵ED=EB，
∴CDBC=BEBD；
(2)解：∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=45，
∴AC=6，BC=8，
∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴DM=BM，
∴CDBC=BEBD=BE2BM，
∴CD8=BE2BM，
即CD=4BEBM，
∵cosB=BMBE=45，
∴CD=4×54=5．
【解析】(1)由EM是线段BD的垂直平分线，可证得∠EDB=∠B，又由DE平分∠CDB，可证得∠CDE=∠B，继而可证得△CDE∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
(2)由∠ACB=90°，AB=10，cosB=45，可求得AC=6，BC=8，又由CDBC=BEBD，则可求得CD=4BEBM，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
21.【答案】解：如图，过A作AF⊥CE于点F，延长AB交FC的延长线于点G，
∵θ+∠BCG=90°，∠BGC+∠BCG=90°，
∴∠BGC=60°，
∵BC=0.5米，
∴在Rt△BCG中，BG=0.5÷tan60°=36，
那么AG=AB+BG=3+36，
∴在Rt△AGF中，AF=AG×sin60°=(3+36)×32=332+14，
∴点A距离地面为332+0.25+1.2≈4m．
【解析】要算出点A距离地面的距离，只需算出点A距离车厢的距离加上1.2米即可．如下图，过A作AF⊥CE于点F，延长AB交FC的延长线于点G，在△BGC中，根据已知条件可以求出∠BGC=60°，然后可以求出GB，也就求出了AG，最后可以求出AF，加上1.2就是点A距离地面．
解决本题的难点是构造所求线段所在的直角三角形，然后利用三角函数的定义得到关于所求线段的关系求出其结果．
22.【答案】解：过D作DE垂直BC的延长线于E，且过D作DF⊥AB于F，
∵在Rt△DEC中，CD=8米，∠DCE=30°
∴DE=4米，CE=43米，
∴BF=4米，DF=(20+43)米，
∵身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3m．
∴AF20+43=1.653.3，
则AF=(10+23)米，
AB=AF+BF=10+23+4=(14+23)≈17米．
∴电线杆的高度为17米．
【解析】根据已知条件，过D分别作BC、AB的垂线，设垂足为E、F；在Rt△DCE中，已知斜边CD的长，和∠DCE的度数，满足解直角三角形的条件，可求出DE、CE的长．即可求得DF、BF的长；在Rt△ADF中，根据同一时刻物高与影长成正比求出DF的长，即可求得AF的长，进而AB=AF+BF可求出．
本题考查了把实际问题转化为数学问题的能力，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．
23.【答案】解：设大楼AB的高度为xm，
在Rt△ABC中，∵∠C=30°，∠BAC=90°，
∴AC=ABtan30∘=3AB=3xm，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=tan48°=ABAD，
∴AD=ABtan48∘=x1.11m，
∵CD=AC−AD，CD=96m，
∴3x−x1.11=96，
解得：x≈116，
AD=AB÷tan48°≈105m．
答：AD的长为105m，大楼AB的高度约为116m．
【解析】首先设大楼AB的高度为xm，在Rt△ABC中利用正切函数的定义可求得AC=3AB=3xm，然后根据∠ADB的正切求得AD的长，又由CD=96m，可得方程3x−x1.11=96，解此方程即可，再根据正切函数的定义求得答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角、俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24.【答案】解：(1)A市会受到台风的影响．
理由：过点A作AC⊥BF于C，
∵Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=12AB=400<500，
∴A市会受到台风的影响；
(2)以A为圆心，500km为半径画弧交BF于点D、E，
在Rt△ACD中，
∴DC=AD2−AC2=5002−4002=300(km)，
∴DE=2CD=600(km)，
∴A市受这次台风影响的时间为：60050=12(小时)．
【解析】(1)是否会受到影响，需要求得点A到台风所走路线的最短距离，根据垂线段最短，即作AC⊥BF于C，再根据直角三角形的性质进行计算比较；
(2)需要计算出受影响的总路程，再根据时间=路程÷速度进行计算．
25.【答案】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC，
∴AB=BC⋅tan75°=0.60×3.732=2.2392m，
∴GM=AB=2.2392m，
在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=60°，sin∠FAG=FGAF，
∴sin60°=FG2.5=32，
∴FG=534，
∴DM=FG+GM−DF≈3.05米．
答：篮筐D到地面的距离是3.05米．
【解析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠C=72∘，D是AB的中点，点E在AC上，DE⊥AB，连接BE，则cosA的值为( )
A. 5−12 B. 5−14 C. 5+14 D. 5+12
2. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：
①EF⊥BG；
②GE=GF；
③△GDK和△GKH的面积相等；
④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，
其中正确的结论共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. △ABC是锐角三角形，sinC=45，则sin A的取值范围是( )
A. 0
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
5. C为线段AB上一点，在线段AB的同侧分别作等边△ACD、△BCE，连接AE、BD相交于F，连接CF.若S△DEF=123，则CF=( )
A. 33
B. 43
C. 3
D. 53
6. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B、C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosa=45.下列结论：①当BD=6时，△ABD与△DCE全等；②△ADE∽△ACD；③△DCE为直角三角形时，BD为8或252；④CD2=CE·CA.其中正确的结论有几个：( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为31316；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+372．
其中，正确结论的序号为( )
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③
8. 学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境．预计花园每平方米造价为40元，学校建这个花园需要投资(精确到1元，参考数据2≈1.414,3≈1.732)( )
A. 41578元 B. 41568元 C. 33936元 D. 33946元
9. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD米数为(结果精确到0.1米，参考数据：2=1.41，3=1.73.)( )
A. 2.8 B. 2.9 C. 3 D. 3.5
10. 某斜坡的坡度i=1:33，则该斜坡的坡角为( )
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
11. 某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度(或坡比)为i=1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)( )
A. 774米 B. 772米 C. 56米 D. 66米
12. 5G时代，万物互联.互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活.网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC的平台CD上，已知山坡BC的坡度为1：2.4.身高1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°，向前步行6米到达B处，再沿斜坡BC步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是50°，若A、B、C、D、M、N在同一平面内，且A、B和C、D、N分别在同一水平线上，则发射塔MN的高度约为( )
(结果精确到0.1米，参考数据：sin 37° ≈ 0.6，cos 37° ≈ 0.8，tan 37° ≈ 0.75，sin 50° ≈ 0.77，cos50° ≈ 0.64，tan 50° ≈ 1.20 )
A. 17.3米 B. 18.9米 C. 65.0米 D. 66.6米
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=2，D是边AB上一点.连接CD，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在△ABC的内部(不含边界)时，AD长度的取值范围是_____．
14. 如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BNCN的值为______．
15. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面的垂直距离为25m，则这个坡面的坡度为__________．
16. 在四边形ABCD中，AC⊥BD，∠BAD=45°，∠ACD=2∠CAB，BD=2，AC=522，则CD的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=35，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，求B′DCD的值．
18. (本小题8.0分)
如图，Rt△AOB在平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=23，AO=6，∠ABO的角平分线BE与AB的垂直平分线DE的交点E在AO上．
(1)求直线BE的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)x轴上是否存在点P，使△PAD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE//AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．
(1)求CD的长；
(2)若点M是线段AD的中点，求EFDF的值．
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边AB上，DE平分∠CDB交边BC于E，EM是线段BD的垂直平分线．
(1)求证：CDBC=BEBD；
(2)若AB=10，cosB=45，求CD的长．
21. (本小题8.0分)
如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部距离地面1.2米．卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°，问此时车厢的最高点A距离地面多少米？(精确到1m)
22. (本小题8.0分)
某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长BC=20m，斜坡上的影长CD=8m，已知斜坡CD与操场平面的夹角为30°，同时测得身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3m.求旗杆AB的高度．(结果精确到1m)
(提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据：2≈1.414．3≈1.732．5≈2.236)
23. (本小题8.0分)
如图，某校数学兴趣小组要测量大楼AB的高度．他们在点C处测得楼顶B的仰角为30°，再往大楼AB方向前进至点D处测得楼顶B的仰角为48°，CD=96m，其中点A、D、C在同一直线上．求AD的长和大楼AB的高度(结果精确到1m).参考数据：sin48°=0.74，cos48°=0.67，tan48°=1.11．3=1.73．
24. (本小题8.0分)
如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向800千米的B处，以50千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．
(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
25. (本小题8.0分)
如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮筐D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，
先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC.再证明△BEC∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式CEBC=BEAB，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
【解答】
解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72∘，
∴∠ABC=∠C=72∘，∠A=180°−∠C−∠ABC=36∘，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，AD=2，
∴∠ABE=∠A=36∘，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=36∘，
∠BEC=180°−∠EBC−∠C=72∘，
∴∠BEC=∠C=72∘，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4−x．
在△BEC与△ABC中，
∠CBE=∠A=36∘，∠C=∠C=72∘，
∴△BEC∽△ABC，
∴CEBC=BEAB，即4−xx=x4，
解得x=−2±25
经检验x=−2±25都是方程的解，但由于x>0，∴负值舍去，
∴AE=−2+25．
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA=ADAE=225−2=5+14．
故选C．
2.【答案】C
【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，
∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，
∴EF垂直平分BG，∠FEG=∠BEF
∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，
∵AD//BC，
∴∠EFB=∠FEG，
又∵∠FEG=∠BEF，
∴∠EFB=∠BEF，
∴BE=BF，
又∵BE=EG，BF=FG
∴GE=GF，故②正确，
∵BE=EG=BF=FG，
∴四边形BEGF是菱形，
当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，
∵ABBE=612=12，
∴∠AEB=30°，
∵∠FEG=∠BEF
∴∠FEG=75°，即∠DEF=75°，故④正确，
过点K作KM⊥GH于点M，
∵四边形BEGF是菱形，
∴BG平分∠DGH，
∴KD=KM，
又KG为公共边
∴Rt△GDK≌Rt△GMK，即S△GDK=S△GMK
故选C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值的有关知识，因为△ABC为锐角三角形所以C+A>90°，0°
解：因为△ABC为锐角三角形
所以C+A>90°，0°
所以cos90°
1>1−cos²A>1−1625=925
即1>sin²A>925，
1>sinA>35，
∴sinA的取值范围是：35
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的锐角三角函数值，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PM及PN的长．利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质和特殊角的锐角三角函数值等知识，逐一判断，即可得出结论．
【解答】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60∘，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90∘
∴∠ABE=∠DCF=30∘，
∴∠CPD=∠CDP=75∘，
∴∠PDE=∠ADC−∠CDP=90°−75°=15∘，
∵∠PBD=∠PBC−∠HBC=60∘−45∘=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE．
故①正确；
∵△BDE∽△DPE，
∴∠BDE=∠DPE=45°，
∴∠DPF=∠DPE+∠EPF=45°+60°=105°，
∵∠PDH=∠CDP−∠CDP=75°−45°=30°，
∴∠BHP=∠DPH+∠PDH=75°+30°=105°，
∴∠BHP=∠DPF，
∵∠PBD=∠PDF=15°，
∴△BPH∽△DFP，
故②正确；
在Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴tan∠DCF=tan30°=DFCD=33，
∵BC=CD，
∴DFBC=33，
∵AD//BC，
∴△DHF∽△BHC，
∴FHCH=DFBC=33，
故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60∘，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30∘
∴CM=PN=PB⋅sin60∘=4×32=23
PM=PC⋅sin30∘=4×12=2，
∵DE//PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM=DMPM=4−232=2−3，
故④正确．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：如图，作EH⊥BD于H，设AE与CD交于点O，
∵△ADC，△EBC都是等边三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
AC=CD∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠AOC=∠DOF，
∴∠DFO=∠OCA=60°，
∴△DOF∽△AOC，
∴DOAO=OFOC，
∴DOOF=AOOC，
∵∠AOD=∠FOC，
∴△DOA∽△FOC，
∴∠ADO=∠OFC=60°，∠DCF=∠DAF，
∴∠CFB=60°，
∴∠DFC=∠EFC=120°，
∵∠ECB=∠DAC=60°，
∴AD//CE，
∴∠DAF=∠FEC，
∴∠DCF=∠FEC，
∴△DFC∽△CFE，
∴DFCF=CFEF，
∴CF2=DF⋅EF，
∵S△DEF=12⋅DF⋅EF⋅sin60°=123，
∴DF⋅EF=48，
∴CF2=48，
∵CF>0，
∴CF=43．
故选：B．
如图，作EH⊥BD于H.首先证明∠DFA=∠AFC=∠CFB=60°，再证明△DFC∽△CFE，推出DFCF=CFEF，推出CF2=DF⋅EF，由S△DEF=12⋅DF⋅EF⋅sin60°=123，推出DF⋅EF=48，可得CF2=48，由此即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．也考查了解直角三角形．根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，而∠ADE=∠B=α，则∠ADE=∠C，所以△ADE∽△ACD，于是可对②进行判断；作AH⊥BC于H，如图1，先证明△ABD∽△DCE，再利用余弦定义计算出BH=8，则BC=2BH=16，当BD=6时，可得AB=CD，则可判断△ABD≌△DCE，于是可对①进行判断；由于△DCE为直角三角形，分类讨论：当∠DEC=90°时，利用△ABD∽△DCE得到∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，易得BD=8，当∠EDC=90°，如图2，利用△ABD∽△DCE得到∠DAB=∠EDC=90°，然后在Rt△ABD中，根据余弦的定义可计算出BD=252，于是可对③进行判断；由于∠BAD=∠CDE，而AD不是∠BAC的平分线，可判断∠CDE与∠DAC不一定相等，因此△CDE与△CAD不一定相似，这样得不到CD2=CE⋅CA，则可对④进行判断．
【解答】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以②正确；
作AH⊥BC于H，如图1，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，
∵cosB=cosα=BHAB=45，
∴BH=45×10=8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6时，CD=10，
∴AB=CD，
∴△ABD≌△DCE，所以①正确；
当∠DEC=90°时，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，
∴点D与点H重合，此时BD=8，
当∠EDC=90°，如图2，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠DAB=∠EDC=90°，
在Rt△ABD中，cosB=cosα=ABBD=45，
∴BD=1045=252，
∴△DCE为直角三角形时，BD为8或252，所以③正确；
∵∠BAD=∠CDE，
而AD不是∠BAC的平分线，
∴∠CDE与∠DAC不一定相等，
∴△CDE与△CAD不一定相似，
∴CD2=CE⋅CA不成立，所以④错误．
故正确的为①②③，共3个．
故选C．
7.【答案】D
【解析】解： ①在△ABC中可知PC恒大于PD，PD大于等于DQ，
∴PC>DQ，故 ①错误;
②∵∠A=∠B=60∘，
∴当ADBP=AQBC时，△AQD∽△BCP，
设BP=a，则AQ=52−a，
则12a=52−a3，
整理得2a2−5a+3=0，△=(−5)2−4×2×3=1>0，故方程有解，故 ②正确;
③设AQ=x，
则S四边形PCDQ=12×3×332−12×12×32x−12×(3−x−12)×332=338+538x．
∵x的最大值为3−12=52，
∴当x=52时，四边形PCDQ的面积最大，最大值为31316，故 ③正确;
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F//PQ，且D′F=PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形PCDQ的周长最小.过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于点H，交AB于点J．
由题意得DD′=2AD·sin60∘=32，HJ=12DD′=34，CJ=332，
FH=32−12−14=34，
∴CH=CJ+HJ=734，
∴CF=FH2+CH2=(34)2+(734)2=392，
∴四边形PCDQ的周长的最小值为3+392，故 ④错误，
所以正确的有 ② ③，
故选D．
①根据三角形的边角关系即可判断①．
②当ADBP=AQBC时，△AQD∽△BCP，整理得到一元二次方程，根据根的判别式判断方程有解，即可判断②．
③设AQ=x，则S四边形PCDQ=338+535x，当x取最大值时，可得结论，即可判断③．
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F//PQ，且D′F=PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形PCDQ的周长最小.求出CF的长即可判断④．
本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．延长BC，过A作AD⊥BC的延长线于点D，再根据补角的定义求出∠ACD的度数，由锐角三角函数的定义接可求出AD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积，再根据每平方米造价为40元计算出所需投资即可．
【解答】
解：延长BC，过A作AD⊥BC的延长线于点D，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=180°−120°=60°，
∵AC=60米，
∴AD=AC⋅sin60°，
=60×32，
=303(米)，
∴S△ABC=12BC⋅AD，
=12×40×303，
=6003(平方米)，
∴所需投资=6003×40≈41568(元)．
故选B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型．在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．
【解答】
解：在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，
∴CM=MB⋅tan30°=12×33=43，
在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，
∴∠MAD=∠MDA=45°，
∴MD=AM=4米，
∴CD=CM−DM=43−4≈2.9(米)，
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了坡度，坡角的概念和特殊角的三角函数值．解题关键是理解坡度的定义．解题时，设坡角为α，运用坡度的定义tanα=i，求出tanα的值，再利用特殊角的三角形函数值求出α的度数即可．
【解答】
解：∵斜坡的坡度i=1:33=3，设坡角为α，
∴tanα=i=1:33=3，
∴α=60°．
故选B．
11.【答案】B
【解析】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i=1：2.4，
∴DMCM=12.4=512，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，CD=26米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即(5k)2+(12k)2=262，
解得k=2，
∴DM=10(米)，CM=24(米)，
∵斜坡CB的坡度为i=1：2.4，
设DE=12a米，则BE=5a米，
∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=CM+MF=(24+12a)米，
∴AE=AF−EF=24+12a−10=(14+12a)米，
在Rt△ADE中，DE=12a米，AE=(14+12a)米，
∵tan∠ADE=AEDE=tan53°≈43，
∴14+12a12a=43，
解得a=72，
∴DE=12a=42(米)，AE=14+12a=56(米)，
BE=5a=352(米)，
∴AB=AE−BE=56−352=772(米)，
答：基站塔AB的高为772米．
故选：B．
通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i=1：2.4，CD=26，由勾股定理可求出DM的长，设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
本题考查解直角三角形−仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，设C点处垂线与视线交点为F，过F点作FL⊥MN，垂足为L，过E点作EI⊥MN，交MN的延长线于I，延长AB交MN的延长线于H，设MN=xm，CN=ym，由BC的坡度结合勾股定理可得BG=6m，CG=512BG=2.5m，通过解直角三角形可得x−1.6y=1.2①，x+0.912+y=0.75②，两式联立解方程组即可求解x值，即求得MN的值．
【解答】
解：设C点处垂线与视线交点为F，过F点作FL⊥MN，垂足为L，过E点作EI⊥MN，交MN的延长线于I，延长AB交MN的延长线于H，
设MN=xm，CN=ym，
由题意得AE=CF=1.6m，
由山坡BC的坡度为1：2.4可得CGBG=12.4=512，
∴BC2=CG2+BG2=5122+1BG2=169144BG2，
∴BC=1312BG，
∵BC=6.5m，
∴BG=6m，CG=512BG=2.5m，
在Rt△MFL中，tan50°=MLFL≈ 1.20，
∵ML=MN−LN=MN−FC=(x−1.6)m，FL=CN=y m，
∴x−1.6y=1.2①，
在Rt△EIM中，tan37°=MIEI≈0.75，
∵EI=AH=AB+BG+GH=6+6+y=(12+y)m，
MI=MN+NI=MN+NH−IH=x+CG−AE=x+2.5−1.6=(x+0.9)m，
∴x+0.912+y=0.75②，
①②联立可得x−1.6y=1.2x+0.912+y=0.75,
解得
x=28415≈18.9y=1309,
即MN为18.9m．
故选B．
13.【答案】55
【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点E落在AB和BC上时AD的值是本题的关键．
由勾股定理可而且AB的长，分别求出当点E落在AB上时和当点E落在BC上时，AD的长，即可求解．
【解析】
解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=AC2+BC2=1+4=5，
当点E落在AB上时，如图，
∵将△ACD沿CD折叠，点A落在E处，
∴∠ADC=∠EDC=90°，
∵cosA=ADAC=ACAB，
∴AD=1×15=55，
当点E落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵将△ACD沿CD折叠，点A落在E处，
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∵DH⊥AC，
∴∠HDC=∠HCD=45°，
∴CH=DH，
∵tanA=HDAH=BCAC=2，
∴HD=2AH=CH，
∵AC=AH+CH=2AH+AH=1，
∴AH=13，CH=23=DH，
∴AD=AH2+HD2=19+49=53，
∴当点E在△ABC内部(不含边界)时，AD长度的取值范围为55
【解析】解：
延长NF与DC交于点H，
∵∠ADF=90°，
∴∠A+∠FDH=∠A+∠ADC−∠ADF=90°，
∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，
∴∠A=∠DFH，
∴∠FDH+∠DFH=90°，
∴NH⊥DC，
设DM=4k，DE=3k，EM=5k，
∴AD=9k=DC，DF=6k，
∵tanA=tan∠DFH=43，
则sin∠DFH=45，
∴DH=45DF=245k，
∴CH=9k−245k=215k，
∵cosC=cosA=CHNC=35，
∴CN=53CH=7k，
∴BN=2k，
∴BNCN=27．
首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．
15.【答案】1：2
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，先画出示意图，求出水平距离，再由坡度的定义即可求解．
【解答】
解：如图所示：
∵AB=10米，BC=25米，
在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=45，
坡度=BCAC=1：2．
故答案为1：2．
16.【答案】322
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，交AC于点H，过点C作CF⊥DE，垂足为F，
∵DE⊥AB，∠BAD=45°，
∴∠ADE=90°−∠BAD=45°，
∴AE=DE，
∵∠AHE=∠DHC，∠AED=∠HMD=90°，
∴∠EAH=∠EDB，
又∵∠AED=∠DEB=90°，AE=DE，
∴△AEH≌△DEB(ASA)，
∴AH=BD=2，
∴CH=AC−AH=522−2=322，
∵DE⊥AB，CF⊥DE，
∴AB//CF，
∴∠HCF=∠BAC，
∵∠ACD=2∠CAB，
∴∠ACD=2∠HCF，
即CF是∠ACD的平分线，
∵CF⊥DE，
∴△HCD是等腰三角形，
∴CD=CH=322．
故答案为：322．
利用∠BAD=45°，可以构造等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB，可得AE=DE，利用ASA可证△AEH≌△DEB，可得AH=BD=2，则利用线段的和差关系可得CH=AC−AH=322，再过点C作CF⊥DE，可证AB//CF，则∠BAC=∠ACF，又利用∠ACD=2∠CAB，可得CF是∠ACD的平分线，利用等腰三角形的三线合一的逆定理可得△CDH是等腰三角形，则CD=CH=322．
本题考查了勾股定理定理，解直角三角形的应用，解题的关键是利用45°角构造等腰三角形，得到全等三角形．
17.【答案】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠ACB=90°，cosB=35，
∴BCAB=35;
设BC=3λ，则AB=5λ，
由勾股定理得AC=4λ，
∵∠B=∠B，∠BMC=∠ACB，
∴△BMC∽△BCA，
∴BC2=BM⋅AB，
∴BM=95λ.由旋转变换的性质得：
CB=CB′，A′C=AC=4λ，∠A′=∠A;而CM⊥BB′，
∴B′M=BM，AB′=5λ−185λ=75λ，
∵∠A′=∠A，∠A′DC=∠ADB′，
∴△A′DC∽△ADB′，
∴B′DCD=AB′A′C=720，
【解析】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
如图，作辅助线;根据△BMC∽△BCA，首先求出BM的长度，进而求出B′M的长度;证明△A′DC∽△ADB′，得B′DCD=AB′A′C=720，即可解决问题．
18.【答案】解：(1)∵OB=23，AO=6，
∴AB=(23)2+62=43，点B的坐标为(0,23)，
∴sin∠BAO=OBAB=2343=12，
∴∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，
∵∠ABO的角平分线BE与AB的垂直平分线DE的交点E在AO上，
∴∠EBO=30°，
∴OE=OB⋅tan∠EBO=23×33=2，
∴点E的坐标为(−2,0)，
设直线BE的解析式为y=kx+b，
b=23−2k+b=0，得k=3b=23，
即直线BE的解析式为y=3x+23；
(2)∵OB=23，AO=6，∠ABO的角平分线BE与AB的垂直平分线DE的交点E在AO上，
∴点B(0,23)，点A(−6,0)，
∴点D的坐标为(−3,3)；
(3)点P的坐标为(23−6,0)，(−6−23,0)或(0,0)，(−4,0)．
【解析】
【分析】
本题是一道一次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想解答，注意第(3)问，一定考虑全面，不要漏点．(1)根据题意可以求得点B和点E的坐标，从而可以求得直线BE的解析式；
(2)根据点A和点B的坐标，由点D为点A和点B的中点，即可求得点D的坐标；
(3)根据题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的方法可以求得点P的坐标．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)点P的坐标为(23−6,0)，(−6−23,0)或(0,0)，(−4,0)，
理由：当AD=AP时，
∵点D为AB的中点，AB=43，
∴AD=23，
∴AP=23，
∴点P的坐标为(−6+23,0)，(−6−23,0)；
当DA=DP时，
∵AD=23，
∴DP=23，
∵点A(−6,0)，点D(−3,3)，
∴点P的坐标为(0,0)；
当点P在AD的垂直平分线上时，与x轴交于点P，
∵点A(−6,0)，点D(−3,3)，∠DAE=30°，AD=23，
∴AP=3cos30°=332=2，
∴点P的坐标为(−4,0)，
由上可得，点P的坐标为(23−6,0)，(−6−23,0)或(0,0)，(−4,0)．
19.【答案】解：(1)∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=12∠BAC=30°，
在Rt△ADC中，DC=AC⋅tan30°=6×33=23；
(2)∵∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，
∴BC=AC⋅tan60°=6×3=63，
∴BD=BC−CD=63−23=43，
∵DE//AC，
∴∠FDM=∠GAM，
∵点M是线段AD的中点，
∴DM=AM，
在△DFM和△AGM中，∠FDM=∠GAMDM=AM∠DMF=∠AMG，
∴△DFM≌△AGM(ASA)，
∴DF=AG，
∵DE//AC，
∴EFAG=BEAB=BDBC，
∴EFDF=EFAG=BDBC=4363=23．
【解析】(1)求出∠DAC=12∠BAC=30°，在Rt△ADC中，由三角函数得出DC=AC⋅tan30°=6×33=23；
(2)由三角函数得出BC=AC⋅tan60°=63，得出BD=BC−CD=63−23=43，证明△DFM≌△AGM(ASA)，得出DF=AG，由平行线分线段成比例定理得出EFAG=BEAB=BDBC，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠B，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB，
∴∠CDE=∠B，
∵∠DCE=∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴CDBC=DEBD，
∵ED=EB，
∴CDBC=BEBD；
(2)解：∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=45，
∴AC=6，BC=8，
∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴DM=BM，
∴CDBC=BEBD=BE2BM，
∴CD8=BE2BM，
即CD=4BEBM，
∵cosB=BMBE=45，
∴CD=4×54=5．
【解析】(1)由EM是线段BD的垂直平分线，可证得∠EDB=∠B，又由DE平分∠CDB，可证得∠CDE=∠B，继而可证得△CDE∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
(2)由∠ACB=90°，AB=10，cosB=45，可求得AC=6，BC=8，又由CDBC=BEBD，则可求得CD=4BEBM，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
21.【答案】解：如图，过A作AF⊥CE于点F，延长AB交FC的延长线于点G，
∵θ+∠BCG=90°，∠BGC+∠BCG=90°，
∴∠BGC=60°，
∵BC=0.5米，
∴在Rt△BCG中，BG=0.5÷tan60°=36，
那么AG=AB+BG=3+36，
∴在Rt△AGF中，AF=AG×sin60°=(3+36)×32=332+14，
∴点A距离地面为332+0.25+1.2≈4m．
【解析】要算出点A距离地面的距离，只需算出点A距离车厢的距离加上1.2米即可．如下图，过A作AF⊥CE于点F，延长AB交FC的延长线于点G，在△BGC中，根据已知条件可以求出∠BGC=60°，然后可以求出GB，也就求出了AG，最后可以求出AF，加上1.2就是点A距离地面．
解决本题的难点是构造所求线段所在的直角三角形，然后利用三角函数的定义得到关于所求线段的关系求出其结果．
22.【答案】解：过D作DE垂直BC的延长线于E，且过D作DF⊥AB于F，
∵在Rt△DEC中，CD=8米，∠DCE=30°
∴DE=4米，CE=43米，
∴BF=4米，DF=(20+43)米，
∵身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3m．
∴AF20+43=1.653.3，
则AF=(10+23)米，
AB=AF+BF=10+23+4=(14+23)≈17米．
∴电线杆的高度为17米．
【解析】根据已知条件，过D分别作BC、AB的垂线，设垂足为E、F；在Rt△DCE中，已知斜边CD的长，和∠DCE的度数，满足解直角三角形的条件，可求出DE、CE的长．即可求得DF、BF的长；在Rt△ADF中，根据同一时刻物高与影长成正比求出DF的长，即可求得AF的长，进而AB=AF+BF可求出．
本题考查了把实际问题转化为数学问题的能力，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．
23.【答案】解：设大楼AB的高度为xm，
在Rt△ABC中，∵∠C=30°，∠BAC=90°，
∴AC=ABtan30∘=3AB=3xm，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=tan48°=ABAD，
∴AD=ABtan48∘=x1.11m，
∵CD=AC−AD，CD=96m，
∴3x−x1.11=96，
解得：x≈116，
AD=AB÷tan48°≈105m．
答：AD的长为105m，大楼AB的高度约为116m．
【解析】首先设大楼AB的高度为xm，在Rt△ABC中利用正切函数的定义可求得AC=3AB=3xm，然后根据∠ADB的正切求得AD的长，又由CD=96m，可得方程3x−x1.11=96，解此方程即可，再根据正切函数的定义求得答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角、俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24.【答案】解：(1)A市会受到台风的影响．
理由：过点A作AC⊥BF于C，
∵Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=12AB=400<500，
∴A市会受到台风的影响；
(2)以A为圆心，500km为半径画弧交BF于点D、E，
在Rt△ACD中，
∴DC=AD2−AC2=5002−4002=300(km)，
∴DE=2CD=600(km)，
∴A市受这次台风影响的时间为：60050=12(小时)．
【解析】(1)是否会受到影响，需要求得点A到台风所走路线的最短距离，根据垂线段最短，即作AC⊥BF于C，再根据直角三角形的性质进行计算比较；
(2)需要计算出受影响的总路程，再根据时间=路程÷速度进行计算．
25.【答案】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC，
∴AB=BC⋅tan75°=0.60×3.732=2.2392m，
∴GM=AB=2.2392m，
在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=60°，sin∠FAG=FGAF，
∴sin60°=FG2.5=32，
∴FG=534，
∴DM=FG+GM−DF≈3.05米．
答：篮筐D到地面的距离是3.05米．
【解析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
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