北师大版初中数学九年级下册第二单元《二次函数》（困难）（含答案解析） 试卷

北师大版初中数学九年级下册第二单元《二次函数》（困难）（含答案解析）

考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设函数是实数，当，，时，对应的函数值分别为，，(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4.  如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，抛物线的顶点和该抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是，有下列四个结论：

  当时，

其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加(    )

A.   B.   C.   D.  

9.  如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式已知球与点的水平距离为时，达到最高，球网与点的水平距离为高度为，球场的边界距点的水平距离为，则下列判断正确的是(    )
 

A. 球不会过网 B. 球会过球网但不会出界
C. 球会过球网并会出界 D. 无法确定

10.  如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，当的面积取最大值时，点的坐标为．(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，已知抛物线过点、，，若点是抛物线段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小时，点的坐标为．(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，抛物线交轴于点，，交轴于点若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是(    )
 

A. 二次函数的最大值为 B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  将配凑成的形式，应为__________________．

14.  如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点，和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线于点，则图中阴影部分的面积为__________．

15.  用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积为_______．

16.  已知关于的方程有两个不相等的实数根，，满足，，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．

求圆弧所在的圆的半径的长；
当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米时，是否要采取紧急措施？

18.  本小题分

已知经过原点的抛物线与轴的另一个交点为．

求点的坐标及抛物线的对称轴

点是的中点，点是轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点，使得与全等，且点与点为对应点，若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．

19.  本小题分

设二次函数是常数的图象与轴交于，两点．

若、两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．

若函数的表达式可以写成是常数的形式，求的最大值．

设一次函数是常数，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点时，求的值．

20.  本小题分

如图，已知抛物线经过点、．

求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

若点在抛物线上，且点的横坐标为，求四边形的面积；

定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值用含的代数式表示

21.  本小题分
已知抛物线经过点和点，与轴交于点，为第二象限内抛物线上一点．

 

求抛物线的表达式，并写出顶点坐标

如图，连接，，，，交于点，当时，求出点的坐标．

22.  本小题分

已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，

  求这个二次函数的解析式；

  求图象与轴交点，两点的坐标；

  图象与轴交点为点，求三角形的面积．

23.  本小题分
某商店购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，那么半月内可售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高元，销售量相应减少件，销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？

24.  本小题分

小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件．市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，物价部门规定：销售单价不能超过元，设该纪念品的销售单价为元，日销量为件，日销售利润为元．

求与的函数关系式．

要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？

求日销售利润元与销售单价元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．

25.  本小题分
已知：如图，抛物线与轴、轴分别相交于点、两点，其顶点为．
求这条抛物线的解析式；
若抛物线与轴的另一个交点为 求的面积；抛物线的对称轴上是否存在点使得的周长最短．若存在请求出点的坐标，若不存在说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二次函数的性质，属于基础题．
直接利用配方法将二次函数写成顶点式进而得出其顶点坐标．
【解答】
解：，
故抛物线的顶点坐标是：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标的取值范围是．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，新定义问题，解题的关键是根据限变点的定义得到关于的函数关系式．
【解答】
解：由题意可知，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标的取值范围是，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
先把当，，分别代入函数表达式得出对应的函数值，，，然后根据题意求出，，最后通过排除法，根据不等式的基本性质，得到正确答案．
【解答】
解：当时，，
当时，，
当时，，
，，
A、当时，，
，故A答案是错的，不符合题意；
B、当时，，
，故B答案是错的，不符合题意；
C、当时，，
有可能为，故C答案是错的，不符合题意；
D、当时，，
则，故D答案是对的，符合题意．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数和正比例函数图像，三角函数定义分种情况讨论，分别得出解析式和自变量取值范围，即可判断．
【解答】
解：在矩形中，，，，
当在上，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
则当时，此段图象是开口向上的抛物线对称轴右侧的一部分不包括顶点；
当时，，此段图象是一条从左到右上升的线段不包括最低点；
当时，、两点分别运动到、点，

同理可得，
，
，
，
，
此段图象是开口向下的抛物线对称轴右侧从左到右下降的一部分不包括两端点．
综上，与的大致图像是：  

5.【答案】 

【解析】解：由抛物线的开口向下，且对称轴为可知，，即，
由抛物线与轴的交点在一次函数的图象上知，
则，故正确；
由知，
时，，
，故正确；
抛物线的顶点在一次函数的图象上，
，即，
，
，即，故正确；
由函数图象知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，
，即，
，
，故正确；
故选：．
由抛物线开口方向及对称轴位置、抛物线与轴交点可判断；由知，根据时可判断；由抛物线顶点在一次函数图象上知，即，结合可判断；根据时二次函数图象在一次函数图象上方知，即，两边都除以可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征．
 

6.【答案】 

【解析】解：图象大致如图：

二次函数的图象过、、，
二次函数中令，则，，
抛物线对称轴为，且，
设，则，
，
抛物线开口向上，
离对称轴水平距离越小，对应函数值越小，
而，
，
故选：．
由已知确定对称轴所在的范围，再根据离对称轴水平距离的大小即可得到答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是确定对称轴所在的范围．
 

7.【答案】 

【解析】略
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决．
【解答】
解：如图建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为，
由已知可得，点在此抛物线上，
则，
解得，
，
当时，
，
解得，，，
此时水面的宽度为：，
，
即水面的宽度增加，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
利用球与点的水平距离为时，达到最高，可得，，球从点正上方的处发出，将点代入解析式求出函数解析式；利用当时，，所以球能过球网；当时，，解得：，舍去，故会出界．
【解答】
解：球与点的水平距离为时，达到最高，
抛物线为，
抛物线过点，
，
解得：，
故与的关系式为：，
当时，，
所以球能过球网；
当时，，
解得：，舍去
故会出界．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：将，代入，
得，
解得，
抛物线的函数关系式为，
设直线的函数关系式为，
将，代入，
得，
解得，
直线的函数关系式为，
过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示：

设点的坐标为，则点坐标为，点的坐标为，
，，，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
，
当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为
故选A．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积．
根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线的函数关系式，过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，设点的坐标为，则点坐标为，点的坐标为，进而可得出的值，由点的坐标可得出点的坐标，进而可得出的值，利用三角形的面积公式可得出，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．
设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线解析式连接，作轴交于，如图，设，由于与抛物线所围成的图形的面积为定值，所以当的面积最大时，图中阴影部分的面积最小值，则，所以，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】
解：设抛物线解析式为
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即，
连接，作轴交于，如图，设，

则与抛物线所围成的图形
的面积为定值，当的面积最大时，图中阴影部分的面积最小值，
由，知线段所在直线解析式为，
则，
，
，
当时，的面积最大，图中阴影部分的面积最小值，
此时点坐标为．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】解：抛物线过点，对称轴为直线，
因此有：，即，因此选项D错误，符合题意；
当时，的值最大，选项A正确，不符合题意；
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，因此选项B正确，不符合题意；
抛物线与轴有两个不同交点，因此，故选项C正确，不符合题意；
故选：．
本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的性质及相应一元二次方程的根的判别式逐个判断即可．
 

13.【答案】 

【解析】【分析

本题考查的是二次函数的性质有关知识，首先根据题意对该函数进行配方，然后解答即可．

【解答】

解：

．

故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主考查二次函数的图象的平移变换及待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据点与点的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出解析式，再求出点的坐标，过点作轴于点，由题意可知阴影部分的面积等于矩形的面积，然后求解即可．
【解答】
解：过点作轴于点，设交轴于点，则四边形为矩形，

 抛物线平移后经过原点和点，
平移后的抛物线对称轴为．
平移后的二次函数解析式为：，
将代入得出：，解得：，
抛物线解析式为．
点的坐标是
，．
由题意知，阴影部分的面积等于矩形的面积，
阴影部分的面积．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用．要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
设养鸡场与墙平行的边长为米，则与墙垂直的边长为米，养鸡场面积，，考虑到、对称轴，确定当时，函数取得最大值．
【解答】
解：设养鸡场与墙平行的边长为米，则与墙垂直的边长为，
养鸡场面积，，
函数对称轴为直线，考虑到，
当时，函数取得最大值为．
故答案是．  

16.【答案】 

【解析】解：由根和系数的关系得：，，
则，
，，
则，，
故，
故答案为．
由根和系数的关系得：，，则，进而求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，利用根和系数的关系表示、的值是本题解题的关键．
 

17.【答案】解：连结，
由题意得：米，米，
在中，由勾股定理得：，
解得，，
故圆弧所在的圆的半径的长为米；

连结，
米，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：米．
米．
米米，
不需要采取紧急措施． 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
连结，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
连结，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．  

18.【答案】解：令，则，
解得或，
，抛物线的对称轴为；
第一象限内的抛物线上存在点，使得与全等，且点与点为对应点，
理由如下：
点是的中点，
，
，
点与点为对应点，
分两种情况：，．
当时，则，，
，即轴，
点的横坐标为，
当时，，
点的坐标为；
当时，则，
，
，
点到轴、轴的距离相等，且点在第一象限，即，
，
解得舍去或，
当时，，
点的坐标为．
综上：第一象限内的抛物线上存在点，使得与全等，且点与点为对应点，
此时点的坐标为或． 

【解析】本题考查二次函数的综合题，涉及了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系、坐标与图形性质、全等三角形的性质、平行线的判定等知识．
利用二次函数与轴的交点满足方程，进行求解即可得，利用抛物线的对称轴为进行求解即可；
分两种情况：，进行求解即可．
 

19.【答案】解：二次函数的图象与轴的交点、的坐标分别为，，
抛物线解析式为，
即，
所以抛物线的对称轴为直线；
，
，，
，
当时，有最大值；
，，
，
当时，或，
函数的图象经过点，
时，，
即或，
或． 

【解析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求抛物线解析式．
直接利用交点式写出抛物线解析式，然后利用对称轴方程求出抛物线的对称轴；
先把顶点式化为一般式得到，则，，所以，然后根据二次函数的性质解决问题；
先表示出，则，根据抛物线与轴的交点问题得到当时，或，即或，从而得到的值．
 

20.【答案】解：函数的表达式为：，
，
点坐标为；
当时，，即点，
；
，
抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到一条新的抛物线，
则新抛物线表达式为：，
点在新抛物线：上，可设，
则定点与动点之间距离，
，有最小值，对称轴，
当，即时，
最小值．
当，即时，
当时，最小值．
综上所述，． 

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，属于难题．
依题意，函数的表达式为：，化为顶点式即可求解；
根据，即可求解；
可得新抛物线的表达式为：，表示出线段，结合二次函数的性质即可求解．
 

21.【答案】解：将点和点的坐标分别代入函数表达式，可得

解得

．
，

抛物线的顶点坐标为．

如图，过点作轴于点．

在中，当时，，

点的坐标为．

设直线的表达式为，将点，的坐标分别代入，

可得解得

直线的表达式为．

，

．

．

又轴，

．

．

，

解得．
在中，当时，，
点的坐标为．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：设所求的二次函数的解析式为，
把，代入上式，得：
，
解得：，
所求的二次函数解析式为，
即．
当时，，
解得：，，
图象与轴交点、两点的坐标分别为，，
由题意得：点坐标为，，
． 

【解析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用函数与方程的关系，分别令、，据此即可求出与坐标轴的交点．
设出二次函数的顶点式，将点代入解析式，求出的值即可得到函数解析式；
令，据此即可求出函数与轴交点的横坐标，从而得到图象与轴交点、两点的坐标；
由于知道点坐标，根据、的坐标，求出的长，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．
 

23.【答案】解：设销售单价为元，销售利润为元．
根据题意，得：



，
，
时，有最大值，最大值为，
，
所以，销售单价提高元，才能在半月内获得最大利润元． 

【解析】设销售单价为元，销售利润为元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
 

24.【答案】解：根据题意得，，
故与的函数关系式为，；
根据题意得，，解得：，不合题意舍去，
答：要使日销售利润为元，销售单价应定为元；
根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，
答：当为时，日销售利润最大，最大利润元． 

【解析】根据题意得到函数解析式；
根据题意列方程，解方程即可得到结论；
根据题意得到根据二次函数的性质即可得到结论．
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
 

25.【答案】解：根据题意得，解得，
抛物线解析式为；
当时，，解得，，则；
，则，
；
连接交直线于点，如图，则，

，
此时的值最小，因为的长度不变，故此时的周长最短．
易得直线的解析式为 ，
当时，，
． 

【解析】把点和点坐标分别代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可；
通过解方程得到点坐标，再把一般式配成顶点式得到点坐标，然后根据三角形面积公式计算的面积；连接交直线于点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，然后求出的解析式后易得点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了最短路径问题．