北师大版初中数学九年级下册第二单元《二次函数》（标准困难）（含答案解析） 试卷

北师大版初中数学九年级下册第二单元《二次函数》（标准困难）（含答案解析）

考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若函数则当函数值时，自变量的值是．(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2.  下列函数关系中，是二次函数的是．(    )

A. 在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系
B. 当距离一定时，火车行驶的时间与速度之间的关系
C. 等边三角形的周长与边长之间的关系
D. 圆心角为的扇形面积与半径之间的关系

3.  如图，已知抛物线的对称轴为直线给出下列结论：
；
；
；
．
其中，正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

4.  将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为 (    )

A.  B.  C.  D.

5.  若二次函数图象的顶点坐标为，且抛物线过点，则二次函数的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  小明在研究某二次函数时列表如下：

当自变量满足时，下列说法正确的是(    )

A. 有最大值，有最小值 B. 有最大值，有最小值
C. 有最大值，有最小值 D. 有最大值，有最小值

7.  如图，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为(    )
 

A.  B.
C.  D.

8.  一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一条直角边长为，三角形的面积为，则与之间的函数解析式为．(    )

A.  B.  C.  D.

9.  二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：

且当时，与其对应的函数值有下列结论：
；和是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和．(    )
 

A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不能确定

11.  函数的图像过点，则使函数值成立的的取值范围是(    )

A. 或 B.  C. 或 D.

12.  抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，平行于轴的直线在轴上方，与该抛物线交于不同两点、，与直线交于点，若实数满足等式，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如果函数是关于的二次函数，那么的值是______．

14.  已知函数若，则          ．

15.  某超市购进一批单价为元的生活用品，如果按每件元出售，那么每天可销售件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高元，其销售量相应减少件，那么将销售价定为          元时，才能使每天所获销售利润最大．

16.  抛物线为常数与轴交点的个数是          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

若函数是二次函数．

求的值．

当时，求的值．

18.  本小题分

如图，是抛物线上第一象限内的点，点坐标为．

若点的坐标为，的面积为，求出与的关系．

当时，求点的坐标．

在抛物线上求出一点，使求出的坐标．

19.  本小题分
如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
求，的值；
若于点，试说明点在抛物线上．

20.  本小题分
如图，二次函数的图象经过，两点
求这个二次函数的解析式；
设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．

21.  本小题分

如图，抛物线与轴分别交于点，．

求抛物线的函数表达式和对称轴．

为轴上的一点．若点向左平移个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合．已知．

求的值．

若点在抛物线上，且在直线的上方不与点，重合，求点纵坐标的取值范围．

22.  本小题分
某游乐场的圆形喷水池中心处有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点，为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
 

求雕塑高．

求落水点，之间的距离．

若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱请通过计算说明．

23.  本小题分
在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为元件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量单位：件与线下售价单位：元件，满足一次函数的关系，部分数据如下表：

求与的函数关系式；
若线上售价始终比线下每件便宜元，且线上的月销量固定为件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．
求抛物线解析式，并根据该函数图象写出时的取值范围；
将线段向右平移个单位，向上平移个单位至均为正数，若点，均落在此二次函数图象上，求，的值．

25.  本小题分
设二次函数是常数，．
判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由．
若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
若，点在该二次函数图象上，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：把代入函数，
先代入上边的方程得

，
，

，不合题意舍去，故

；
再代入下边的方程，
，故，
综上，的值为或

．
故选：．
本题考查求函数值及二次函数的性质：
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的定义，根据各选项的意思，列出各选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定即可．
【解答】
解：，当时是常数，是一次函数，错误；
B. ，当时，是反比例函数，错误；
C.，是正比例函数，错误；
D. ，是二次函数，正确．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，则，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故正确；
抛物线与轴有两个不同交点，
，故正确，
对称轴为直线，
，
则，故错误；
该抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
由对称性可知抛物线与轴的另一个交点为，
，故正确，
综上所述，正确的结论有．
故选C．
根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与轴、轴的交点，逐一进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象与系数的关系．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
先求将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到新抛物线解析式为，再求关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标．
【解答】
解：抛物线，向右平移个单位，再向下平移个单位，
得到新抛物线解析式为，
顶点坐标是，
再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为是．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：设这个二次函数的解析式为
二次函数的图象的顶点坐标为，
二次函数的解析式为，
把代入得，
二次函数的解析式为．
故选A．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式．
根据二次函数的顶点式求解析式．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值有关知识，由二次函数图象经过点，，，利用待定系数法求函数解析式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】
解：将点，，代入到二次函数中，
得：．
二次函数的解析式为．
抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
自变量满足时，有最小值，
时，，
自变量满足时，有最大值，有最小值，
  

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，

中，，且，

．

，
．

A.
．

．

，
即．

8.【答案】 

【解析】解：直角三角形的两条直角边的和等于，且它的一条直角边为，
另一条直角边为，
直角三角形的面积，
与之间的函数关系式．
本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．依据二次函数图象及其性质，逐项判断即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，
，
，
，
正确；
是对称轴，
时，则时，，
和是关于的方程的两个根；
正确；
，，
，
，
当时，，
，
，
错误；
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象及性质，及二次函数与方程的解，掌握好二次函数与正比例函数方面的有关知识是解题的关键．
根据题图可知，，，，再根据以及一元二次方程根与系数的关系，便可得出结果．
【解答】
解：根据题图可知，，，，
在方程中，
，
设方程的两根分别为，
则，
故选A．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的图像与轴的交点，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，关键是掌握不等式或的解集就是二次函数的图像在轴上下方的点所对应的的取值范围根据题意求出抛物线与轴的两个交点坐标，利用数形结合即可解答．
【解答】

解：抛物线的对称轴为直线．

又抛物线与轴的一个交点坐标为，

抛物线与轴的另一个交点坐标为．

，抛物线开口向下，

当或时，．
故选A．

12.【答案】 

【解析】解：，
顶点坐标为，
令，则，
，
令，则，
解得：，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设平行于轴且在轴上方的直线为，
则满足，
，，
联立与，
得，
抛物线与有两个不同交点，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据抛物线解析式求出，坐标，在用待定系数法求出直线的解析式，设平行于轴且在轴上方的直线为，得出点坐标与的关系，再联立与，得出，由得出的取值范围，再由根与系数的关系得出的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识，关键是一元二次方程与二次函数之间关系的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得或；
又，
．
的值是时．
故答案为：．
根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，．

，舍去．

当时，，符合题意．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
【解答】
解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则

，
所以将销售定价定为元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
根据抛物线与一元二次方程的关系及根的判别式可以求得抛物线为常数与轴交点的个数，本题得以解决．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式解答．
【解答】
解：抛物线为常数，
当时，，
，
有两个不相等的实数根，
抛物线为常数与轴有两个交点，
故答案为：．  

17.【答案】解：由题意，得，且  解得．

把代入，  得  当时，．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：连接，，过点作轴于，
 

则，，
；
当时，，．
又点在第一象限，．
当时，，
点的坐标为；
，在线段的垂直平分线上，
的横坐标为，当时，，
的坐标为．

【解析】考查了二次函数，本题是二次函数的解析式的求解，与线段的垂直平分线的判定方法，相结合的问题．
已知点坐标为，可以得到，中边上的高就是点的纵坐标．根据三角形的面积公式就可以求出．把代入中求得的函数解析式，求出的值，就可以得到点的坐标．
使，则一定在线段的垂直平分线上，的垂直平分线的解析式是，因而把代入函数的解析式，就可以求出点的纵坐标．
 

19.【答案】解：将代入得，
解得，
把代入得，
解得．
作于，于，

，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
将代入得，
点坐标为，
，
，
点坐标为，
把代入得，
点在抛物线上． 

【解析】将点坐标分别代入直线与抛物线解析式求解．
作于，于，证明≌，从而可得点坐标，即可证明点在抛物线上．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握全等三角形的判定与性质．
 

20.【答案】解：把、代入，
得
解得
这个二次函数的解析式为；
该抛物线对称轴为直线，
点的坐标为，
，
． 

【解析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，以及二次函数与一元二次方程．
二次函数图象经过、两点，两点代入，算出和，即可得解析式．
先求出对称轴方程，写出点的坐标，计算出，然后由面积公式计算值．
 

21.【答案】解：将，代入得，
，解得，
，
抛物线对称轴为直线．
设点坐标为，
由题意可得，，与关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
，解得；
将代入得，
直线为，
，
抛物线顶点坐标为，
点纵坐标取值范围是 

【解析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
通过待定系数法求函数解析式，由求抛物线对称轴．
由抛物线的对称性求解；求出点或的纵坐标与抛物线顶点坐标，进而求解．
 

22.【答案】解：当时，，
点的坐标为
雕塑高为
当时，，
解得舍去，．
点的坐标为．
．
从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
．
．
当时，，
点在抛物线上．
又，
顶部不会碰到水柱． 

【解析】见答案
 

23.【答案】解：与满足一次函数的关系，
设，
将，；，代入得：
，
解得：，
与的函数关系式为：；
设线上和线下月利润总和为元，
则

，
当为元件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为元． 

【解析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
由待定系数法求出与的函数关系式即可；
设线上和线下月利润总和为元，则，由二次函数的性质即可得出答案．
 

24.【答案】解：抛物线解析式为，
即，
当时，，即，
所以当时，；
线段向右平移个单位，向上平移个单位至，
，，
点，均落在此二次函数图象上，
，解得，
即的值为，的值为． 

【解析】利用交点式写出抛物线解析式，再求出点坐标，然后写出在轴左侧的二次函数值的范围即可；
利用点平移的坐标变换规律写出，，把它们代入抛物线解析式得到，然后解方程组即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

25.【答案】解：设，
，
，
方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个；
当时，，
抛物线不经过点，
把点，分别代入得，
，解得，
抛物线解析式为；
当时，，
，
，
相加得：，
． 

【解析】本题考查了二次函数图象和性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．
利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
当时，，所以抛物线过、两点，然后根据待定系数法求解析式即可；
把代入，用、表示，由的范围结合可解．