北师大版初中数学九年级下册第二单元《二次函数》（较易）（含答案解析） 试卷

北师大版初中数学九年级下册第二单元《二次函数》（较易）（含答案解析）

考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数中是二次函数的有(    )
；；；．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列函数是二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  圆的面积公式中，与之间的关系是(    )

A. 是的正比例函数 B. 是的一次函数
C. 是的二次函数 D. 以上答案都不对

4.  二次函数的顶点坐标是  (    )

A.  B.  C.  D.

5.  抛物线可由抛物线如何平移得到的(    )

A. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
C. 先向上平移个单位，再向左平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向上平移个单位

6.  把函数图象向右平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，其中为实数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 全体实数

8.  抛物线中，与的部分对应值如下表：

下列结论中，正确的是(    )

A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线
C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大

9.  如图，函数的解析式为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度与小球运动时间之间的表达式为，那么小球从抛出至落回到地面所需要的时间是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  据省统计局公布的数据，安徽省某年第二季度总值约为千亿元人民币，若第四季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数关系式是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如果函数是二次函数，那么          ．

14.  如果将抛物线向上平移个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是          ．

15.  把二次函数化成形如的形式是          ．

16.  若二次函数的图像与轴没有交点，则的取值范围是________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为元件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量件与每件的销售价元件之间有如下关系：请写出该超市销售这种产品每天的销售利润元与之间的函数关系式．

18.  本小题分

把二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象．

试确定，，的值；

指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．

19.  本小题分

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，它的顶点为，且求的值及抛物线的表达式．

20.  本小题分
如图，抛物线：经过点和点．
求此抛物线的表达式；
若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求点的坐标．

21.  本小题分
某公司根据市场计划调整投资策略，对、两种产品进行市场调查，收集数据如下表：

其中，是待定系数，其值是由生产的材料的市场价格决定的，变化范围是，销售产品时需缴纳万元的关税其中，为生产产品的件数假定所有产品都能在当年售出，设生产，两种产品的年利润分别为、万元．
写出、与之间的函数关系式，注明其自变量的取值范围．
请你通过计算比较，该公司生产哪一种产品可使最大年利润更大？

22.  本小题分
一名高尔夫球手某次击出的球的高度和经过的水平距离满足下面的关系式：．
当球经过的水平距离为时，球的高度是多少？
当球第一次落到地面时，经过的水平距离是多少？
设当球经过的水平距离分别为和时，球的高度分别为和，比较和的大小．

23.  本小题分
某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件．
求与之间的函数关系式．
若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点．
求该抛物线的解析式；
设中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
在中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值若没有，请说明理由．

25.  本小题分
已知二次函数的图象与轴的一个交点为．
求的值；
求这个函数图象与轴另一个交点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数．
根据定义的一般形式进行判断即可．
【解答】
解：中的不是整式，故此函数不是二次函数；
，是二次函数；
，是二次函数；
中的不是整式，故此函数不是二次函数；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、当时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二次函数的定义判断即可．
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式．
根据二次函数定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数可直接得到答案．
【解答】
解：圆的面积公式中，和之间的关系是二次函数关系，
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是二次函数的性质的有关知识，准确掌握二次函数的性质是解题的关键，
直接利用二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：二次函数是顶点式，
顶点坐标为．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数图象与几何变换．
按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【解答】
解：因为．
所以将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到抛物线．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为，
向右平移个单位长度后的函数图象的顶点坐标为，
所得的图象解析式为．
故选：．
先求出的顶点坐标，再根据平移规律，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题主要考查的是二次函数图象的平移规律．
 

7.【答案】 

【解析】解：

，
函数的最大值是，即．
故选：．
运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
本题考查的是二次函数的三种形式以及二次函数的性质，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．利用表格中数据得出抛物线解析式，进而根据二次函数的性质，得出答案即可．
【解答】
解：把，，分别代入解析式，
得，解得
函数解析式为，
A.，故此函数开口向下，故此选项错误；
B.对称轴是直线，故此选项错误；
C.当时，随的增大而减小，故此选项错误；
D.当时，随的增大而增大，故此选项正确．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：设抛物线解析式为，
图象过点，和，
，
解得，
抛物线解析式为．
故选：．
把，和代入，解方程组即可．
本题考查待定系数法求函数解析式，关键是对待定系数法求解析式的方法的掌握和运用．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了运动函数方程，是二次函数的实际应用，属于基础题．
由小球的高度与运动时间的关系式，令，解得的两值之差便是所要求得的结果．
【解答】
解：由小球的高度与运动时间的关系式，
令，得，
解得，，
所以小球从抛出至回落到地面所需要的时间是．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．根据平均每个季度增长的百分率为，第三季度季度总值约为元，第四季度总值为元，则函数解析式即可求得．
【解答】
解：设平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是：．
故选：．
   

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线与一元二次方程，解答本题的关键是掌握二次函数的图象的性质．把方程有两个相等实数根转化为抛物线与直线有个交点，借助函数图象得出的取值即可．

【解答】

解：方程有两个相等实数根，
抛物线与直线有个交点，
，
．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数定义，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．关键是掌握二次函数的定义．直接利用二次函数的定义得出的值．
【解答】
解：函数是二次函数，
，
，
解得：，，
，
，．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】略
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的三种形式，正确配方是解题关键利用配方法化为顶点式即可．
【解答】
解：．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数的关系．根据题意得出不等式是解决问题的关键．由题意可得二次方程无实根，得出判别式小于，解不等式即可得到所求范围
【解答】
解：二次函数的图象与轴没有交点，
方程没有实数根，
判别式，
解得：．
故答案为：．  

17.【答案】解：

 

【解析】根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量求解．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式：根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
 

18.【答案】解：二次函数的顶点坐标为，
把点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的点的坐标为，

原二次函数的解析式为，
，，；
由知，
二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．

【解析】本题考查二次函数图象与几何变换，以及二次函数的性质．
利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，即可求出、、的值；
根据二次函数的性质求解即可．
 

19.【答案】解：，
，
．
顶点
可设抛物线表达式为．
将代入，得．
解得，
抛物线表达式为，即． 

【解析】见答案
 

20.【答案】解：将点，代入抛物线表达式，
得，
解得，
抛物线的表达式为；
直线与抛物线有且只有一个交点，
Ⅰ、当是轴时，即时，，
；
Ⅱ、当不是轴时，设：，
联立，
，
即，
直线与抛物线有且只有一个交点，
，
解得，，
当时，，
解得，
当时，，
；
当时，，
解得，
当时，，
，
综上所述，点的坐标为，，． 

【解析】将点，代入抛物线表达式得，抛物线的表达式为，
直线与抛物线有且只有一个交点，分情况讨论当是轴时，即时，，可得的坐标，Ⅱ、当不是轴时，设：，
联立直线和二次函数得，，解得，，把，，代入，可得的值，即推出的坐标．
本题考查二次函数的性质，解本题要熟练掌握二次函数的性质，代入法求解析式等基本知识点．
 

21.【答案】解：由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产、两产品的年利润，分别为：
，
．
，
，
随着的增大而增大，
当，时，利润最大为万元；
，
当时，利润最大为万元，
该公司生产种产品可使最大年利润更大． 

【解析】根据产品的年利润每件售价年销售量年固定成本每件成本销售量，产品的年利润每件售价年销售量年固定成本每件成本销售量特别关税，分别求出，与的函数关系式，根据表格写出自变量的取值范围；
利用函数的性质求得最大值，进一步比较得出答案即可．
此题考查一次函数与二次函数的实际运用，掌握基本的数量关系是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：当时，
，
答：当球经过的水平距离为时，球的高度是；
在中，令得：
，
解得或，
当球第一次落到地面时，经过的水平距离是；
当时，，
当时，，
． 

【解析】当时，，即得当球经过的水平距离为时，球的高度是；
在中，令得或，可知当球第一次落到地面时，经过的水平距离是；
算出，，即可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能根据已知求出相应的和的值．
 

23.【答案】解：设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
，
解得：，舍去，
若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为元；
，
，
，
，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
根据每件的销售利润每天的销售量，解一元二次方程即可；
利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
 

24.【答案】解：根据题意得：，
解得，
则抛物线的解析式是；
理由如下：由题知、两点关于抛物线的对称轴对称，
直线与的交点即为点，此时周长最小，
对于，令，则，故点，
设的解析式是，
则，解得，
则的解析式是．
时，，
点的坐标是；
过点作轴的平行线交于点，

设的横坐标是，则的坐标是，对称轴与的交点是．
则．
则，
，故的面积有最大值是． 

【解析】利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点关于对称轴的对称点，利用待定系数法求出直线的解析式，直线与对称轴的交点即是所求的点；
首先求得的坐标，然后设的横坐标是，利用表示出的面积，利用二次函数的性质求解．
本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解．
 

25.【答案】解：二次函数的图象与轴的一个交点为，
把点代入二次函数，得，
解得：；
由得：，
二次函数解析式为，
令，则，
解得：，，
函数图象与轴另一个交点的横坐标为． 

【解析】把代入二次函数解析式即可求出的值；
根据中的值可以求出函数解析式，再令，解方程即可，
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是本题的关键．