北师大版初中数学九年级下册第三单元《圆》测试卷（标准难度）（含答案解析）

北师大版初中数学九年级下册第三单元《圆》测试卷（标准难度）（含答案解析）

考试范围：第三单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，中，，，，以为圆心为半径作圆，延长交圆于点，则长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.  下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是．(    )

A. 正方形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 梯形

3.  点、为半径是的圆周上两点，点为的中点，以线段、为邻边作菱形，顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

4.  如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接若，则为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点，，，，，在圆上．若两个大正六边形的边长均为，则小正六边形的边长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，直径为的经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分的面积是结果保留(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列命题中，正确的命题个数是(    )

顶点在圆周上的角是圆周角；

圆周角度数等于圆心角度数的一半；

的圆周角所对的弦是直径；

圆周角相等，则它们所对的弧也相等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  如图，四边形内接于，，，的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在直线上，若，则点和外心之间的距离是(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，且点在小量角器上对应的刻度为，那么点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  已知的半径为，是的弦，点在弦上．若，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  已知和是的两条弦，，，分别是，的中点，则的度数为          ．

14.  如图所示，点在上，若，，，则的长度为          ．
 

15.  如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为______．

16.  如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接若，则的度数是______

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点已知，．
 

求作此残片所在的圆不写作法，保留作图痕迹；

求中所作圆的半径．

18.  本小题分
如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点．

求证：；
若，，求的长．

19.  本小题分
如图，，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

20.  本小题分
如图，在中，，，点是斜边上一点，以为圆心的分别与，相切于点，．
 

当时，求的半径；

设，的半径为，求与的函数关系式．

21.  本小题分
已知锐角三角形的外接圆圆心为，半径为．

 

求证：

若中，，，求的长及的值．

22.  本小题分
如图，是的直径，，割线交于点，交于点，连接、、，．
求证：是的切线；
若，．
求证：是直径；
求的长．结果保留

．

23.  本小题分
已知：如图，是的弦，半径，分别交于点，，且．

求证：．

24.  本小题分
如图，点是轴上的点，交轴于点，，交轴于点，直线：与轴交于点．
 

求证：是的切线．

在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径及的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查勾股定理的应用及圆的有关性质。连接，并作边上的垂线，由于与均为圆的半径，则为等腰三角形，由三线合一的性质可知，在和中，利用勾股定理即可求得的长度，从而可求的长度。
【解答】
连接，过点作边上的垂线，垂足为，如图所示：

因为，则与均为直角三角形；
设，，由勾股定理得：
，
，
联立可得：，
则，
因为、均为圆的半径，所以为等腰三角形，利用三线合一的性质可知：，
则。
故答案为：．  

2.【答案】 

【解析】解：正方形对角线相等且互相平分，
四个顶点到对角线交点距离相等，
正方形四个顶点定可在同一个圆上．
故选：．
四个顶点可在同一个圆上的四边形，一定有一点到它的四个顶点的距离都相等，因而、、都是错误的；正方形的四个顶点到对角线的交点的距离都相同，因而正方形的四个顶点一定可以在同一个圆上．
此题主要考查了圆的认识，能够理解四个顶点在同一个圆上的条件是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．过点作直径，连接交于，如图，根据在直径的三等分点上，得到，根据菱形的性质，从而得到，连续利用两次勾股定理即可得到；如图，，求得，根据菱形的性质得到，求得，连续利用两次勾股定理即可得到．
【解答】

解：本题分两种情况讨论：如图所示，，连结，，设交于点，

图

则，，，

在中，，

在中，，

，即此时菱形的边长为

如图所示，，同理，有，

图

在中，，

在中，，

，即此时菱形的边长为．

综上可知，该菱形的边长为或．

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

切于点，

．

．

，

．

．

，

．

5.【答案】 

【解析】解：连接交于，则点是圆心，过点作于，连接，取的中点，连接，，
由对称性可知，，
由正六边形的性质可得，
，
，
由正六边形的性质可知，、、都是正三角形，
，
故选：．
在边长为的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形对应点的距离，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理和平面直角坐标系及解直角三角形的相关知识，能够作出辅助线是解题的关键．
作直径，连接，则，根据圆周角定理得出，解直角三角形求出的余弦值即可．
【解答】

解：如图，作直径，连接，则，根据圆周角定理得：，
为直径，
，
，
，
根据勾股定理，
，
故答案为．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
根据计算即可．
【解答】
解：，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了圆周角定理及推论，熟练地记忆圆周角定理的定理与推论是解决问题的关键．
根据圆周角定理的定义，定理与推论进行分析即可．
【解答】
解：根据圆周角定理可知：顶点在圆周上且两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误；
圆周角的度数等于圆心角度数的一半；根据在同圆和等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误；
的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确；
在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧相等，此选项错误；
正确的有．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
，
，
．
故选A．
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，以及圆周角定理．
首先证明，再利用等腰三角形的性质求出的度数，利用圆周角定理即可解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及旋转的性质和勾股定理的运用，熟知锐角三角形的外心在三角形的内部直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点钝角三角形的外心在三角形的外部，是解题的关键设外心为点，因为是直角三角形，所以外心在斜边的中点，易求的长和的长，进而可求出的长，即点和外心之间的距离．
【解答】
解：将绕点按逆时针方向旋转得到，点在直线上，
，
，


，
设外心为点，，
外心在斜边的中点处，
，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
连接，，如图，先根据得到，然后根据三角形内角和求出即可．
【解答】
解：连接，，如图，

在小量角器上对应的刻度为，
即，
而，
，
，
即点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，连接，
则，

，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
故选：．
过点作于点，连接，根据垂径定理可得，所以，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
 

13.【答案】或 

【解析】，分别是，的中点，

，，
，．

当圆心在内时如图所示，

，
．

当圆心在外时如图所示，设交于点．
，，

．

综上，的度数为或．
 

14.【答案】 

【解析】如图所示，设圆心为，连接，，，，过点作于点．
 

，，，

．

，
，

，

，

，．

，
是等边三角形，

，，

的长度为．

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，

半圆分别与，相切于点，．
，，
，
，
，
的长为，
，
，
，
连接，
在中，，，
，
，
，




故答案为：．
连接、，根据半圆分别与，相切于点，可得，，由，可得，得，再根据的长为，可得，连接，根据中，，，可得，进而可求图中阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．
 

16.【答案】 

【解析】解：是的切线，
，
，
，
，
即的度数为，
故答案为：．
先根据切线的性质得，再利用互余计算出，由圆周角定理得出，即可得解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

17.【答案】解：作弦或的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心，或、长为半径作圆，就是此残片所在的圆，如图．

如图，连接，设，则．

，
．
根据勾股定理列方程，得，
解得．
故所作圆的半径为． 

【解析】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决此题的关键．
由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；
在中，由勾股定理可求得半径的长．
 

18.【答案】证明：连接、，如图，


为切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为直径，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
连接、，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后证明，从而得到结论；
利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出的长．
 

19.【答案】解：连接．
，
；
，
，
，
，
，
，且为半径；
是的切线；
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
即的半径为． 

【解析】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是灵活运用切线的判定解决问题．
连接，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
 

20.【答案】解：连接，，

在中，，，
，
；
以为圆心的分别与，相切于点，，
四边形是正方形，
，
解得：，
圆的半径为．
，，
在直角三角形中，，
以为圆心的分别与，相切于点，，
四边形是正方形．
，
解得． 

【解析】本题主要考查了圆与三角函数，二次函数的综合，关键是利用圆的切线的性质．
连接，，由是直角三角形，以为圆心的分别与，相切于点，，可知，在中，从而解得半径。
由题意可知，，，则两角正切值相等，然后列出等式，从而得出答案。
 

21.【答案】解：证明：如图，连接并延长交于，连接则，D. ， 

，同理可得 ．如图，过作于 ，   ．

【解析】略
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
为的切线；
解：，
由可知为的切线，
，
在中
，
，
，
，
，
，
，

是的直径；
是的直径，
与点重合，
，
，，
，
，
在中，
，
，
的长为 

【解析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形的内角和，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．
根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质健康得到结论；
解：根据三角形的内角和得到，求得，根据圆周角定理得到是的直径；
根据三角形的内角和得到，根据弧长公式即可得到结论．
 

23.【答案】证明：如图，过点作于点，

则．
又，，
，
，
即． 

【解析】本题考查了垂径定理．平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．过点作于点根据垂径定理得到然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知，故AE．
 

24.【答案】证明：直线的解析式为，
，则，
解方程，
得，
，则，
，
，
，
，
为直角三角形，．
则为的切线；
解：存在．设点，
由，得，
即，
解得或．
当时，
解方程，
解得，
当时，
解方程，
解得．
，． 

【解析】本题考查的知识点是一次函数综合题，圆的综合题，切线的判断，勾股定理及其逆定理的应用，综合理解题意是解题的关键．
先求出点，点的坐标，得出，的长度，进而得到，，的长度，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，从而可得出证明．
设点，由，得，得出的值，将其代入直线的函数解析式，即可求出点的坐标．
 

25.【答案】证明：如图，作，垂足为，连接，

，是的中点，
，
，
，
又，
，
即是的平分线，
点在上，与相切于点，
，且是的半径，
，是的半径，
是的切线；
解：如图，在中，，，，
可设，，
，
，
则，，
设的半径为，则，
∽，
，
即，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】作，垂足为，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得，再通过导角得出是的平分线，再利用角平分线的性质可得，从而证明结论；
根据，，可得，，设的半径为，则，利用∽，可得的值，再利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．