【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题02 四边形的证明与计算 （原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第三篇 必考的难点压轴专题

专题02 四边形的证明与计算

1. （2022长春）如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，则的值为_______．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；

（2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据，，即可求解．

【小问1详解】

证明：，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

四边形是菱形；

【小问2详解】

解：，

设，则，

四边形是菱形；

，，

，

在中，，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．

2. （2022湖北十堰）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．

【解决问题】如图②，在某公园同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）．

【答案】370

【解析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解．

【详解】如图，延长交于点，连接，

，，，

，，

是等边三角形，

,

,

在中，，，

，，

，

中，，，

，

，

，

中，

是等腰直角三角形

由阅读材料可得，

路线的长比路线的长少．

故答案为：370．

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．

3. （2022武汉）如图，在四边形中，，．

（1）求的度数；

（2）平分交于点，．求证：．

【答案】（1）  （2）详见解析

【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；

（2）根据平分，可得．再由，得．可求证．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴．

（2）证明：∵平分，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键

4. （2022浙江金华）如图，在中，．把沿方向平移，得到，连结，则四边形的周长为_____．

【答案】

【解析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可．

∵，

∴AB=2BC=4，

∴AC=，

∵把沿方向平移，得到，

∴，， ，

∴四边形的周长为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．

5.（2022湖南株洲）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．

（1）求证：；

（2）若，求证：四边形为平行四边形．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】【分析】（1）利用SAS可以直接证明；

（2）由可得，由内错角相等，两直线平行，得出，结合已知条件即可证明四边形为平行四边形．

【小问1详解】

证明：∵与是对顶角，

∴，

在与中，

，

∴

【小问2详解】

证明：由（1）知，

∴，

∴，

∵点在的延长线上，

∴，

又∵，

∴四边形为平行四边形．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键．

6.（2022广西贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若AC平分，，求四边形AFCE的面积．

【答案】（1）详见解析；  （2）24．

【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；

（2）由平行线的性质可得，再根据角平分线的性质解得，继而证明，由此证明平行四边形AFCE是菱形，根据菱形的性质得到，结合正切函数的定义解得，最后根据三角形面积公式解答．

【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形

，即．

四边形AFCE是平行四边形．

（2）解：，

．

平分，

．

．

，由（1）知四边形AFCE是平行四边形，

平行四边形AFCE是菱形．

，

在中，，

．

．

【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

7.（2022湖北宜昌）已知菱形中，是边的中点，是边上一点．

（1）如图1，连接，．，．

①求证：；

②若，求的长；

（2）如图2，连接，．若，，求的长．

【答案】（1）①见解析；②  （2）

【解析】【分析】（1）①根据可证得：，即可得出结论；

②连接，可证得是等边三角形，即可求出；

（2）延长交的延长线于点，根据可证得，可得出，，，则，即可证得，即可得出的长．

【详解】（1）①∵，，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，，

∴，

∴.

②如图，连接.

∵是边的中点，，

∴，

又由菱形，得，

∴是等边三角形，

∴，

在中，，

∴，

∴.

（2）如图，延长交的延长线于点，

由菱形，得，，

∴，，

∵是边的中点，

∴，

∴，

∴，，

∵，，

∴，，，

∴，

∴，

∴，，

∴，而为公共角.

∴，

∴，

又∵，

∴.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数求线段长度，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键.

8.（2022安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

（1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．

【答案】（1）见解析    （2）（ⅰ）；（ⅱ）见解析

【解析】【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；

（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；

（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论．

【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，

∴DO=BO，

∵，

∴，，

∴（AAS），

∴，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∵CE⊥BD，

∴四边形BCDE为菱形．

（2）根据解析（1）可知，BO=DO，

∴CE垂直平分BD，

∴BE=DE，

∵BO=DO，

∴∠BEO=∠DEO，

∵DE垂直平分AC，

∴AE=CE，

∵EG⊥AC，

∴∠AEG=∠DEO，

∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，

∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，

∴．

（ⅱ）连接EF，

∵EG⊥AC，

∴，

∴，

∵

∵AE=AF，

∴，

∴，

，

∴，

∵，

∴，

∴， 

∴，

∴，

，

∴，

，

，

，

∴，

，

∴（AAS），

．

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键．

9.（2022贵州贵阳）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见详解    （2）

【解析】【分析】（1）先证明四边形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE证得∠MBO=∠OMF，结合∠A=90°=∠NFM即可证明；

（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根据垂直平分线的性质可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，则NO可求．

【详解】(1)在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，

，

∵，∠A=∠D=90°，，

∴四边形ADFM是矩形，

∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，

∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，

∵MN是BE的垂直平分线，

∴MN⊥BE，

∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，

∴∠MBO=∠OMF，

∵，

∴△ABE≌△FMN；

(2)连接ME，如图，

∵AB=8，AE=6，

∴在Rt△ABE中，，

∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，

∵MN是BE的垂直平分线，

∴BO=OE==5，BM=ME，

∴AM=AB-BM=8-ME，

∴在Rt△AME中，，

∴，解得：，

∴，

∴在Rt△BMO中，，

∴，

∴ON=MN-MO=．

即NO的长为：．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．

10.（2022上海）平行四边形，若为中点，交于点，连接．

（1）若，

①证明为菱形；

②若，，求的长．

（2）以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．

【答案】（1）①见解析；②    （2）

【解析】【分析】（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论；

②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四边形性质即可得出BD长；

（2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又在直线上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG=AB，根据重心性质得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,则AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，则BC=AE，代入即可求得的值．

【详解】(1)①证明：如图，连接AC交BD于O，

∵平行四边形，

∴OA=OC，

∵AE=CE，OE=OE，

∴△AOE≌△COE(SSS)，

∴∠AOE=∠COE，

∵∠AOE+∠COE=180°，

∴∠COE=90°，

∴AC⊥BD，

∵平行四边形，

∴四边形是菱形；

②∵OA=OC，

∴OB是△ABC的中线，

∵为中点，

∴AP是△ABC的中线，

∴点E是△ABC的重心，

∴BE=2OE，

设OE=x，则BE=2x，

在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,

∴9-x2=25-9x2，

解得：x=,

∴OB=3x=3，

∵平行四边形，

∴BD=2OB=6；

(2)解：如图，

∵⊙A与⊙B相交于E、F，

∴AB⊥EF，

由（1）②知点E是△ABC的重心，

又在直线上，

∴CG是△ABC的中线，

∴AG=BG=AB，GE=CE，

∵CE=AE，

∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，

在Rt△AGE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,

∴AG=AE,

∴AB=2AG=AE，

在Rt△BGC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，

∴BC=AE，

∴．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题

11.（2022山东滨州）如图，菱形的边长为10， ，对角线相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作且边EF与直线DC相交于点F．

（1）求菱形的面积；

（2）求证．

【答案】（1）  （2）见解析

【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根据题意及特殊角的三角函数值求出AC和BD的长度，根据菱形的面积＝对角线乘积的一半即可求解．

（2）连接EC，设∠BAE的度数为x，易得EC=AE，利用三角形的内角和定理分别表示出∠EFC和∠ECF的度数，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因为EC=AE，即可得到AE=EF．

【小问1详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，

∵

∴

∵AB=10，

∴，

∴，

∴菱形的面积=

【小问2详解】

证明：如图，连接EC，

设∠BAE的度数为x，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BD是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，

∵∠ABD=30°，

∴∠AED=∠CED =30°+x，

∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x

∵∠BDC=∠ADC=30°

∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）= x+60°，

∵∠CED =30°+x，

∴∠ECD =180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°- x，

∴∠ECF =180°-∠ECD =180°-（120°- x）= x+60°，

∴∠EFC=∠ECF，

∴EF=EC，

∵AE=CE，

∴．

【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形面积的求解、特殊角的三角函数值以及三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．