【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题12 解直角三角形（含三角函数）及其应用（原卷版+解析版）

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2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）第二篇 必考的重点专题  专题12 解直角三角形（含三角函数）及其应用1. （2022广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．2. （2022上海）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．【答案】或【解析】【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．【详解】∵D为AB中点，∴，即，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，∴，在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，综上，的值为：或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．3. （2022江苏扬州）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．【答案】【解析】如图所示：在中，由勾股定理可知：，，，， ，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，．4. （2022浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（    ）A.    B.    C.   D. 【答案】B【解析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．过点A作AD⊥BC于D，如图所示： ∵它是一个轴对称图形，∴m，，即，房顶A离地面的高度为，故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．5. （2022浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．【答案】AC=4，sinA=【解析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，∴．．【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．6. （2022浙江杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM．（2）若AB=4，求线段FC的长．【答案】（1）见解析  （2）【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE=CM先求出CE长，再解直角三角形即可求出FC的长．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；（2）解：∵AB=4，∴CE=CM=AB=2，∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE•cos30°=．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．7. （2022湖南邵阳）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，）【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析【解析】【分析】如图，过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt△ACD和Rt△BCD，求出CD即可．【详解】过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，tan∠DBC=，即=1∴CD=BD设BD=CD=xkm，在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，∴tan∠DAC=，即解得x=15+15≈40.98，∵40.98km>40km∴这艘船继续向东航行安全．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用；解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义．8. （2022安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．【答案】96米【解析】【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．【详解】∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，∴是直角三角形，∴，∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，在Rt△ACD中，，CD=90米，∴米，∵，∴ ∴，∴ 即是直角三角形，∴， ∴米，∴米，答：A，B两点间的距离为96米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．9. （2022甘肃威武）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．参考数据：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．【答案】16.9m【解析】【分析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】设BF=x m，由题意得：DE=FG=1.5m，在Rt△CBF中，∠CBF=35°，∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m），∵AB=8.8m，∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，∴tan26.6°= ≈0.5，∴x=22，经检验：x=22是原方程的根，∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（     ）A．10 B．8 C．4 D．2【答案】D【解析】∵∠C=90°，cos∠BDC=，设CD=5x，BD=7x，∴BC=2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD=BD=7x，∴AC=12x，∵AC=12，∴x=1，∴BC=2，故选D．11.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=，则此斜坡的水平距离AC为（   ）A．75m B．50m C．30m D．12m【答案】A【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC=，BC=30m，∴tan∠BAC=＝＝，解得AC=75，故选A．12.已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α=（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sinα=，∴∠α=30°．故选A． 13.如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么线段的长是　   　． 【答案】．【解析】在中，根据直角三角形的边角关系求出，根据勾股定理求出，在在中，再求出即可．在中，，，，，，，，在中，，故答案为：．14.在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=__________．【答案】或【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC=；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC=，所以cosC=；综上所述，cosC的值为或．故答案为：或．15. （2022重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【答案】（1）湖岸A与码头C的距离为1559米    （2）在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船【解析】(1)过点作垂线，交延长线于点，如图所示，由题意可得：，，米，则，设，则，，，在中，，∴，解得，在中，，∴（米），∴湖岸与码头的距离为1559米；(2)解：设快艇将游客送上救援船时间为分钟，由题意可得：，，∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．16.如图，已知中，，．（1）求边的长；（2）设边的垂直平分线与边的交点为，求的值．【答案】见解析。【解析】（1）过作，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长即可；（2）由垂直平分，求出的长，利用锐角三角函数定义求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可求出所求．解：（1）作作，在中，，，，，，在中，根据勾股定理得：；（2）垂直平分，，，，，在中，根据勾股定理得：，，则．