【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题14 平行四边形（含矩形正方形菱形）问题（原卷版+解析版）

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2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）
第二篇 必考的重点专题
专题14 平行四边形（含矩形正方形菱形）问题
1. （2022浙江绍兴）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．

如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵点E、F时BD上的点，
∴只要M，N过点O，
那么四边形MENF就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，
则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C
【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．
2. （2022浙江嘉兴）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）

A. 32 B. 24 C. 16 D. 8
【答案】C
【解析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】∵，，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
3. （2022湖南株洲）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（ ）

A. B. 是直角三角形
C. D.
【答案】D
【解析】由菱形的性质可知，，由两直线平行，同位角相等可以推出，再证明，得出，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出．现有条件不足以证明．
【详解】∵在菱形中，对角线与相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故B选项正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，，故A选项正确；
∴BC为斜边上的中线，
∴，故C选项正确；
现有条件不足以证明，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出，是解题的关键．
4. （2022浙江丽水）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）

A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的长；
【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，

由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
又∵，
∴BH=1，即H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵PF∥AD，AP∥DF，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠AGP===，
解得x=；故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．
5.（2022重庆）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（ ）

A. 50° B. 55° C. 65° D. 70°
【答案】C
【解析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
【详解】解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
6. （2022浙江温州）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点M，于点J，于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF=AB=m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，设AL=FM=x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2=（m）2，可解得x=m，有AL=FM=m，FL=2m，从而可得AP=，FP=m，BP=，即知P为AB中点，CP=AP=BP=，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=m，即得AN=m，而tan∠BAC=，又△AEC∽△BCH，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．
【详解】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：

设正方形JKLM边长为m，
∴正方形JKLM面积为m2，
∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
∴正方形ABGF的面积为5m2，
∴AF=AB=m，
由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL=FM，
设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2，
∴x2+（x+m）2=（m）2，
解得x=m或x=-2m（舍去），
∴AL=FM=m，FL=2m，


AP=，

∴AP=BP，即P为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CP=AP=BP=
∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
即
∴CN=m，PN=m，
∴AN=AP+PN=
tan∠BAC=，
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，




故选：C．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
7. （2022浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）

A. 正方形纸片的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积
【答案】C
【解析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．
根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y，
所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG
=
=2xy，
所以根据题意，已知条件为xy的值，
A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；
B.四边形EFGH的面积=y2， 根据条件无法求出，不符合题意；
C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意；
D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意；
故选 C．
【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．
8. （2022浙江湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）

A. BD＝10 B. HG＝2 C. D. GF⊥BC
【答案】D
【解析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项
【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，


故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
,

故B选项正确，
,
∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，


即

，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故选D
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
9. （2022浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）

A. B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，

因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，
∴∠MON=90°，
所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，
所以此时最大，等于圆O的直径，
∵BM＝4，BN＝2，
∴，
∴MQ=OQ=，
∴OM=，
∴，
故选 C．
【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．
10. （2022浙江温州）如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则的长为___________．

【答案】
【解析】根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC、AM和MN的长，然后即可计算出MN的长．
连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=1，
∴AB=BC=CD=DA=1，∠BAC=30°，AC⊥BD，
∵△ABD是等边三角形，
∴OD=，

∴AC=2AO=，
∵AE=3BE，
∴AE=，BE=，
∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，
∴BE=BF=，∠FBJ=60°，
∴FJ=BF•sin60°=，
∴MI=FJ=，
∴，
同理可得，
∴MN=AC-AM-CN=
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出AC、AM和MN的长．
11. （2022江苏宿迁）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：．

【答案】见详解
【解析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE∥CF，AE=CF=AD，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
12. （2022浙江温州）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据E，F分别是，的中点，得出，根据平行线的性质，得出，，结合O是的中点，利用“AAS”得出，得出，即可证明是平行四边形；
（2）根据，E是中点，得出，即可得出，即，根据，得出CD=2，根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出．
详解】（1）（1）∵E，F分别是，的中点，
∴，
∴，，
∵O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明
，是解题的关键．
13. （2022浙江丽水）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）cm
【解析】【分析】（1）利用ASA证明即可；
（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=x，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴（ASA）；
（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，

∵四边形ABCD矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴,
设AE=x，
∴EP=x，
由知，EP=CF=x，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,
即，
解得，，
∴BC=BG+GC= cm．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．
14. （2022浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【答案】赞成小洁的说法，补充证明见解析
【解析】【分析】先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．
【详解】赞成小洁的说法，补充
证明：∵OB＝OD，
四边形是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键．
15. （2022浙江杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．

（1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，
（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
①求证：；
②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：．
【答案】（1）5 （2）①见解析；②见解析
【解析】【分析】（1）由中点定义可得，从而可求，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH的面积；
（2）①根据余角的性质可证，进而可证，然后利用相似三角形的性质和等量代换可证结论成立；
②先证明，再证明，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理可得结论．
【详解】（1）∵，点M是边AB的中点，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得
，
∴正方形EFGH的面积为5．
（2）①由题意知，
∴，
∵四边形EFGH是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
②由①得，
又∵，，
∴，
设的面积为．
∵∠K=∠K， ∠KHI=∠A=90°，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．