2023届高考数学二轮复习讲义——第十讲导数与函数的极值、最值

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1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ．
特别提醒：
（1），不一定是极值点
（2）只有且两侧单调性不同 ，才是极值点.
(3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性.
2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程的根
（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况
若左正右负，则为极大值；
若 左负右正，则为极小值；
若 左右同号，则无极值。
3.最大值:
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，称是函数的最大值
4.最小值:
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，称是函数的最小值
【典型题型讲解】
考点一：求函数的极值与极值点
【典例例题】
例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.
例2.已知函数……自然对数底数）.
(1)当时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当时，
（i）证明：存在唯一的极值点：
（ii）证明：
【方法技巧与总结】
1．在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
【变式训练】
1．（2022·广东汕头·一模）已知函数（且为常数）.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
2.函数．
(1)求函数在上的极值；
(2)证明：有两个零点．
【典型题型讲解】
考点二：根据极值、极值点求参数
【典例例题】
例1．（2022·广东广东·一模）已知函数，．
（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；
（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．
【方法技巧与总结】
极值点是一个函数导数的零点问题，转化零点问题。
【变式训练】
1.已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
2.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.函数在上无极值，则m＝______．
4.已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【典型题型讲解】
考点三：不等式恒成立与存在性问题
【典例例题】
例1．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【方法技巧与总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
【变式训练】
1.已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
2．（2021·广东佛山·一模）已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．
(1)求函数的表达式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
3．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.
4．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数，其中且.
(1)设，过点作曲线的切线（斜率存在），求切线的斜率；
(2)证明：当或时，.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知是函数的一个极值点，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
2．已知，函数的极小值为，则（ ）
A．B．1C．D．
3．设 ，若为函数的极小值点，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（ ）
A．B．1C．D．
6．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．已知．则下列说法正确的有（ ）
A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为
C．函数有极大值
D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是
8．设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．，B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极小值点
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在上单调递增
C．为的极小值点D．仅有两个零点
三、解答题
10．已知函数在上有两个极值点，，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
11．设函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(2)若在处取得极大值，求的取值范围.
12．已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
13．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知函数，.
（1）若的最大值是0，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围.
14．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数，在定义域上有两个极值点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证:
15．（2022·广东东莞·高三期末）已知且，函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
16．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在上的函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)对于，若不等式恒成立，求a的取值范围．
17．（2022·广东清远·高三期末）已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
18．（2022·广东汕尾·高三期末）已知函数，a是常数且．
(1)求曲线在点P处的切线l的方程；并证明：函数的图象在直线l的下方；
(2)已知函数有两个零点，求实数a的取值范围．