第五章 -5.1.2弧度制（课件PPT）

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5.1任意角和弧度制第五章5.1.2 弧度制学习目标1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.2.理解1弧度的角及弧度的定义.3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数.4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算新知学习角度制、弧度制的概念【探究】度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同 的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同 的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？【导入】我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 .这种 用度作单位来度量角的单位制叫做角度制.       【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α.在旋 转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹 是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α. 设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为 ，由初中所学知识可知：(   角度制、弧度制的概念【探究】如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r，在旋转过程中，点Q 所形成的圆弧QQ1的长为 ， 与r的比值是多少?我们能得出什么结论？【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值， 只与α的大小有关.也就是说，这个比值随α的确 定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长 与半径的关系度量圆心角.      (  QQ1     我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位元O中，AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角.角度制、弧度制的概念     根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为 的的弧所对的圆心角为α rad，那么有：   对这个式子进行变形，可以得到如下结论：   其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于-2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角. 一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是复数，零角的弧度数是0.角度制、弧度制的概念     不管以弧度还是以角度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值，比如图中，半径为任意值，只要∠AOB所对弧的长等于半径，∠AOB就是1弧度的角.用角度作为单位来度量角的制度用弧度作为单位来度量角的制度角的大小与半径无关单位“ ° ”不能省略单位“rad”不能省略【问题】不管以角度制和弧度制之间怎么换算呢？【答】用角度制解弧度制俩度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和 弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同.因为周角的弧度制是2π， 而在角度制下的度数是360，所以有： 360°=2π rad，180°=π rad，  角度与弧度的换算一般地，只需根据   两边同除以180两边同除以π就可以进行角度和弧度的换算了.弧度数=角度数×角度数=弧度数×  【1】把67°30′化成弧度.【解】因为67°30′= ，所以  【2】把1.5π化成角度.【解】1.5π= 67°30′= 【注意】角度中含有分 (‘)秒(‘’)时，化成 弧度制之前，要先化成 度(°).即时巩固角度与弧度的换算常见特殊角的角度与弧度对应表：             角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)；同样地，每个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这个实数).弧长公式与扇形面积公式【1】若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇形面积. 则有：     显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.    【1】把下列角度化成弧度.【解】（1）22°30′=（1）22°30′ （2）-210° （3）1200° （2）-210°= （3）1200°= 即时巩固【2】把下列弧度化成角度.【解】    即时巩固【3】用弧度表示： （1）终边在 轴上的角的集合 （2）终边在 轴上的角的集合【解】    即时巩固随堂小测1.下列说法正确的是 A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小解析　由弧度的定义可知D正确.2.把 化为角度是 A.270° B.280° C.288° D.318°3.若θ＝－5，则角θ的终边在 A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限解析　2π－5与－5的终边相同，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.4.(2021·浙江省91联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________.解析　设正方形的边长为a，∠EAD＝α，课堂小结1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.谢 谢！