人教版八年级数学下册——第17章勾股定理 单元测试（含解析）

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第17章勾股定理单元测试
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•福田区期末）下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算即可求解．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（2022秋•绥化期末）△ABC的三边长分别为a、b、c，若满足a2＝b2+c2，则△ABC为（　　）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为a、b、c，满足a2＝b2+c2，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
3．（2021秋•景德镇期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2：
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】A．应用股沟定理的逆定理进行计算即可得出答案；
B．应用股沟定理的逆定理进行计算即可得出答案；
C．应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案；
D．应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．设AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因为AB2+BC2＝（3a）2+（4a）2＝25a2，AC2＝（5a）2＝25a2，即AB2+BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；
B．设AB＝a，BC＝2a，AC＝a，因为AB2+AC2＝a2+（a）2＝4a2，BC2＝（2a）2＝4a2，即AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；
C．由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，可得∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意；
D．因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以＝45°，＝60°，，所以△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意．
故选：D．
4．（2021秋•北林区期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2等于（　　）
A．5 B．25 C．50 D．100
【分析】利用勾股定理求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，斜边BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2＝25，
故选：B．
5．（2022秋•新城区期中）线段AB在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（﹣1，4），B（﹣5，1），线段AB的长为（　　）

A．5 B．4 C．4 D．3
【分析】根据勾股定理即可求解．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝5，
故选：A．
6．（2022秋•邗江区校级月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
7．（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【分析】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选：C．
8．（2022秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）

A．13 B．19 C．25 D．169
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故选：C．
9．（2022•天津模拟）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（　　）

A．183 B．87 C．119 D．81
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：，，，，
如图，连接BD，

在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S4＝135﹣48＝87，
故选：B．
10．（2022秋•南岸区期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理得OB＝＝＝，OC＝＝＝，OD＝，按照这个规律，根据勾股定理得OI＝＝2，作HM⊥OI于点M，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1，
根据勾股定理得OB＝＝＝，
在Rt△OBC，根据勾股定理得OC＝＝＝，
在Rt△OCD，根据勾股定理得OD＝，
按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理得OI＝＝2，
如图，作HM⊥OI于点M，

∴OI•HM＝OH•HI，
∴×2×HM＝××1，
∴HM＝，
∴点H到OI的距离是．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•武侯区校级月考）在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）若a＝8，b＝15，则c＝　17　；
（2）若a＝9，c＝15，则b＝　12　．
【分析】根据勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解．
【解答】解：（1）若a＝8，b＝15，则c＝；
（2）若a＝9，c＝15，则b＝；
故答案为：（1）17；
（2）12．
12．（2022秋•姜堰区期中）若直角三角形两直角边平方和为36，则它的斜边长为 　6　．
【分析】当∠C＝90°时，由勾股定理得，c2＝a2+b2＝36，可得c的值．
【解答】解：当∠C＝90°时，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
∵直角三角形两直角边平方和为36，
∴c2＝36，
∵c＞0，
∴c＝6，
故答案为：6．
13．（2022春•绥江县期中）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）到原点的距离是 　　．
【分析】点到原点的距离为点横坐标与纵坐标的平方和的平方根．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2），
∴点A（1，﹣2）到原点的距离是：＝．
故答案为：．
14．（2022秋•蒲江县校级期中）我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积为 　24　平方米．

【分析】连接AC，由勾股定理求出AC＝5，再由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，然后由S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD，列式计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（米），
在△ABC中，AB＝13米，BC＝12米，
∵52+122＝132，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝AC•BC﹣AD•CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米），
故答案为：24．

15．（2022秋•高邮市期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，则正方形B的面积为 　10　．

【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，
∴S正方形B+4＝20﹣6，
∴S正方形B＝10．
故答案为：10．

16．（2022秋•西湖区校级期中）如图，一根2.5m长的木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7m，木杆的顶端沿墙面下滑0.4m，那么点B将向外移动 　0.8　m；木杆在下滑过程中，△ABC面积最大为 　　m2．

【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2.5m，BC＝0.7m，
∴AC＝＝＝2.4m，
又∵AA′＝0.4m，
∴A′C＝2.4﹣0.4＝2m，
在Rt△A′B′C中，
B′C＝＝1.5m，
则BB′＝CB′﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m．
如图，作AB边上的中线CD，
在Rt△ABC中，CD＝AB＝×2.5＝1.25m．
当CD为高时，△ABC取得最大面积为：×2.5×1.25＝m2．
故答案为：0.8，．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）已知b＝2，c＝3，求a的值；
（2）已知a：c＝3：5，b＝32，求a、c的值．
【分析】（1）根据题意画出图形，直接根据勾股定理求出a的值即可；
（2）设a＝3x，则c＝5x，再根据勾股定理求出x的值，进而得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：
∵△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3，
∴a＝＝＝；

（2）设a＝3x，则c＝5x，
∵a2+b2＝c2，即（3x）2+322＝（5x）2，解得x＝8，
∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40．

18．（2021秋•槐荫区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长．

【分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长；
（2）在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝5，DB＝3，
∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝52﹣32＝16，
∴CD＝4．
（2）在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝82﹣42＝48，
∴AD＝4，
∴AB＝AD+DB＝4+3．
19．（2022秋•埇桥区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】（1）应用勾股定理，求出CD，再运用勾股定理即可求出AD；
（2）判断出AC2+BC2＝AB2，即可判断△ABC为直角三角形．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：由（1）知：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
20．（2022秋•宿豫区期中）一架梯子AB长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离BC为5.1米．
（1）求梯子的顶端与地面的距离AC；
（2）如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？

【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）根据梯子的顶端上升4.0米后，梯子底部在水平方向移动的距离，即可得出答案．
【解答】（1）解：根据勾股定理可得，梯子的顶端与地面的距离为：（米），
答：梯子的顶端与地面的距离为1.0米．；

（2）解：梯子的顶端上升4.0米后，梯子的顶端与地面的距离为：A'C＝1.0+4.0＝5（米），
此时梯子的底部离墙的底端的距离为：（米），
梯子底部在水平方向移动的距离为：BB'＝5.1﹣1.4＝3.7（米），
∵3.7≠4.0，
∴梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4.0米．
21．（2022•杭州模拟）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A'处时，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A'F．

【分析】先证明△ACB≌△BFA'，即可得到A'F＝BC，再求出BC即可得到答案．
【解答】解：∵A'F⊥BD，AC⊥BD于C，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS），
∴A'F＝BC，
∵BD＝2.5m．AE＝CD＝1.5m，
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1m，
即A'到BD的距离A'F为1m．
22．（2022秋•兴庆区校级期末）阅读下列文字，然后回答问题．
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），它们之间的距离P1P2＝．
（1）已知A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离．
（2）已知△DEF各顶点的坐标为D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可；
（2）根据两点的距离公式求出各条线段的长度，再判定三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）根据两点的距离公式得，AB＝；
（2）△DEF为等腰三角形．
理由：∵D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），
∴DE＝，
EF＝，
DF＝，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
23．（2022秋•代县期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．

【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理；
（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，依据正方形EFGH内外四个直角三角形的面积之和相等，即可得到2S2＝S1+S3，再根据S1+2S2+S3＝42，即可得出S2的值．
【解答】解：（1）由图1可得，大正方形的面积为c2，
大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2，
∴4×ab+（a﹣b）2＝c2，
化简可得，a2+b2＝c2；

（2）24÷4＝6，
设AC＝x，则AB＝6﹣x，
依题意得：
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
∴该“勾股风车”图案的面积为：×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
答：该“勾股风车”图案的面积为24；

（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则
S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，
两式相加，可得2S2＝S1+S3，
又∵S1+2S2+S3＝42，
∴4S2＝42，
∴S2＝10.5．