初中数学人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定随堂练习题

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专题18.2平行四边形的判定专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•让胡路区校级期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．
【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
2．（2022春•北京期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，要判定四边形ABCD为平行四边形，可添加条件（　　）
A．AD＝BC B．∠CDB＝∠ABD C．AC平分∠DAB D．AO＝CO
【分析】根据平行四边形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：判定四边形ABCD是平行四边形添加的条件是OA＝OC，

理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠BAO＝∠OCD，
∵OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：D．
3．（2022春•庄河市期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB＝DC，AD＝BC B．∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
【解答】解：A、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADC”可知，四边形ABCD的两组对角相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选：D．
4．（2022春•平原县期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
D．一组对边平行且相等
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、C、D正确，B不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴B不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴D正确；
故选：B．
5．（2022春•遂川县期末）已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
①再加上条件“BC＝AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
③再加上条件“AO＝CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
【分析】由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出①不正确；
由平行线的性质和添加条件得出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，②正确；
由平行线得出△AOB∽△COD，得出对应边成比例，证出BO＝DO，得出四边形ABCD是平行四边形，③正确；
先证出AO＝BO，在证明△AOB∽△COD，得出对应边成比例得出CO＝DO，因此四边形ABCD不一定是平行四边形，得出④不正确．
【解答】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴①不正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴②正确，如图所示；
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO＝BO：DO，
∵AO＝CO，
∴BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴③正确；
∵∠DBA＝∠CAB，
∴AO＝BO，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO＝BO：DO，
∵AO＝BO，
∴CO＝DO，四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴④不正确；
故选：C．

6．（2022春•衡山县期末）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解．
【解答】解：如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形．

故选：C．
7．（2022春•沂水县期中）下面是八年级（1）班某学习小组讨论的问题：
如图所示，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，添加一些条件，使四边形AECF是平行四边形，并加以证明．
条件分别是：
①BE＝DF；
②∠B＝∠D；
③∠BAE＝∠DCF；
④四边形ABCD是平行四边形．
其中所添加的条件符合题目要求的是（　　）

A．④ B．①② C．①④ D．①②③
【分析】由平行四边形的性质得BC∥AD，BC＝AD，再证CE＝AF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】解：所添加的条件符合题目要求的是①④，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∵BE＝DF，
∴BC﹣BE＝AD﹣DF，
即CE＝AF，
又∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故选：C．
8．（2022春•保定期末）如图，点E、F分别是ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（　　）

A．EH⊥BD
B．四边形EGFH是平行四边形
C．EG＝FH
D．GF＝EH
【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故BCD正确，∠EHG不一定等于90°，故A不正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AD＝BC，
∴∠GBF＝∠HDE，
∵点E、F分别是ABCD边AD、BC的中点，
∴BF＝DE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故BCD正确，
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD不正确，
故选：A．
9．（2022•邯郸模拟）如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【分析】先证AB∥CD，再由AB＝CD即可得出结论．
【解答】解：可得此四边形是平行四边形，则这条线段是④，理由如下：
如图，∵∠DAE＝∠D＝63°，
∴AB∥CD，
∵AB＝9，CD＝9，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：D．

10．（2022春•阜新县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，AF⊥BD于点F．CE⊥BD于点E．连接AE，CF．若DE＝BF，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论有（　　）

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
【分析】由平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
【解答】解：∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴CF＝AE，故①正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵CF＝AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE＝OF，故②正确；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
由以上可得出：△DCF≌△BAE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△ABF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等，故④错误；
∴正确的结论有①②③，
故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：　BO＝DO　．（只需填一个你认为正确的条件即可）

【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的四边形可知：添加BO＝DO可以使四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：添加BO＝DO，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：BO＝DO．
12．（2021春•海淀区校级期中）如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是　两组对角分别相等的四边形是平行四边形　．
【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论．
【解答】解：如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
13．（2020•枣阳市校级模拟）请你从下列条件：①AB＝CD，②AD＝BC，③AB∥CD，④AD∥BC中任选两个，使它们能判定四边形ABCD是平行四边形．共有 　4　种情况符合要求．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一判断．
【解答】解：由①②，利用两组对边分别相等可判定四边形ABCD是平行四边形；
由③④，利用两组对边分别平行可判定四边形ABCD是平行四边形；
由①③，②④，利用一组对边平行且相等可判定四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：4．
14．（2019春•锦州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ABC顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），且△A1AC1是由△ABC旋转得到，若点P在AB上，点Q在x轴上，要使四边形PQA1C1为平行四边形，则满足条件的点P的坐标为　（﹣1.5，2）　．

【分析】由A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1）可写出直线AB的解析式，要使四边形PQA1C1为平行四边形，则PQ＝A1C1且PQ∥A1C1，假设P（m，n）列出关于m，n的方程，解出即可得到P的坐标．
【解答】解：由题可知，A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1）
∴直线AB的解析式为：y＝2x+5；
要使四边形PQA1C1为平行四边形，
∴PQ＝A1C1且PQ∥A1C1，
假设P（m，n）
∵PQ∥A1C1
∴Q（m，0）
∴PQ＝A1C1＝2
∴n＝2
又∵P在直线AB上
令y＝2，则x＝﹣1.5即m＝﹣1.5
∴P的坐标为（﹣1.5，2）
故答案为（﹣1.5，2）
15．（2019春•朝阳区校级期中）已知在平面直角坐标系中，有三点A（﹣2，2），B（1，﹣2），C（5，1）．若以A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，写出第四个顶点D的坐标　（2，5）或（﹣6，﹣1）或（8，﹣3）　．
【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形结合网格可找出D点位置．
【解答】解：如图所示：

D的坐标（2，5）或（﹣6，﹣1）或（8，﹣3）．
故答案为（2，5）或（﹣6，﹣1）或（8，﹣3）．
16．（2021秋•任城区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　4s或s　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s．
17．（2022•大理州模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，D是△ABC所在平面内的一点，以A、B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则AD的长为 　2或2　．
【分析】分两种情况讨论，由平行四边形的性质和勾股定理可求AD的长．
【解答】解：如图，若BC为边，AB是对角线，

∵四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，
∴AD1＝AC＝2，
若AB，BC为边，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D2A∥BC，AD2＝BC＝2，
∴∠D2AE＝∠CBA＝45°，
∴D2E＝AE＝，
∴BE＝AE+AB＝3
∴AD2＝，
若AB，AC为边，
∵ABD3C是平行四边形，
∴AD3＝AC＝2，
故答案为：2或2．
18．（2022春•莆田期末）已知，如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件：
①AB＝CD；
②AD∥BC；
③∠BAD＝∠BCD；
④BO＝DO中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形．你的选择是　②③或②④　．

【分析】根据平行四边形的判定定理，证出AB∥CD或OA＝OC即可．
【解答】解：选择②③或②④；理由如下：
选择②③时，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
选择②④时，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△OAD和△OCD中，，
∴△OAD≌△OCD（AAS），
∴OA＝OC，
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：②③或②④．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•郏县期末）如图，已知AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线．求证：四边形AGDF是平行四边形．

【分析】首先证明△ABC≌△DBE可得CB＝EB，AB＝DB，再根据中线定义可得BF＝BG，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
【解答】证明：∵AC∥DE，
∴∠C＝∠E，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（AAS），
∴CB＝EB，AB＝DB，
∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，
∴BF＝BC，GB＝BE，
∴GB＝FB，
∴四边形AGDF是平行四边形．
20．（2021•柳南区校级模拟）已知，如图所示，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BD上．∠BAE＝∠DCF，连接AF、EC，求证：
（1）AE＝FC；
（2）四边形AECF是平行四边形．

【分析】（1）要证AE＝CF，需证△ABE≌△CDF．由AB∥CD，可知∠B＝∠D，由AB＝CD，可知∠BAE＝∠DCF，即可证得．
（2）由△ABE≌△CDF得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，故180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，AE∥CF，AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴AE＝CF．

（2）由（1）△ABE≌△CDF得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，
即∠AEF＝∠CFE．
∴AE∥CF．
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

21．（2020•福田区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF＝CE．
（1）求证：点E是AB的中点；
（2）求证：四边形ACEF是平行四边形．

【分析】（1）由线段垂直平分线和已知条件得出DE是△ABC的中位线，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出证出AF∥CE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE是BC的中垂线，
∴DE⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵D为BC中点，DF∥AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E为AB边的中点；
（2）证明：∵E为AB边的中点，
∴CE＝AE＝BE，
∵AF＝CE，
∴CE＝AE＝AF，
∴∠ECA＝∠EAC，∠AEF＝∠F，
∵DE∥AC，
∴∠EAC＝∠AEF，∠FEC+∠ECA＝180°，
∴∠ECA＝∠F，
∴∠FEC+∠F＝180°，
∴AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形．
22．（2022•滨江区二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，若 　②　（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形．

【分析】根据平行线的性质和平行四边形的判定解答即可．
【解答】解：添加AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：②．
23．（2022春•卧龙区期末）证明命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，要根据题意，画出图形，并用几何符号表示已知和求证．写出证明过程，下面是小文根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，　AB＝CD　．
求证：　四边形ABCD是平行四边形　．
请补全已知和求证部分，并写出证明过程．

【分析】证△ABC≌△CDA（SAS），得∠ACB＝∠CAD，则BC∥AD，再由AB∥CD，即可得出结论．
【解答】解：已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：如图，连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴∠ACB＝∠CAD，
∴BC∥AD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．

24．（2021春•睢县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？

【分析】（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：
①当点F在C的左侧时，
根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，
∵AG∥BC，
当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，
∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得t＝6，
综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．