重庆市南开中学校2022-2023学年八年级下学期入学数学试题

这是一份重庆市南开中学校2022-2023学年八年级下学期入学数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市南开中学校2022-2023学年八年级下学期入学数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：A、不是无理数，不符合题意；
B、不是无理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、不是无理数，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查无理数．熟练掌握无理数的定义，是解题的关键．
2．下列判断不正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】A. 若，则不等式两边同时加2，不等号不变，选项正确；
B. 若，则不等式两边同时乘，不等号改变，选项正确；
C. 若，则不等式两边同时乘2，不等号不变，选项正确；
D. 若，则不等式两边同时乘，有可能，选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，需要特别注意不等式两边同时乘（除）一个正数不等号不变，同时乘（除）一个负数不等号改变．
3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如下表所示，若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（    ）

甲
乙
丙
丁
平均数
9.5
9.6
9.5
9.6
方差
0.25
0.25
0.27
0.28

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的数量，方差越小，数据越稳定；平均数越大，成绩越好，据此作答即可．
【详解】∵乙的平均数最大，方差最小，
∴乙的成绩较好且状态稳定，
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数和方差，正确理解平均数和方差的意义是解题的关键．
4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的概念逐项判断即可．
【详解】解：A.等式从左到右把多项式化为了几个因式积的形式，属于因式分解，故A正确，符合题意；
B. 不是因式分解，故B不正确，不符合题意；
C.不是因式分解，故C不正确，不符合题意；
D.是多项式的乘法，不是因式分解，，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的概念，掌握因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点与关于y轴对称，则a等于（    ）
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．
【详解】解：点与关于y轴对称，
，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：关于y轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．
6．估计的值应在（    ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【分析】先计算可得原式，再估算出的大小，即可求解．
【详解】解：


∵，
∴，
∴的值应在1和2之间．
故选：B
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围．
7．一次函数y=kx+1（）的图像可能正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可判断．
【详解】∵一次函数解析式中：b=1，即：该函数图象与y轴交于正半轴，
∴符合题意的图象只有C，
故选：C
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟记基本函数图象的分布情况与系数之间的联系是解题关键．
8．某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本或以上可享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少购买笔记本是（    ）
A．7本 B．8本 C．9本 D．10本
【答案】D
【分析】设购买x本笔记本，根据题意得出第1种所需费用：，第2种所需费用：，利用第1种比第2种更优惠，列出不等式求解即可．
【详解】解：设购买x本笔记本，由题意可知，要使第1种比第2种更优惠，则：
，
解得：，
∴最少购买10本．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，列出一元一次不等式是解题的关键．
9．如图，在桌面上建立平面直角坐标系（每个小正方形边长为一个单位长度），小球从点出发，撞击桌面边缘发生反弹，反射角等于入射角．若小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第2023秒时小球所在位置的纵坐标为（    ）

A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据小球的运动方向可得小球运动一周所走的路程为个单位长度，再由运动速度得运动一周所用时间，再由2023除以16，从而求出答案．
【详解】∵，
∴小球运动一周所走的路程为个单位长度，
∵小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，
∴小球运动一周用时为秒，
∵，
∴第2023秒时小球所在位置的横坐标为3，
∴第2023秒时小球所在位置的纵坐标为1，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律，发现运动一周所用的时间，掌握勾股定理是解题的关键．
10．如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（    ）

A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】过点F作于G，先求出，则，设，则，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】过点F作于G，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，能够准确作出辅助线是解题的关键．
11．若关于x的一元一次不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先解不等式组，再根据所有整数解的和是进行求解即可．
【详解】解不等式组，得，
∵不等式组的所有整数解的和是，
∴当时，整数解为，
∴；
当时，整数解为，
∴；
综上，m的取值范围是或，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
12．有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式；②整式；③整式、整式和整式相同；④．正确的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作可知个一循环，然后再依次判断即可；
【详解】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
根据个一循环的规律可得：，因此，
所以①、②、③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查整式的加减，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键．

二、填空题
13．64的立方根是_______．
【答案】4
【分析】根据立方根的定义即可求解.
【详解】解：∵43=64，
∴64的立方根是4，
故答案为：4.
【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
14．已知函数是关于x的一次函数，则m的值是______．
【答案】
【分析】根据一次函数的概念可得，，求解即可得出答案．
【详解】解：函数是关于x的一次函数，
，，

故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的概念，根据题意得到关于的不等式和方程是解题的关键．
15．若，，则______．
【答案】
【分析】先把分解因式，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用因式分解求解代数式的值，掌握“提公因式的方法分解因式”是解本题的关键．
16．某校规定：学生的平时测试、期中测试、期末测试三项成绩分别按20%，40%，40%的比例计入学期体育总评成绩．小明的平时测试、期中测试、期末测试的成绩依次为80分，90分，95分，则小明这学期的体育总评成绩为______．
【答案】分
【分析】小明这学期的体育总评成绩为平时测试、期中测试、期末测试的成绩与其对应百分比的乘积之和．
【详解】解：小明这学期的体育总评成绩为：（分）．
故答案为：分．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解本题的关键．
17．已知点，点在一次函数的图象上，则a______b（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【分析】根据一次函数时，y随x的增大而减小，即可判断a，b的大小关系．
【详解】∵一次函数中，，
∴y随x的增大而减小，
又∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查判断一次函数值的大小，熟练掌握一次函数的增减性与系数k的关系是解题的关键．
18．不等式的非负整数解共有______个．
【答案】6
【分析】不等式去分母，合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
【详解】解：，
，
，
解得：，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查求一元一次不等式的非负整数解，求出不等式的解集是解题的关键．
19．小南从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小南从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小南从家出发去学校步行18分钟时，到学校还需步行______米．

【答案】
【分析】当时，设，将代入求得，求出时s的值，从而得出答案．
【详解】解：当时，设，
将代入，得，
解得：，
∴，
当时，，
（米），
∴当小明从家出发去学校步行18分钟时，到学校还需步行140米．
故答案为：140．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
20．如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为______．

【答案】
【分析】不等式的解集就是图象上两个一次函数的图象都在轴的下方，且的图象在的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围．
【详解】经过点的直线与直线相交于点，
不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式，正确理解不等式的解集与对应的函数图象的关系是解题的关键．
21．如图，在中，为边上的中线，已知，，．将沿着翻折得到，连接，，则的面积为______．

【答案】6.72####
【分析】延长交于点H．由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理解和可求出，进而求出；再证是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点H．

，为边上的中线，
．
沿着翻折得到，
，，垂直平分线段，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，，
又，
，
是直角三角形，
，
，，
，
点A到的距离等于的长，
，
故答案为：6.72．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定，平行线间的距离，等腰三角形的性质，三角形面积公式等，有一定难度，解题的关键是能够综合运用上述知识．
22．某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为，白天三种商品销量之比为．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润为______元．
【答案】
【分析】设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，根据全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，列出不等式组和方程，求解出的值，最后计算全天的利润即可．
【详解】由题意得，
设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，
∵全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，
∴，
解得，
∴巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，
∴全天的利润为
（元），
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，列出方程是解题的关键．

三、解答题
23．（1）计算：
（2）因式分解：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算和因式分解，涉及零指数幂、二次根式的性质，提公因式法和公式法综合运用因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．解不等式（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据解不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算；
（2）分别解出不等式的解集，然后找出公共部分．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得，
即该不等式的解集为；
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以原不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，“熟知同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．
25．如图，在中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求，可得，再证明，结合三角形的外角的性质求解，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵于点D，且D为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
26．中国四大著名苹果：新疆阿克苏冰糖心苹果、甘肃天水花牛苹果、陕西洛川红富士苹果、山东烟台红富士苹果．水果店采购员小南决定进购一批红富士苹果．小南对洛川和烟台的苹果进行了实地考察，各随机采摘了30个苹果进行质量检测，数据收集、整理、分析过程如下：
①收集数据
洛川采摘苹果质量统计如下（单位：克）：
360  180  180  240  300  360  480  420  420  420  360  360  180  300  240  240  240  420  300 360  420  480  360  180  240  240  180  240  480  420
烟台采摘苹果质量统计如下（单位：克）：
300  180  240  240  420  420  480  360  300  240  180  420  480  420  420  360  300  360  360 300  180  240  240  420  420  420  480  240  360  480
②整理数据
洛川采摘苹果质量统计表
质量（克）
个数
180
5
240
7
300
3
360

420
6
480



③分析数据
采摘苹果质量的平均数、中位数、众数、方差如下表：
产地
平均数
中位数
众数
方差
洛川
320
330

9680
烟台
342

420
9156

(1)直接写出______，______，______，______．
(2)若小南只选择一个产地采购苹果，根据以上数据，你认为小南选择哪一个产地采购苹果比较好？说明理由（写出一条即可）．
(3)小南决定在洛川采购500个苹果，在烟台采购700个苹果，估计本次小南采购苹果中质量在420克及以上的个数是多少？
【答案】(1)
(2)选烟台，理由见解析
(3)本次小南采购苹果中质量在420克及以上的个数是430个

【分析】（1）通过各自数据的计数可得，根据统计护具、图标信息，由众数、中位数定义可得；
（2）通过比较两者的平均数、中位数、众数和方差即可得出答案；
（3）分别用各自的数量乘以相应的概率再相加即可．
【详解】（1）由题意得：，
∵240出现的次数最多，
∴，
∵烟台苹果共摘了30个，第15，16个的平均数为360，
∴，
故答案为：；
（2）选烟台，理由如下：
烟台苹果质量的平均数、中位数、众数均比洛川苹果的高，且方差更小，质量更均衡；
（3）（个）
所以，本次小南采购苹果中质量在420克及以上的个数是430个．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数及方差的定义，概率的简单应用，能看懂图表是解题的关键．
27．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：
在中，下表是y与x的几组对应值．

…



0
1
2
3
…

…
7

3
1

1
3
…


(1)______，______；
(2)平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(3)根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打√，错误的打×．
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线．（    ）
②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．（    ）
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值．（    ）
(4)若方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是______．
【答案】(1)2，
(2)见解析
(3)，，
(4)

【分析】(1)观察表格，函数图象经过点，，将这两点的坐标分别代入解析式，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；再把和分别代入所求的解析式，即可求出m， n的值；
(2)根据表中的数据，通过描点、连线，即可画出函数图象；
(3)根据函数图象即可一一判定；
(4)当函数的图象经过点时，可得，此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合，再结合图象即可解答．
【详解】（1）解：观察表格，此函数图象经过点，，将这两点的坐标分别代入解析式，
得，
解得，
∴这个函数的表达式为；
∴当时，，
当时，，
故答案为：5，；
（2）解：列表如下：

…



0
1
2
3
…

…
7
5
3
1

1
3
…

描点、连线，画图如下：

（3）解：根据图象，判断如下：
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线．（）
②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．（×）
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值．（）
故答案为：，，；
（4）解：当函数的图象经过点时，，
解得，
此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合，
故当时，函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，
即方程组有且只有一个公共解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，画出函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键．
28．为了迎接兔年的到来，广大市民纷纷开始购买兔年装饰物，某网店上架了“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”这两款产品，已知10个“玉兔灯笼”和15个“玉兔摆件”的售价为2400元；30个“玉兔灯笼”和20个“玉兔摆件”的售价为5200元．
(1)每个“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的售价分别为多少元？
(2)已知“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的成本分别为80元/个和50元/个．进入2023年一月后，这两款产品持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中“玉兔摆件”的数量不超过“玉兔灯笼”数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，网店决定对“玉兔灯笼”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款产品全部售出，则“玉兔灯笼”购进多少个时该网店当月销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个 “玉兔摆件”的售价为元．
(2)“玉兔灯笼”购进个，所获得的利润最大，最大利润为元．

【分析】（1）设每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个 “玉兔摆件”的售价为元，再根据10个“玉兔灯笼”和15个“玉兔摆件”的售价为2400元；30个“玉兔灯笼”和20个“玉兔摆件”的售价为5200元，建立方程组，可得答案；
（2）设当月销售利润为元，“玉兔灯笼”购进个，则“玉兔摆件”购进个，再根据总利润等于两种商品的利润之和建立一次函数关系式，再根据一次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：设每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个 “玉兔摆件”的售价为元，则
，解得：，
答：每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个 “玉兔摆件”的售价为元．
（2）设当月销售利润为元，“玉兔灯笼”购进个，则“玉兔摆件”购进个，
∴

，
又∵，
解得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
此时；
∴“玉兔灯笼”购进个，所获得的利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系建立方程，函数关系式或不等式组是解本题的关键．
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与直线交于点，且，轴于点，直线与轴交于点，点为线段中点．

(1)求点的坐标；
(2)已知动点在轴上，动点直线上，当四边形周长最小时，连，请求出此时的面积；
(3)在第（2）问的条件下，将绕点逆时针旋转后得到，再沿着轴平移得到（如图2），在直线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当四边形周长最小时，
(3)存在，的坐标为或

【分析】（1）将点代入，，得出，联立两直线求得点的坐标；
（2）分别作关于，的对称点，设交轴于点，此时四边形周长为最小，得出直线的解析式为，继而得出点的坐标，根据，即可求解．
（3）根据旋转的性质得出的纵坐标为,即点在直线上运动，设，由直线的解析式为，设点，分别表示出，根据勾股定理与等腰直角三角形的性质列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：将代入，，
∴，
解得：
∴直线的解析式为
联立，
解得：
∴
（2）解：依题意，直线与轴交于点，点为线段中点．
令中，，解得，
则,
∵,，
则，
如图所示，分别作关于，的对称点，设交轴于点，

则，,
此时四边形周长为最小
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴
令，解得：，
令，得，
∴,
∴，
∴

，
∴当四边形周长最小时，；
（3）∵，，
∵将绕点逆时针旋转后得到，则，
如图所示，过点作轴于点，则

∴, ,
∵沿着轴平移得到
∴的纵坐标为,即点在直线上运动，设
由直线的解析式为，设点
∵
∴
，，
∵，，为顶点的三角形为以为斜边的等腰直角三角形，
则,
∴
解得：或


∴的坐标为或
【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，一次函数与几何综合，掌握以上知识是解题的关键．
30．为等边三角形，D是边AC上一点，连接BD，点E为BD上一点，连接CE．

(1)如图1，延长CE交AB于点G，若，，求BC的长；
(2)如图2，将绕点B逆时针旋转60°至，延长CB至点M使得，连接AM交BF于点N，求证：；
(3)如图3，在（2）问的条件下，过A作AH垂直BC于点H，过点B作且，连接HK、NK．若，当的值最小时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)

【分析】（1）过点G作于点W，则、是两个特殊的直角三角形，由可求得、的长，从而可求得的长，最后求得的长；
（2）在线段上取，连接，则易证，；由旋转的性质可得，则，从而可证，则有，从而可证结论成立；
（3）延长到，使，由（2）可得，则；由旋转知，故有，则，当Q、N、K三点共线且垂直时，最小，此时，则，点B为的中点，由勾股定理可求得的长，从而得的长，最后求得结果．
【详解】（1）解：如图，过点G作于点W，则，
为等边三角形，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
∴，
；

（2）证明：在线段上取，连接，如图，
由旋转的性质得，，，，
，，
，
，，
，
，；
，
，
，，
，，
，
，
，，
即，
，
；

（3）解：延长到，使，如图3，
由（2）知，，
，
，
；
由旋转知，
，
，
当Q、N、K三点共线且垂直时，最小，即的值最小，如图4所示；

由（2）知，，且，
，，
由及等腰三角形三线合一的性质得：，
；
，
，
∵，
，
即，
；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
，
．
【点睛】本题是三角形的综合，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合运用这些知识，作出适当的辅助线是本题的关键，把求的最小值转化为求的最小值是本题的难点．