2022-2023学年山东省青岛五中九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省青岛五中九年级（上）期末数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛五中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图所示的几何体的三种视图是　　

A． B．
C． D．
2．（3分）在中，对边分别为、、，，若，则的值为　　
A． B． C． D．
3．（3分）方程的根是　　
A． B． C．， D．，
4．（3分）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋内任取出一个球记下数字后作为点的横坐标，然后再从袋中剩下的小球中取出一个球记下数字后作为点的纵坐标，则点落在直线上的概率是　　
A． B． C． D．
5．（3分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比越接近0.618时，越给人一种美感．小颖妈妈身高，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是　　

A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是　　

A． B．
C．或 D．或
8．（3分）若二次函数的图象经过、、、，、，则、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知线段、满足，那么的值为 　　．
10．（3分）某公司在疫情缓和期间为了恢复工作，用30600元为公司员工采购了医用防护口罩和型防护口罩共5000个，其中购买医用防护口罩花费14400元，已知型防护口罩单价是医用防护口罩单价的4.5倍，设医用防护口罩单价为元，则可列方程 　　．
11．（3分）如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处．若，，，则的长为 　　．

12．（3分）如图，双曲线与在第一象限内交于、两点，分别过、两点向轴和轴作垂线．已知点坐标为，则图中阴影部分的面积为　 　．

13．（3分）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，．若，，，则的值为 　　．

14．（3分）已知在中，，，将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处，延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于 　　．
15．（3分）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，对于下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是　 　（填序号）

16．（3分）如图，个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△的面积为，△的面积为，，△的面积为，则　 　（用含的式子表示）．

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
17．（4分）已知：矩形内有一点．
求作：等腰直角，使它的直角顶点为，斜边落在边上．

四、解答题（本大题满分68分，共有7道小题）
18．（12分）（1）计算：；
（2）若二次函数的图象与轴有交点，求实数的取值范围．
（3）如图所示的是某个几何体的三视图．根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．

19．（8分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数，其中为楼间水平距离，为南侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡朝北，长为，坡度为，山坡顶部平地上有一高为的楼房，底部到点的距离为．
（1）求山坡的水平宽度；
（2）欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台处至地面处的高度为，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部距处至少多远？
20．（8分）如图，将的边延长到点，使，连接交边于点．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论．

21．（8分）已知：如图，轴，是等腰直角三角形，，点的坐标为．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组的解集．

22．（10分）某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第天的销售单价为（元千克），则与之间满足如下关系：

1
2
3
4
5
6

（元千克）
120
60
40
30
24
20

该水果每天的销售量（千克）与之间满足的函数关系如图所示：
（1）猜想与之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价与之间的函数关系式（不必写出自变量取值范围）；
（2）求每天的销售量（千克）与之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？
（3）当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销售单价是多少元？（销售收入销售单价销售量
（4）当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？

23．（10分）知识迁移
我们知道，函数，，的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到；类似地，函数，，的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．
理解应用
函数的图象可由函数的图象向右平移　 　个单位，再向上平移　 　个单位得到，其对称中心坐标为　 　．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系为，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？

24．（12分）如图，在中，，于点，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时直线由点出发，沿的方向匀速运动，速度为，运动过程中始终保持．直线交于点，交于点，交于点，连接．设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．
（4）连接，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．


2022-2023学年山东省青岛五中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图所示的几何体的三种视图是　　

A． B．
C． D．
【分析】分别找到找到从正面、上面、左面看所得到的图形即可．
【解答】解：该图形的主视图为长方形，并且里边有一个小圆形，左视图为矩形，里边有两条横向虚线，俯视图为矩形，里面有两条纵向虚线．
故选：．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．（3分）在中，对边分别为、、，，若，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出，，即可得出答案．
【解答】解：，
．
故选：．

【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在中，，则，，，．
3．（3分）方程的根是　　
A． B． C．， D．，
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
【解答】解：，
，
，
，，
，，
故选：．
【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
4．（3分）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋内任取出一个球记下数字后作为点的横坐标，然后再从袋中剩下的小球中取出一个球记下数字后作为点的纵坐标，则点落在直线上的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字、满足的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：列表得：

1
2
3
4
1




2




3




4




共有16种等可能的结果，数字、满足的有，，，，
数字、满足的概率为：．
故选：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
5．（3分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比越接近0.618时，越给人一种美感．小颖妈妈身高，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为　　
A． B． C． D．
【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：根据已知条件得下半身长是，
设需要穿的高跟鞋是，则根据黄金分割的定义得：，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
6．（3分）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是　　

A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【分析】由已知得，则根据相似形的性质可得，解答即可．
【解答】解：
由题意知：光线与光线，，
，
，（米．
故选：．
【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是　　

A． B．
C．或 D．或
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，把点的横纵坐标分别乘以或即可得到点的坐标．
【解答】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或．
故选：．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
8．（3分）若二次函数的图象经过、、、，、，则、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
【分析】由点、的对称性，可求函数的对称轴为，再由、，、与对称轴的距离，即可判断；
【解答】解：经过、，
二次函数的对称轴，
、，、与对称轴的距离最远，最近，
，
；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知线段、满足，那么的值为 　　．
【分析】由，可得，即，进而求出．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例线段，掌握比例的基本性质是解题的关键．
10．（3分）某公司在疫情缓和期间为了恢复工作，用30600元为公司员工采购了医用防护口罩和型防护口罩共5000个，其中购买医用防护口罩花费14400元，已知型防护口罩单价是医用防护口罩单价的4.5倍，设医用防护口罩单价为元，则可列方程 　　．
【分析】直接根据题意分别表示出采购的医用防护口罩和型防护口罩的数量，进而得出等式．
【解答】解：设医用防护口罩单价为元，则可列方程：
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出采购的口罩的数量是解题关键．
11．（3分）如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处．若，，，则的长为 　　．

【分析】过点作的延长线于点，易证△，从而可知，，设，在中，利用勾股定理列出方程即可求出的值．
【解答】解：过点作的延长线于点，
在中，
，，，
由于沿对折，
，，
，
，
，
在△与中，
，
△，
，，
，
，，
设，
则，，
，，
，
由勾股定理可知：，
，
在中，
由勾股定理可知：，
解得：，
故答案为：．

【点评】本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．
12．（3分）如图，双曲线与在第一象限内交于、两点，分别过、两点向轴和轴作垂线．已知点坐标为，则图中阴影部分的面积为　4　．

【分析】由于和都关于对称，于是易求点坐标是，那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去2个边长是1的正方形的面积．
【解答】解：在第一象限关于对称，
也关于对称，
点坐标是，
点的坐标是，
．
故答案是4．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道反比例函数在时关于对称．
13．（3分）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，．若，，，则的值为 　　．

【分析】首先证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，得到，从而得出，过点作于，得到，，从而得到，，于是推出结论．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
同理，
四边形是菱形；
，
，
，，
，
，
如图，过点作于，
，，
，
，
．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质和菱形的判定，特殊三角形的性质，通过等量代换推出角相等推出等腰三角形是解决问题的关键．
14．（3分）已知在中，，，将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处，延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于 　　．
【分析】作于，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得，，则利用三角形外角性质可计算出，接着在中利用含30度的直角三角形三边的关系得，，所以，然后在中利用得到，于是可得．
【解答】解：作于，如图，
，
，
绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处，
，，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，
．
故答案为．

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．
15．（3分）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，对于下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是　①④　（填序号）

【分析】由条件可得，则，可得，，，从而可判断出正确的结论．
【解答】解：由折叠可得，，，，
，
，
，
，
，
，，
①正确，②不正确；
又，
，
③不正确；
又，，
为等边三角形，
④正确；
所以正确的为①④，
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查矩形的性质和轴对称的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识，综合性较强，掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
16．（3分）如图，个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△的面积为，△的面积为，，△的面积为，则　　（用含的式子表示）．

【分析】由个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则，，，在一条直线上，可作出直线．易求得△的面积，然后由相似三角形的性质，易求得的值，同理求得的值，继而求得的值．
【解答】解：个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则，，，在一条直线上，作出直线．
，
，
，
△是等边△，且边长，
△△，
，
，
同理：，
，
，
同理：，
，
．
故答案为：．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
17．（4分）已知：矩形内有一点．
求作：等腰直角，使它的直角顶点为，斜边落在边上．

【分析】作于，然后在直线上截取，，则满足条件．
【解答】解：如图，为所作．

【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
四、解答题（本大题满分68分，共有7道小题）
18．（12分）（1）计算：；
（2）若二次函数的图象与轴有交点，求实数的取值范围．
（3）如图所示的是某个几何体的三视图．根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．

【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值进行计算即可；
（2）根据二次函数图象与系数的关系进行解答即可；
（3）根据三视图得出该几何体示三棱柱，再根据表面积的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）原式

；
（2）二次函数的图象与轴有交点，
，即；
（3）表面积为．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，简单几何体的三视图以及二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质，特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
19．（8分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数，其中为楼间水平距离，为南侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡朝北，长为，坡度为，山坡顶部平地上有一高为的楼房，底部到点的距离为．
（1）求山坡的水平宽度；
（2）欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台处至地面处的高度为，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部距处至少多远？
【分析】（1）在中，根据坡度的定义得出，设，则，由勾股定理求出，那么，求出，即可得到山坡的水平宽度为；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）在中，，
，
设，则，
，
，
，，
．
即山坡的水平宽度为；

（2），
，，
日照间距系数，
该楼的日照间距系数不低于1.25，
，
．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部距处远．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
20．（8分）如图，将的边延长到点，使，连接交边于点．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
，，
在与中，
，
；
，，
在与中，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
理由：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
21．（8分）已知：如图，轴，是等腰直角三角形，，点的坐标为．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组的解集．

【分析】（1）根据题意得出，，然后利用待定系数法求得即可；
（2）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）是等腰直角三角形且点的坐标为，
，
点的坐标为，点的坐标为，
把点的坐标代入，解得，
反比例函数关系式为，
把点，点代入一次函数得，
解得，
一次函数函数关系式为；

（2）观察函数图象知，不等式组的解集为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
22．（10分）某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第天的销售单价为（元千克），则与之间满足如下关系：

1
2
3
4
5
6

（元千克）
120
60
40
30
24
20

该水果每天的销售量（千克）与之间满足的函数关系如图所示：
（1）猜想与之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价与之间的函数关系式（不必写出自变量取值范围）；
（2）求每天的销售量（千克）与之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？
（3）当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销售单价是多少元？（销售收入销售单价销售量
（4）当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？

【分析】（1）根据表中数据可得销售单价与之间满足反比例函数，并根据得出与之间的函数关系式；
（2）根据函数图象设出函数解析式，并用待定系数法求函数解析式，再由函数性质求最值；
（3）设销售收入为元，根据销售收入销售量销售价格列出函数解析式，再根据，求出的取值范围，再根据函数的性质求出最低销售单价；
（4）先根据题意求出的取值范围，再根据函数的性质求最小值即可．
【解答】解：（1）由表中数据可得，，
销售单价与之间满足反比例函数，即，
销售单价与之间满足反比例函数，销售单价与之间的函数关系式为；
（2）由图象可设销售量（千克）与之间的函数关系式为，
把，代入解析式得，
解得，
，
，
当时，有最大值，最大值为225，
每天的销售量（千克）与之间的函数关系式为，上市第15天销售量最大，最大销售量是225千克；
（3）设销售收入为元，
则．
当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值，
，
，
解得，
此时（元，
该水果最多只能上市销售24天，最低销售单价为5元；
（4）当时，
解得或，
当时，，
，，图象在第一象限内，随的增大而减小，
当时，有最小值为6，
当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低销售价是6元．
【点评】本题考查二次函数和一次函数、反比例函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
23．（10分）知识迁移
我们知道，函数，，的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到；类似地，函数，，的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．
理解应用
函数的图象可由函数的图象向右平移　1　个单位，再向上平移　 　个单位得到，其对称中心坐标为　 　．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系为，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？

【分析】理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：
灵活应用：根据平移规律作出图象；
实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点” ，然后带入，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
【解答】解：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数的图象可由函数的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为．
故答案是：1，1，
灵活应用：将的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数的图象，其对称中心是．图象如图所示：
由，得，
解得
由图可知，当时，
实际应用：
解：当时，，
则由，解得：，
即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
点在函数的图象上，
则，解得：，
，
当，解得：，
即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．

【点评】本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题，熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
24．（12分）如图，在中，，于点，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时直线由点出发，沿的方向匀速运动，速度为，运动过程中始终保持．直线交于点，交于点，交于点，连接．设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．
（4）连接，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）假设为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到，列出关于的方程，求出方程的解得到满足题意的值；
（2）根据可得，根据相似三角形的形状必然相同可知也为等腰三角形，即，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含的代数式就可以表示出，进而得到梯形的高，又点的运动速度和时间可知点走过的路程，所以梯形的下底．最后根据梯形的面积公式即可得到与的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形的面积，又根据，求出四边形的面积，从而得到了的值，代入第二问求出的与的解析式中求出的值即可；（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到，过点作垂直，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到，由相似得到对应边成比例进而用含的代数式表示出和的长，再由的长减的长表示出的长，从而在直角三角形中根据勾股定理表示出的平方，再由的长减的长表示出的平方，根据两者的相等列出关于的方程进而求出的值．
【解答】解：（1）假设四边形是平行四边形，则，
，
，
，即，
解得：，
当时，四边形是平行四边形．

（2），
，
为等腰三角形，，
，即，
解得：，
，
又，
．

（3）存在；
，
当时，
即，
解得：，（舍去）．
时，．

（4）存在．假设存在某一时刻，使得在线段的垂直平分线上，则，
过作，交于，如图所示：
，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，
又，
，
，
解得，（舍去），
时，点在线段的垂直平分线上．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问和第四问都属于探究性试题，需要采用“逆向思维”，都应先假设存在这样的情况，从假设出发作为已知条件，寻找必要条件，从而达到解题的目的．