2022年广东省佛山市南海外国语学校中考数学模拟试卷（八）

这是一份2022年广东省佛山市南海外国语学校中考数学模拟试卷（八），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的值为
A．2022B．C．1D．
2．（3分）中国“天问一号“探测器于2021年2月10日19时52分在火星上成功“刹车并被火星捕获”完成首次火星探测任务在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离约为19200万千米．19200万用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）如图，直线．已知．．则的度数为
A．B．C．D．
4．（3分）下列说法正确的是
A．为了解10名学生的视力情况，采用抽样调查
B．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
C．从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是
D．甲、乙两名射击运动员10 次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、，若，，．则甲的成绩比乙的稳定
5．（3分）如图，经过水平向右平移后得到，若．．则平移距离是
A．B．C．D．
6．（3分）关于的不等式组有解，则的值可以是
A．B．C．D．
7．（3分）小明的身高1.7米，他站立在阳光下的影子长为0.85米，他把手臂竖直举起，此时影子长为1.1米，则小明的手臂超出头顶的长度为
A．0.6米B．0.5米C．0.4米D．0.3米
8．（3分）如图，已知．按以下步骤尺规作图：
①以点为圆心任意长为半径画弧分别交，于点，；
②分别以、两点为圆心．大于长为半径画弧，两段弧交于点．并作射线；
③在上任取一点，过点作，交于点；
若点在上，且满足，则的度数为
A．B．C．或D．或
9．（3分）若关于的方程的一个实数根为，则的值等于
A．4B．C．8D．
10．（3分）如图，二次函数的图象对称轴为直线，与轴交于两点，，之间（含，有5个整数点．下列结论：
①；
②；
③为任意实数）；
④．
其中，正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知：一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
12．（4分）计算： ．
13．（4分）一个多边形的外角和比它内角和的一半还少，这个多边形的边数是 ．
14．（4分）已知，则 ．
15．（4分）如图，在中，，，，分别取，的中点，，连接，取上一点，连接和，且．则的长度为 ．
16．（4分）著的化简结果是关于的一个三次三项式，则 ．
17．（4分）如图，在矩形中，，点为矩形外部的任意一点，连接，，，且，则线段长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）某商店计划购买甲、乙两种玩具共500个，这两种玩具的进价、售价如下表所示：
（1）要使进货款恰好为14800元，甲、乙两种玩具应各进多少个？
（2）如何进货，商店销售完甲乙两种玩具时获利恰好是进货价的？
20．（8分）某校想了解初三年级1200名学生跳绳情况，从中随机抽查了女生和男生各20人的跳绳成绩，收集数据并整理如下：
女生：158，162，166，172，175，178，180，180，183，184，184，185，186，186，186，187，188，189，193，198．
男生：150，158，165，166，168，170，172，174，177，178，180，182，184，186，188，188，188，189，192，205．
根据练计数据得出两组数据的极差、平均数、中位数、众数如下表：
（1）请将上面的表格补充完整： ， ， ．
（2）请根据以上数据估计初三年级学生中考跳绳成绩能得满分个及以上）的同学大约能有多少人？
（3）老师准备从跳绳成绩在190个及以上的同学中随机挑选两位同学参加市级的跳绳比赛，求恰好选中一男一女的概率（用树状图或列表法解答）．
21．（8分）如图，为的外接圆，为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的面积．
22．（8分）如图，反比例函数，的图象与一次函数的图象交于点和点，且．
（1）求反比例函数和一次函数表达式．
（2）求的面积．
23．（12分）如图1，在矩形中，为对角线，的交点，，为直线上一动点，以为边，在它的左侧作等边．
（1）如图1，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，在点运动的过程中，求证：．
（3）若时，当时，求的长度．
24．（12分）如图1，点在二次函数对称轴右侧图象上，连接，过点作轴，垂足为点，过点作．交轴于点，交抛物线于点．
（1）①若点的坐标为，则 ．
②对于任意点，①的结论还成立吗？请说明理由．
（2）如图2，将该抛物线向左平移1个单位，再向下平移个单位，此时抛物线与轴的交点为，（点在点左侧），与轴的交点为，且当时，当时．
①抛物线的表达式为 ；（直接写结论）
②连接，，点为线段上一点，过点作，垂足为点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，设，求的最大值．
2022年广东省佛山市南海外国语学校中考数学模拟试卷（八）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）的值为
A．2022B．C．1D．
【分析】利用有理数的乘方运算判断．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数的乘方运算．
2．（3分）中国“天问一号“探测器于2021年2月10日19时52分在火星上成功“刹车并被火星捕获”完成首次火星探测任务在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离约为19200万千米．19200万用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【解答】解：19200万，
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．（3分）如图，直线．已知．．则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和，可以计算出的度数．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（3分）下列说法正确的是
A．为了解10名学生的视力情况，采用抽样调查
B．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
C．从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是
D．甲、乙两名射击运动员10 次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、，若，，．则甲的成绩比乙的稳定
【分析】利用调查方式的选择、随机事件的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、为了解10名学生的视力情况，采用全面调查，故错误，不符合题意；
、一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖10次不一定有1次中奖，故错误，不符合题意；
、从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是，故错误，不符合题意；
、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、．方差分别为、若，，，则甲的成绩更稳定，正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解调查方式的选择、随机事件的定义、概率的意义及方差的意义，难度不大．
5．（3分）如图，经过水平向右平移后得到，若．．则平移距离是
A．B．C．D．
【分析】先根据平移的性质得到，平移的距离为的长度，然后利用求出的长即可．
【解答】解：经过水平向右平移后得到，
，平移的距离为的长度，
，
即，
，
解得，
即平移的距离为．
故选：．
【点评】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6．（3分）关于的不等式组有解，则的值可以是
A．B．C．D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解，
，
的值可以是，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
7．（3分）小明的身高1.7米，他站立在阳光下的影子长为0.85米，他把手臂竖直举起，此时影子长为1.1米，则小明的手臂超出头顶的长度为
A．0.6米B．0.5米C．0.4米D．0.3米
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度，即可列方程解出的值，再减去身高即可得出小明举起的手臂超出头顶的高度．
【解答】解：设小明的手臂竖直举起时总高度，则，
解得，
，
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时物体的高度和影长成正比是解答此题的关键．
8．（3分）如图，已知．按以下步骤尺规作图：
①以点为圆心任意长为半径画弧分别交，于点，；
②分别以、两点为圆心．大于长为半径画弧，两段弧交于点．并作射线；
③在上任取一点，过点作，交于点；
若点在上，且满足，则的度数为
A．B．C．或D．或
【分析】如图，过点作于点，于点，利用基本作图可判断平分，则根据角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，接着证明，所以，然后利用等腰三角形的性质得到，利用邻补角的定义得到．
【解答】解：如图，过点作于点，于点，
由作法得平分，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的度数为或．
故选：．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
9．（3分）若关于的方程的一个实数根为，则的值等于
A．4B．C．8D．
【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【解答】解：将代入原方程得，
解得：，
的值为8．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
10．（3分）如图，二次函数的图象对称轴为直线，与轴交于两点，，之间（含，有5个整数点．下列结论：
①；
②；
③为任意实数）；
④．
其中，正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【分析】由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与轴交点位置，可判断①；根据对称轴为可判断②；由时取最小值可判断③；
【解答】解：抛物线开口方向朝上，
，
抛物线对称轴为直线，
，即，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线，
，即，
，故②错误；
时，函数取最小值，
当为任意实数时，，
，故③错误；
抛物线与轴交于两点，，之间（含，有5个整数点，
抛物线与轴的交点为，，
，
，
，
，故④错误．
所以正确的结论有1个．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知：一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 4 ．
【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义：正数的平方根有两个，且互为相反数是解本题的关键．
12．（4分）计算： ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
13．（4分）一个多边形的外角和比它内角和的一半还少，这个多边形的边数是 8 ．
【分析】多边形内角和定理：且为整数），多边形的外角和等于，由此即可求解．
【解答】解：设多边形的边数是，
由题意得：，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理，多边形的外角和等于．
14．（4分）已知，则 ．
【分析】利用非负数的性质列式计算，求出、的值，再求立方根．
【解答】解：，
，
解得：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了立方根，非负数的性质，解题的关键是掌握立方根，非负数的性质．
15．（4分）如图，在中，，，，分别取，的中点，，连接，取上一点，连接和，且．则的长度为 2 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出．
【解答】解：，是的中点，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16．（4分）著的化简结果是关于的一个三次三项式，则 或0 ．
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则化简，进而得出的值，即可得出答案．
【解答】解：
，
的化简结果是关于的一个三次三项式，
或，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上所述：或0．
故答案为：或0．
【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（4分）如图，在矩形中，，点为矩形外部的任意一点，连接，，，且，则线段长度的最小值为 ．
【分析】首先确定出点的位置为以为弦，所对的圆周角为的优弧，取的中点，则，连接，，过点作于点，利用圆的有关性质得到点为该圆弧的圆心，圆的半径为2，根据当，，三点在一条直线上时，的长度最小，依据图形解答即可．
【解答】解：由题意知：点的轨迹为以为弦，且所对的圆周角为的优弧，如图，
取的中点，则，连接，，过点作于点，
四边形为矩形，
四边形和四边形为矩形，
，．
，
，
，
，
点为该圆弧的圆心，
该圆弧的半径为．
当，，三点在一条直线上时，的长度最小，
此时的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的轨迹的方法确定出点的大致位置是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．
19．（8分）某商店计划购买甲、乙两种玩具共500个，这两种玩具的进价、售价如下表所示：
（1）要使进货款恰好为14800元，甲、乙两种玩具应各进多少个？
（2）如何进货，商店销售完甲乙两种玩具时获利恰好是进货价的？
【分析】（1）设该商店购进甲种玩具个，乙种玩具个，利用总价单价数量，结合购进两种玩具共花费14800元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商店购进甲种玩具个，则购进乙种玩具个，利用总利润每个的销售利润销售数量（进货数量），可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该商店购进甲种玩具个，乙种玩具个，
根据题意得：，
解得：．
答：该商店应购进甲种玩具180个，乙种玩具320个；
（2）设该商店购进甲种玩具个，则购进乙种玩具个，
根据题意得：，
解得：，
．
答：该商店应购进甲种玩具300个，乙种玩具200个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
20．（8分）某校想了解初三年级1200名学生跳绳情况，从中随机抽查了女生和男生各20人的跳绳成绩，收集数据并整理如下：
女生：158，162，166，172，175，178，180，180，183，184，184，185，186，186，186，187，188，189，193，198．
男生：150，158，165，166，168，170，172，174，177，178，180，182，184，186，188，188，188，189，192，205．
根据练计数据得出两组数据的极差、平均数、中位数、众数如下表：
（1）请将上面的表格补充完整： 55 ， ， ．
（2）请根据以上数据估计初三年级学生中考跳绳成绩能得满分个及以上）的同学大约能有多少人？
（3）老师准备从跳绳成绩在190个及以上的同学中随机挑选两位同学参加市级的跳绳比赛，求恰好选中一男一女的概率（用树状图或列表法解答）．
【分析】（1）根据极差、中位数和众数的定义求解；
（2）用1200乘以样本中满分人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1），
；
；
故答案为：55，179，186；
（2）（人，
所以估计初三年级学生中考跳绳成绩能得满分个及以上）的同学大约能有480人；
（3）跳绳成绩在190个及以上的男生有2人，女生有2人，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8，
所以恰好选中一男一女的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了极差、中位数和众数．
21．（8分）如图，为的外接圆，为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的面积．
【分析】（1）连接，证明，根据切线的判定定理证明即可；
（2）过点作于，设，根据相似三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接，
，，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于，
设，则，
，
，，
，
，即，
解得：，（舍去），
则，，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
22．（8分）如图，反比例函数，的图象与一次函数的图象交于点和点，且．
（1）求反比例函数和一次函数表达式．
（2）求的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式；过点作轴于点，过点作，交延长线于点，设，用含的代数式表示线段，，利用相似三角形的判定与性质列出比例式，求得值，则点坐标可求，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得，的值，则．
【解答】解：（1）反比例函数，的图象经过点，
，
．
反比例函数的表达式为；
过点作轴于点，过点作，交延长线于点，如图，
，
，．
设，则，
，．
，
，
，
．
，
，
．
，
解得：或（不合题意，舍去），
．
一次函数的图象经过点，，
，
解得：，
一次函数的解析式为．
（2）由（1）知：和点，
，，，．
，．
．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
23．（12分）如图1，在矩形中，为对角线，的交点，，为直线上一动点，以为边，在它的左侧作等边．
（1）如图1，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，在点运动的过程中，求证：．
（3）若时，当时，求的长度．
【分析】（1）结论：四边形是菱形．证明四边相等即可；
（2）如图2中，连接，延长交于点．证明，推出，推出，推出，推出，再利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，过点作于点．解直角三角形求出，，可得结论．如图中，当点在的延长线上时，同法可得是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】（1）解：结论：四边形是菱形．
理由：四边形是矩形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
（2）证明：如图2中，连接，延长交于点．
由（1）可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
垂直平分线段，
，
当点在点的上方时，同法可证；
（3）解：如图中，当点在线段上时，过点作于点．
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
．
如图中，当点在的延长线上时，同法可得是等腰直角三角形，，
．
综上所述，的值为或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
24．（12分）如图1，点在二次函数对称轴右侧图象上，连接，过点作轴，垂足为点，过点作．交轴于点，交抛物线于点．
（1）①若点的坐标为，则 ．
②对于任意点，①的结论还成立吗？请说明理由．
（2）如图2，将该抛物线向左平移1个单位，再向下平移个单位，此时抛物线与轴的交点为，（点在点左侧），与轴的交点为，且当时，当时．
①抛物线的表达式为 ；（直接写结论）
②连接，，点为线段上一点，过点作，垂足为点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，设，求的最大值．
【分析】（1）求出直线的表达式为：，得到点，，进而求解；
（2）①当时，即当时，当时，得到点，根据抛物线的对称性，则点，进而求解；
②由，得到，即可求解．
【解答】解：（1），，
四边形为平行四边形，
设点，则点，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
则直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得：（正值已舍去），
则点，，
则，
即取任何值，上式成立，
故①的答案为：；②对于任意点，①的结论成立；
（2）①抛物线的对称轴为，
则当时，即当时，
当时，
则点，根据抛物线的对称性，则点，
设抛物线的表达式为：，
即，
即，即，
故抛物线的表达式为：，
故答案为：；
②过点作轴交于点，
在中，，
则，
则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，直线的表达式为：，
设点，则点，点，，
则，
即的最大值为：．
【点评】本题主要考查了二次函数综合运用，涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的增减性、解直角三角形等知识，其中（2），确定点的坐标是本题的难点．
进价（元个）
售价（元个）
甲种玩具
20
35
乙种玩具
35
45
极差
平均数
中位数
众数
女生
40
181
184
男生
178
188
进价（元个）
售价（元个）
甲种玩具
20
35
乙种玩具
35
45
极差
平均数
中位数
众数
女生
40
181
184
男生
178
188