2022年广东省惠州市惠阳区大亚湾金澳中英文学校中考数学三模试卷

这是一份2022年广东省惠州市惠阳区大亚湾金澳中英文学校中考数学三模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的绝对值是
A．3B．C．0D．1
2．（3分）2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间较少了0.0000016秒，将0.0000016用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，中，弦、相交于点，若，，则等于
A．B．C．D．
5．（3分）在一个不透明的袋子中共装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为，则这个袋子中蓝球的个数是
A．3个B．4个C．5个D．12个
6．（3分）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则此圆锥侧面展开图的圆心角是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的的取值范围是
A．B．C．或D．或
8．（3分）如图，是矩形对角线，，，在和上分别截取，，使；在分别以，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，则点到的距离为
A．B．C．D．
9．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
10．（3分）如图是二次函数的图象，下列结论正确的个数是
①对称轴为直线；
②；
③方程的解是，；
④不等式的解为．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式： ．
12．（4分）若代数式有意义，则的取值范围 ．
13．（4分）若，则以的值为边数的多边形的内角和为 ．
14．（4分）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是
15．（4分）有一组数据：2、1、3、5、、6，它的平均数是3，则这组数据的中位数是 ．
16．（4分）将抛物线向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为 ．
17．（4分）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填写正确结论的序号）
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：．
19．（6分）解不等式组：．
20．（6分）如图，，平分，且交于点．
（1）作的角平分线交于点（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）母亲节前夕，某花店购进康乃馨和百合两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比百合销量大，店主决定将百合每枝降价2元促销，降价后100元可购买百合的数量是原来可购买百合数量的倍．
（1）试问：降价后每枝百合的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝，康乃馨进价为6元枝，百合的进价是5元枝．试问至少需要购进多少枝百合？
22．（8分）2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有 人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生，，，1名女生，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
23．（8分）如图，一次函数经过点，，与反比例函数的图象交于点，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出当时的取值范围；
（3）点在轴上，是否存在是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且，是的外接圆，连接．
（1）证明：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）当时，求的面积．
25．（10分）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的外接圆圆心坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
2022年广东省惠州市惠阳区大亚湾金澳中英文学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）的绝对值是
A．3B．C．0D．1
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：的绝对值是．
故选：．
【点评】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
2．（3分）2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间较少了0.0000016秒，将0.0000016用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
4．（3分）如图，中，弦、相交于点，若，，则等于
A．B．C．D．
【分析】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，即可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．
【解答】解：是的外角，
；
，，
；
；
故选：．
【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．
5．（3分）在一个不透明的袋子中共装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为，则这个袋子中蓝球的个数是
A．3个B．4个C．5个D．12个
【分析】设蓝球有个，根据摸出一个球是红球的概率是，得出蓝球的个数即可．
【解答】解：设袋子中蓝球有个，
根据题意，得：，
解得：，
即袋中蓝球有4个，
故选：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
6．（3分）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则此圆锥侧面展开图的圆心角是
A．B．C．D．
【分析】根据弧长圆锥底面周长，圆心角弧长母线长计算．
【解答】解：由题意知：弧长圆锥底面周长，
扇形的圆心角弧长母线长．
故选：．
【点评】本题考查的知识点为：弧长圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．解题的关键是熟知圆锥与扇形的相关元素的对应关系．
7．（3分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的的取值范围是
A．B．C．或D．或
【分析】求使反比例函数的值小于一次函数的值的的取值范围是指对于同一个自变量的值，反比例函数的值位于一次函数的值的下方，观察图象，即可得出结果．
【解答】解：由一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，
图中使反比例函数的值小于一次函数的值的的取值范围是：，或．
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，由图象的位置可直接得出答案．
8．（3分）如图，是矩形对角线，，，在和上分别截取，，使；在分别以，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，则点到的距离为
A．B．C．D．
【分析】利用基本作图得到平分，则，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，然后根据角平分线的性质求解．
【解答】解：由作法得平分，
，，
，
平分，
，
，
为的平分线，
点到的距离等于点到的距离，
而，
点到的距离为．
故选：．
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
9．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．
【解答】解：点，，在反比例函数的图象上，
，点在第三象限，点在第一象限，每个图象上随的增大减小，
一定最大，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．
10．（3分）如图是二次函数的图象，下列结论正确的个数是
①对称轴为直线；
②；
③方程的解是，；
④不等式的解为．
A．4B．3C．2D．1
【分析】利用抛物线与轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与轴有2个交点可对②进行判断；根据时，；时，可对③进行判断；抛物线的对称性得到点关于直线的对称点为，然后利用函数图象可对④进行判断．
【解答】解：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线，所以①正确；
抛物线与轴有2个交点，
△，所以②正确；
时，；时，，
方程的解是，，所以③正确；
点关于直线的对称点为，
当时，，
即不等式的解为，所以④正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式： ．
【分析】先提取公因式，再运用完全平方公式分解．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
12．（4分）若代数式有意义，则的取值范围 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：分式有意义应满足分母不为0，即，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义的条件是解题关键．
13．（4分）若，则以的值为边数的多边形的内角和为 ．
【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值，再根据多边形的内角和公式求解即可．
【解答】解：，，，
，，
，，
，
以的值为边数的多边形的内角和为：，
故答案为：．
【点评】此题考查了多边形的内角和及绝对值、算术平方根的非负性，根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值是解题的关键．
14．（4分）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是
【分析】根据一次函数的性质，构建不等式组即可解决问题；
【解答】解：由题意：，
解得，
故答案为
【点评】本题考查一次函数的性质、不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．（4分）有一组数据：2、1、3、5、、6，它的平均数是3，则这组数据的中位数是 2.5 ．
【分析】根据平均数的定义求出的值，再将这组数据重新排列，根据中位数的定义计算可得．
【解答】解：数据2、1、3、5、、6的平均数是3，
，
解得：，
将这组数据重新排列为1、1、2、3、5、6，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
16．（4分）将抛物线向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为 ．
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
17．（4分）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ①③④ ．（填写正确结论的序号）
【分析】利用折叠性质得，，，，，则可得到，于是可对①进行判断；在中利用勾股定理计算出，则，设，则，，，利用勾股定理得到，解得，所以，，于是可对④进行判断；接着证明，利用相似比得到，而，所以，所以与不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．
【解答】解：沿折叠，点恰落在边上的点处，点在上，
将沿折叠，点恰落在线段上的点处，
，，，，，
，所以①正确；
在中，，
，
设，则，，，
在中，
，
，
解得，
，
，所以④正确；
沿折叠，点恰落在边上的点处，
，
，
而，
，
，
，
，
而，
，
与不相似；所以②错误．
，，
．所以③正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：．
【分析】根据平方根、特殊角三角函数值、负整数指数幂、去绝对值分别化简，再计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查实数计算，解题关键是掌握实数运算的顺序及运算法则．
19．（6分）解不等式组：．
【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集为．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．
20．（6分）如图，，平分，且交于点．
（1）作的角平分线交于点（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形．
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先证明得到，再证明，则，于是可判断四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形．
【解答】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
而，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了菱形的判定．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）母亲节前夕，某花店购进康乃馨和百合两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比百合销量大，店主决定将百合每枝降价2元促销，降价后100元可购买百合的数量是原来可购买百合数量的倍．
（1）试问：降价后每枝百合的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝，康乃馨进价为6元枝，百合的进价是5元枝．试问至少需要购进多少枝百合？
【分析】（1）可设降价后每枝百合的售价是元，根据等量关系：降价后100元可购买百合的数量是原来可购买百合数量的倍，列出方程求解即可；
（2）可设购进百合枝，根据不等量关系：购进康乃馨的钱数购进百合的钱数元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设降价后每枝百合的售价是元，依题意有
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
答：降价后每枝百合的售价是8元．
（2）设购进百合枝，依题意有
，
解得：．
答：至少购进百合80枝．
【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
22．（8分）2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 40 人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有 人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生，，，1名女生，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【分析】（1）用“不了解”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用8800乘以样本中“比较了解”的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为（人；
本次抽取调查的学生中，“比较了解”的学生有：（人，
估计该校800名学生中“比较了解”的学生有（人，
故答案为：40，320；
（2）补全条形统计图如图：
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有6个，
恰好抽到2名男生的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
23．（8分）如图，一次函数经过点，，与反比例函数的图象交于点，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出当时的取值范围；
（3）点在轴上，是否存在是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出直线解析式，进而求出点坐标，进而求出双曲线解析式，即可求出答案；
（2）联立直线和双曲线的解析式，求出点坐标，再利用图象即可写出答案；
（3）利用两点间距离公式求出，，，再利用和建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）把，代入得，，
，
一次函数表达式为；
当时，，
点坐标为．
把代入，解得．
反比例函数表达式为；
（2）由（1）知，一次函数表达式为①，反比例函数表达式为②，
联立①②解得，或，
，
由图象知，当时的取值范围为或；
（3）存在，点的坐标为或，
由（2）知，，
设，
，
，，，
是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ、当时，，
，
点的坐标为或．
Ⅱ、当时，，
，此方程无解，即此种情况不存在，
即，满足条件的点的坐标为或．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组的方法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且，是的外接圆，连接．
（1）证明：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）当时，求的面积．
【分析】（1）利用等角的余角相等可得，利用角边角公理即可判定结论成立；
（2）连接，通过计算得到，利用切线的判定定理即可得出结论；
（3）连接，利用勾股定理可求得线段的长，进而可求线段的长，则线段可得，利用勾股定理可求，利用圆的面积公式即可求得结论．
【解答】证明：（1），
．
．
，
．
．
，
．
在和中，
，
．
解：（2）直线与相切，理由：
连接，如图，
为的中点，，
．
．
，
．
，
．
，
，
．
即．
．
是圆的半径，
直线与相切．
（3）连接，如图，
是线段的垂直平分线，
，
，，
．
．
．
，
．
在中，
．
的面积．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定，同圆半径的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质直角三角形的性质，勾股定理，连接是解题的关键．
25．（10分）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的外接圆圆心坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将、两点代入解析式即可求出和；
（2）先判定为直角三角形，圆心就是的中点；
（3）设出点坐标，然后表示出的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的图象经过点，
，
解得：，，
抛物线解析式为
（2）在中，令，即，
整理得，解得：或，
，．
，，，
，
，
，
是直角三角形，且．
故的外接圆圆心在边上的中点位置，圆心坐标为．
（3）据题意，抛物线的线的对称轴为：，
可设点，则可求得：．
，
．
当时，
有，
，
解得，
；
当时，
有，
，此方程无实数根，
此时不能构成等腰三角形；
当时，
有，
整理得：，
解得：，
点坐标为：，．
综上所述，存在点，使为等腰三角形，点的坐标为：，，．
【点评】本题是二次函数综合题．主要生考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形外接圆、中点坐标公式、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式、等腰三角形的存在性问题等众多知识点和考点．前两问是常规考法，要注意基础知识的掌握，最后一问，分类讨论是解决问题的关键．