2022年湖南省湘潭市湘潭县青山中学中考数学模拟试卷

这是一份2022年湖南省湘潭市湘潭县青山中学中考数学模拟试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的相反数是
A．B．C．D．
2．（3分）下列立体图形中，左视图是三角形的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
4．（3分）一元二次方程根的情况为
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．（3分）已知一组数据：6，2，8，，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是
A．6B．2C．8D．7
6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（3分）正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
8．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若分式的值为零，则的值是 ．
10．（3分）因式分解： ．
11．（3分）为庆祝建党70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从三名男生和二名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．
12．（3分）2020年来爆发的新冠疫情打乱了全球各国的发展节奏．我们中国在党中央的领导下，利用中国社会主义制度优势，以生命至上的人权理念，在无数医护人员的拼命奋战下取得举世抗疫成就．但在一些资主义国家消极抗疫政策下．截至2022年3月17日，全球累计确诊462058428人．用科学记数法表示为 人．（精确到
13．（3分）连接四边形各边中点所得到的新四边形是 ．
14．（3分）如图，在中，，，，过点作，垂足为，则的长度是 ．
15．（3分）如图，直线，，，则 ．
16．（3分）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．
例如计算：
根据以上信息计算 ．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简再求值：，其中满足．
19．（6分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度，飞机上的测量人员在处测得、两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为1200米，且点、、在同一水平线上，求这条江的宽度．（参考数据：，，结果精确到1米）
20．（6分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选取一类最喜欢的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
（1）被调查学生的总数为人，统计表中的值为 ，统计图中的值为 ．
（2）求统计图中类所对应扇形的圆心角．
（3）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢新闻节目的学生数．
21．（6分）如图，矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，写出与的数量关系，并说明理由．
22．（6分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为，豆沙粽子（记为，肉粽子（记为，这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式．
24．（8分）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划．
（1）“读书节”之前小明发现：购买5本图书和8本图书共花279元，购买10本图书比购买6本图书多花162元，请求出、图书的标价；
（2）“读书节”期间书店计划用不超过3680元购进、图书共200本，且图书不少于50本，、两种图书进价分别为24元、16元；销售时准备图书每本降价1.5元，图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？
25．（10分）如图1，中，，于点，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图2，当点落在上时不与重合），若，，求的长；
②如图3，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
26．（10分）已知抛物线与抛物线的顶点相同．
（1）求抛物线解析式的一般形式；
（2）已知点的坐标为．
①问题探究：在轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
②问题应用：在轴上存在点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上，请直接写出点坐标．
2022年湖南省湘潭市湘潭县青山中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）的相反数是
A．B．C．D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：的相反数是．
故选：．
【点评】本题考查相反数，绝对值的概念，关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义．
2．（3分）下列立体图形中，左视图是三角形的是
A．B．C．D．
【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【解答】解：、该图形左视图是正方形，故此选项不合题意；
、该图形左视图是矩形，故此选项不合题意；
、该图形左视图是中间有一条虚线的矩形，故此选项不合题意；
、左视图是三角形，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据合并同类项法则可判断选项和，根据积的乘方法则可判断选项，根据同底数幂的除法法则可判断选项．
【解答】解：．不是同类项，不能合并，选项不符合题意；
．，选项不符合题意；
．，选项符合题意；
．，选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了合并同类项，积的乘方以及同底数幂的除法，掌握相关的法则是解题的关键．
4．（3分）一元二次方程根的情况为
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
5．（3分）已知一组数据：6，2，8，，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是
A．6B．2C．8D．7
【分析】首先根据平均数为6求出的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：数据6，2，8，，7的平均数是6，
，
解得：，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，
则中位数为7；
故选：．
【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断．
【解答】解：第1个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
第2个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
第3个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
第4个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
共3个图形符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确把握相关定义是解题关键．
7．（3分）正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】根据正比例函数的性质可得出，进而可得出，由，利用一次函数图象与系数的关系，可找出一次函数的图象经过第一、三、四象限，此题得解．
【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
．
又，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
【点评】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
8．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为
A．B．C．D．
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若分式的值为零，则的值是 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：若分式的值为零，则且，
的值是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．（3分）因式分解： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解可得．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤先提取公因式，再利用公式法分解．
11．（3分）为庆祝建党70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从三名男生和二名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．
【分析】随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
【解答】解：选出的恰为女生的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率，掌握概率公式计算是关键．
12．（3分）2020年来爆发的新冠疫情打乱了全球各国的发展节奏．我们中国在党中央的领导下，利用中国社会主义制度优势，以生命至上的人权理念，在无数医护人员的拼命奋战下取得举世抗疫成就．但在一些资主义国家消极抗疫政策下．截至2022年3月17日，全球累计确诊462058428人．用科学记数法表示为 人．（精确到
【分析】根据科学记数法定义解答．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法的定义是解题的关键．
13．（3分）连接四边形各边中点所得到的新四边形是 平行四边形 ．
【分析】连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．
【解答】解：如图：
根据中位线定理可得：且，且，
，，
四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
【点评】本题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况，掌握中位线定理是解题的关键．
14．（3分）如图，在中，，，，过点作，垂足为，则的长度是 1 ．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
【解答】解：．，，
，
，
故答案为1．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，直线，，，则 ．
【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
16．（3分）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．
例如计算：
根据以上信息计算 ．
【分析】认真读懂题意，掌握新定义，利用新定义计算．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数运算的新定义，解题的关键是掌握新定义，利用新定义计算．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）计算：．
【分析】利用乘方运算，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂计算．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方运算，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂．
18．（6分）先化简再求值：，其中满足．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式
，
，
，
则原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度，飞机上的测量人员在处测得、两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为1200米，且点、、在同一水平线上，求这条江的宽度．（参考数据：，，结果精确到1米）
【分析】在和中，利用锐角三角函数，用表示出、的长，然后计算出的长．
【解答】解：由于，
，，
在中，
，
，
，
在，，
，
．
答：这条江的宽度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含的式子表示出和．
20．（6分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选取一类最喜欢的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
（1）被调查学生的总数为人，统计表中的值为 45 ，统计图中的值为 ．
（2）求统计图中类所对应扇形的圆心角．
（3）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢新闻节目的学生数．
【分析】（1）根据体育的人数除以体育所占的百分比，可得答案；根据娱乐的人数除以抽测的人数，可得答案；
（2）根据圆周角乘戏曲所占的百分比，可得答案；
（3）根据局部估计总体，可得答案．
【解答】解：（1）（人，
，
，
故答案为：45；36；
（2）统计图中类所对应扇形的圆心角为：
；
（3）（人，
答：该校最喜爱新闻节目的学生数160人．
【点评】本题考查了扇形统计图，掌握从扇形统计图，统计表中获取有效信息是解题关键．
21．（6分）如图，矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，写出与的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定，即可得到，再根据，即可得出四边形是平行四边形；
（2）先判定是等腰直角三角形，可得，再根据是的中点，可得，依据，即可得到．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，
，
是的中点，
，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）．
证明：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的中点，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
22．（6分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为，豆沙粽子（记为，肉粽子（记为，这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
【分析】（1）根据题意可以得到小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率；
（2）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：，
即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是；
（2）由题意可得，出现的所有可能性是：
小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，利用概率的知识解答．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式．
【分析】（1）先求出，再判断出四边形是矩形，得出，进而求出点的坐标，即可得出结论；
（2）先求出点的坐标，再用三角函数求出，进而求出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点作轴于，
，
切轴于，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
双曲线经过圆心，
，
双曲线的解析式为；
（2）如图，过点，作直线，
由（1）知，四边形是矩形，
，，
，
在中，，，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系数法，求出点的坐标是解本题的关键．
24．（8分）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划．
（1）“读书节”之前小明发现：购买5本图书和8本图书共花279元，购买10本图书比购买6本图书多花162元，请求出、图书的标价；
（2）“读书节”期间书店计划用不超过3680元购进、图书共200本，且图书不少于50本，、两种图书进价分别为24元、16元；销售时准备图书每本降价1.5元，图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？
【分析】（1）根据“购买5本图书和8本图书共花279元，购买10本图书比购买6本图书多花162元”列方程组解答即可；
（2）设购进图书本，总利润为元，分别求出与的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设图书的标价为元，图书的标价为元．
根据题意得，
解得：，
答：图书的标价为27元，图书的标价为18元；
（2）设购进图书本，总利润为元．
由题意得，
解不等式，得
又，
，
，
，随的增大而减小，
当时，有最大值．
答：图书购进50本，图书购进150本时，利润最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
25．（10分）如图1，中，，于点，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图2，当点落在上时不与重合），若，，求的长；
②如图3，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先判断出，再判断出即可；
（2）①先根据，求出，然后根据，得到，，可得结论；
②方法1、先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可．
方法2、取的中点，连接，，先证明，再证明是等边三角形即可．
【解答】（1）证明：在中，，
，
在和中，
，
，
，
（2）解：①如图，
在中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②结论：．
方法1、如图1，
是由绕点逆时针旋转得到，
，
，
由①有，和都为等腰三角形，
，
，
点，，，四点共圆，
，
设与交于点，
，
，
，
是由绕点逆时针旋转得到，
，
由（1）知，，
．
即：．
方法2、如图③，取的中点，连接，，
由旋转知，，
，
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
即：．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用．
26．（10分）已知抛物线与抛物线的顶点相同．
（1）求抛物线解析式的一般形式；
（2）已知点的坐标为．
①问题探究：在轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
②问题应用：在轴上存在点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上，请直接写出点坐标．
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点为，即可求函数的解析式；
（2）①设，过点作轴交于点，过作轴交于点，证明，可得，又由在抛物线上，求点坐标即可；
②设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，由①同理可得△，可得，又由在抛物线上，求点坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线与抛物线的顶点相同，
；
（2）①存在，理由如下：
设，
如图1，过点作轴交于点，过作轴交于点，
由旋转可知，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
在抛物线上，
，
解得或，
或；
②设，
如图2，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
由①同理可得△，
，，
，
，
解得或，
或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．类别
节目类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
12
30
54
9
类别
节目类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
12
30
54
9