2022年江苏省盐城市鹿鸣路中学中考数学模拟试卷（5月份）

这是一份2022年江苏省盐城市鹿鸣路中学中考数学模拟试卷（5月份），共34页。

2022年江苏省盐城市鹿鸣路中学中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2022的倒数是　　
A．2022 B． C． D．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）如图，数轴上点、对应的数分别为、，则下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．
4．（3分）用5个完全相同的小正方体组台成如图所示的立体图形，它的俯视图为　　

A． B．
C． D．
5．（3分）厉害了，我的国！“中国制造”震撼世界．2021年底我国高速公路已开通里程数达14.65万公里，居世界第一，将数据146500用科学记数法表示正确的是　　
A． B． C． D．
6．（3分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
7．（3分）下列说法正确的是　　
A．要调查现在人们在数字化时代的生活方式，宜采用抽查的方式
B．若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据更稳定
C．一组数据3、4、4、8、6、5的中位数是6
D．设，则当是、、、的平均数时，的值最小．
8．（3分）某游乐场一个不等臂跷跷板长5.6米，支撑柱垂直地面，如图1，当的一端着地时，与地面的夹角的正切值为；如图2，当的另一端着地时，与地面夹角的正弦值为，则支撑柱的长为　　


A．0.4 米 B．0.8 米 C．米 D．1.2 米
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（3分）的立方根是 　　．
10．（3分）在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　．
11．（3分）如图，是的直径，、是上的两点，，则的度数为 　　．

12．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于 　　．

13．（3分）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　　．

14．（3分）若圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 　　．
15．（3分）如图，点为的重心，过点作交于点，交于点，若，则的长为 　　．

16．（3分）如图1，它是一个几何探究工具，其中内接于，是的直径，，，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图，然后点在轴上由点开始向右滑动，点在轴上也随之向点滑动（如图，并且保持点在上，当点滑动至与点重合时运动结束、在整个运动过程中，点运动的路程是 　　．


三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的根．
19．（8分）如图，中，，点、是直线上的两点，点在点左侧，点在点右侧，且．

（1）求证：；
（2）若，，求的大小．

20．（8分）小明在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、、．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后小明任意从中抽出一张，放回搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有正数的卡片的概率是 　　；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率．
21．（8分）为推进“鹿鸣博约”成长课程，我校计划在七年级开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，的值是 　　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若我校七年级有1800名学生，估计学习乐器的学生人数．

22．（10分）每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买、两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知种图书的单价比种图书的单价多10元，且购买4本种图书和3本种图书共需花费180元．
（1）、两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买种图书多少本？
23．（10分）如图，正比例函数为常数）的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．
（1）求的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求线段的长．

24．（10分）如图，已知、分别为的直径和弦，为弧的中点，于，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求直径的长．

25．（10分）已知：二次函数的图象与轴交于、两点，在左侧，且，与轴交于点．
（1）求点坐标，并判断的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线相交于点，已知，直线与轴交于点，连接．若的面积为16，求该二次函数的表达式．

26．（12分）问题：纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？
思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”定义：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么点为线段的“白银分割点”如图2，矩形中，，那么矩形叫做白银矩形．

应用：（1）如图3，矩形是白银矩形，，将矩形沿着对折，求证：矩形也是白银矩形．
（2）如图4，矩形中，，，为上一点，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，延长交的延长线于点，说明点为线段的”白银分制点”．
（3）已知线段（如图，作线段的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）



27．（14分）（1）如图1，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离．
（2）如图2，有一座古井，按规定，要以井为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到井的距离为米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（井的占地面积忽略不计）

（3）为了保护古井（井的占地面积忽略不计），拟以古井为中心划定边长为30米的正方形景区，在该正方形区域内选择若干个安装点，安装一种电讯信号转发装置，其发射直径为31米．现要求：在该正方形区域每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个景区．问：
①能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
②至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30米的正方形区域示意图，供解题时选用）




2022年江苏省盐城市鹿鸣路中学中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2022的倒数是　　
A．2022 B． C． D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是．
故选：．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：由轴对称图形的定义可知，从左到右第1、第4图形是轴对称图形，
所以是轴对称图形的有2个．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）如图，数轴上点、对应的数分别为、，则下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．
【分析】通过观察数轴上、的位置结合不等式的性质即可选出正确答案．
【解答】解：由图易知：，
故错误；
原点位置不确定，
、错误，
，
由不等式性质易得：，
故正确，
故选：．
【点评】本题考查数轴上点的特征，熟练掌握数轴上点的特征以及不等式的基本性质是解题关键．
4．（3分）用5个完全相同的小正方体组台成如图所示的立体图形，它的俯视图为　　

A． B．
C． D．
【分析】从上面看：共分3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形．据此可画出图形．
【解答】解：如图所示的立体图形的俯视图．
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形是关键．
5．（3分）厉害了，我的国！“中国制造”震撼世界．2021年底我国高速公路已开通里程数达14.65万公里，居世界第一，将数据146500用科学记数法表示正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将146500用科学记数法表示为：．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6．（3分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，正确，故选项符合题意；
．，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
7．（3分）下列说法正确的是　　
A．要调查现在人们在数字化时代的生活方式，宜采用抽查的方式
B．若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据更稳定
C．一组数据3、4、4、8、6、5的中位数是6
D．设，则当是、、、的平均数时，的值最小．
【分析】根据全面调查和抽样调查的区别，方差的意义，中位数的定义、平均数的定义分别分析即可．
【解答】解：、调查的对象数目多，适用抽查，故选项符合题意；
、因为，所以乙组数据更稳定，故选项不符合题意；
、数据3、4、4、8、6、5的中位数是4.5，故选项不符合题意；
、，
，函数图象开口向上，
当时，取最小值，
当是、、、的平均数时，的值最小，故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了全面调查和抽样调查的区别，方差的意义，中位数的定义、平均数的定义，解题的关键是明确加权平均数的计算方法，会求一组数据的加权平均数．
8．（3分）某游乐场一个不等臂跷跷板长5.6米，支撑柱垂直地面，如图1，当的一端着地时，与地面的夹角的正切值为；如图2，当的另一端着地时，与地面夹角的正弦值为，则支撑柱的长为　　


A．0.4 米 B．0.8 米 C．米 D．1.2 米
【分析】根据正弦的定义得到，，根据题意列式计算即可．
【解答】解：在中，，
设 米， 米，
米，
，
，
，
米，
（米，
解得：（米，
故选：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（3分）的立方根是 　　．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：，

故答案为：．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
10．（3分）在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　．
【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
11．（3分）如图，是的直径，、是上的两点，，则的度数为 　　．

【分析】由是的直径，得到，由圆周角定理得，由直角三角形的性质即可求出．
【解答】解：是的直径，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
12．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于 　25　．

【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：如图所示，

直尺的两边互相平行，，
．
，
．
故答案为：25．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
13．（3分）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　　．

【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：设正六边形的边长为，
总面积为，其中阴影部分面积为，
则飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14．（3分）若圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 　3　．
【分析】设该圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥的母线长为，
根据题意得：，
解得，
即该圆锥的母线长是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
15．（3分）如图，点为的重心，过点作交于点，交于点，若，则的长为 　　．

【分析】连接并延长交于，如图，利用重心的性质得，再证明，然后利用相似比可计算出的长．
【解答】解：连接并延长交于，如图，

点为的重心，
，
，
，
，
又，
，
，
，
为的重心，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．
16．（3分）如图1，它是一个几何探究工具，其中内接于，是的直径，，，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图，然后点在轴上由点开始向右滑动，点在轴上也随之向点滑动（如图，并且保持点在上，当点滑动至与点重合时运动结束、在整个运动过程中，点运动的路程是 　　．


【分析】由于在运动过程中，原点始终在上，则弧的长保持不变，弧所对应的圆周角保持不变，等于，故点在与轴夹角为的射线上运动．顶点的运动轨迹应是一条线段，且点移动到图中位置最远，然后又慢慢移动到结束，点经过的路程应是线段．
【解答】解：如图3，连接．

是直角，为中点，
半径，
原点始终在上．
，，，
，
连接，则，
，
点在与轴夹角为的射线上运动．
如图4，；
如图5，；

总路径为：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂和负指数幂运算法则、绝对值的运算、特殊三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：

．
【点评】此题主要考查了零指数幂，负指数幂，绝对值的运算，三角函数值的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的根．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据是方程的根求出的值，把的值代入进行计算即可．
【解答】解：


，
是方程的根，
，，
时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（8分）如图，中，，点、是直线上的两点，点在点左侧，点在点右侧，且．

（1）求证：；
（2）若，，求的大小．

【分析】（1）证明，可得；
（2）利用等边对等角求出，再利用外角的性质可得结果．
【解答】（1）证明：，
，
，
在和中
，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，理清题中相等线段和角，利用所学定理推理求解是解题的关键．
20．（8分）小明在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、、．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后小明任意从中抽出一张，放回搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有正数的卡片的概率是 　　；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率．
【分析】（1）用正数的个数除以数字的总个数即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）第一次抽到写有正数的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为负数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
21．（8分）为推进“鹿鸣博约”成长课程，我校计划在七年级开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，的值是 　　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若我校七年级有1800名学生，估计学习乐器的学生人数．

【分析】（1）用1减去其他部分的百分比即可得到值；
（2）根据舞蹈的人数和百分比求出调查的总人数，再求得选择绘画和书法的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）用1800乘以学习乐器的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）本次调查的学生有：（人，
选择绘画的学生有：（人，
选择书法的学生有：（人，
补全条形统计图，如下：

（3）（人，
答：估计学习乐器的学生有540人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，掌握题意，利用数形结合的思想解答是关键．
22．（10分）每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买、两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知种图书的单价比种图书的单价多10元，且购买4本种图书和3本种图书共需花费180元．
（1）、两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买种图书多少本？
【分析】（1）设种图书单价元，种图书单价元，根据“种图书的单价比种图书的单价多10元，且购买4本种图书和3本种图书共需花费180元”列出方程组，解之即可；
（2）设购买种图书本，根据“投入总经费不超过1300元”列出不等式，求出最大整数解即可．
【解答】解：（1）设种图书单价元，种图书单价元，
由题意可得：，
解得：，
种图书单价30元，种图书单价20元；
（2）设购买种图书本，
由题意可得；，
解得：，
最多可以购买30本种图书．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
23．（10分）如图，正比例函数为常数）的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．
（1）求的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求线段的长．

【分析】（1）把点代入反比例函数关系式可求出的值，确定点的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）设点的坐标为，代入函数表达式中，得到和的坐标，根据的长度列出方程，求出值即可．
【解答】解：（1）把点代入反比例函数得，
，
点，代入得，，
正比例函数的关系式为；
（2）设点的坐标为，
将代入和中，
得，，
，，
，
，
解得：（舍或，
的长度为4．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是关键．
24．（10分）如图，已知、分别为的直径和弦，为弧的中点，于，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求直径的长．

【分析】（1）连接，，要证明是的切线只要证明即可，根据已知条件可以证明；
（2）由（1）可得四边形为矩形，从而得到，，利用勾股定理即可求得的长．
【解答】（1）证明：如图，连接，；
为的直径，
，
，
；
为弧的中点，
，
．
是的切线．

（2）解：设与交于点，
由（1）可得四边形为矩形；
，
，
，
在中，
．

【点评】本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
25．（10分）已知：二次函数的图象与轴交于、两点，在左侧，且，与轴交于点．
（1）求点坐标，并判断的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线相交于点，已知，直线与轴交于点，连接．若的面积为16，求该二次函数的表达式．

【分析】（1）确定，根据，则对称轴在轴右侧，可得的正负；
（2）过点作，得到，，求出，、，由，即可求出值，确定，的坐标，设，结合点坐标可得值，即可得到函数表达式．
【解答】解：（1）在中，令，
则，
，
图像与轴交于、两点，在左侧，且，
对称轴在轴右侧，
，
；
（2）过点作轴，垂足为，
则，
，
，
设，，
则，，
，
，
，，
则，
，，
，
，，
设，
令，
则，
，
，，
．

【点评】本题考查的是二次函数的图像及性质，掌握二次函数的性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
26．（12分）问题：纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？
思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”定义：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么点为线段的“白银分割点”如图2，矩形中，，那么矩形叫做白银矩形．

应用：（1）如图3，矩形是白银矩形，，将矩形沿着对折，求证：矩形也是白银矩形．
（2）如图4，矩形中，，，为上一点，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，延长交的延长线于点，说明点为线段的”白银分制点”．
（3）已知线段（如图，作线段的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）



【分析】（1）设，则，根据将矩形沿着对折，可得，即知，故矩形也是白银矩形；
（2）根据四边形是矩形，矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，可得，从而有是等腰直角三角形，即可证的等腰直角三角形，故，即得，从而是线段的”白银分制点”；
（3）过作，在上取，连接，作的角平分线交于，则点即为线段的“白银分割点”．
【解答】（1）证明：矩形是白银矩形，，
设，则，
将矩形沿着对折，
，，
，
四边形是矩形，
，
矩形也是白银矩形；
（2）证明：如图：

四边形是矩形，
，
矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
的等腰直角三角形，
，
，
是线段的”白银分制点”；
（3）如图：

过作，在上取，连接，作的角平分线交于，
点即为线段的“白银分割点”．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及新定义，矩形的性质及应用，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是读懂“白银三角形”，“白银分割点”的定义．
27．（14分）（1）如图1，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离．
（2）如图2，有一座古井，按规定，要以井为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到井的距离为米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（井的占地面积忽略不计）

（3）为了保护古井（井的占地面积忽略不计），拟以古井为中心划定边长为30米的正方形景区，在该正方形区域内选择若干个安装点，安装一种电讯信号转发装置，其发射直径为31米．现要求：在该正方形区域每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个景区．问：
①能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
②至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30米的正方形区域示意图，供解题时选用）



【分析】（1）取的中点，以点为圆心，长为半径作，一定于相交于，两点，点，即为所求；
（2）连接，作的外接圆，取中点，连接，作出菱形，即为所求，进而计算菱形的面积即可求解；
（3）①四个点安装在正方形的边上的中点位置即可求解．②如图，以中点为圆心，15.5米为半径作，则点、在内部，设交、于点、，取的中点，连接，，取，的中点、，以、为圆心，15.5米为半径，作，，则三个圆完全覆盖景区．
【解答】解：（1）如图，

，，
取的中点，则．
以点为圆心，长为半径作，一定于相交于，两点，
连接，，
，点不能在矩形外；
的顶点或位置时，的面积最大，
作，垂足为，则四边形是矩形，
在中，，，
，
由对称性得．
（2）为平行四边形的对称中心，，，
，
如图，连接，作的外接圆，则点在上，取的中点，

，
，
，
是等边三角形，
连接并延长，使得，连接，，
则四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
的面积最大，即平行四边形的面积最大，最大值为平方米；
（3）①如图，

正方形的边长为30米，信号装置发射直径为31米．
个圆心在正方形边的中点直径为31米的圆符合题意，
②如图，以中点为圆心，15.5米为半径作，则点，在内部，
设交，于点，，取的中点，连接，，取，的中点，，
以，为圆心，15.5米为半径，作，，则三个圆完全覆盖景区，即能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求（答案不唯一）

理由如下：，
，在内，
，，
，
，，
同理，
点在内部，点在内部，
三个圆完全覆盖景区，能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求（答案不唯一）．




【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，圆的相关知识，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键．