2022年辽宁省丹东十七中中考数学质检试卷

这是一份2022年辽宁省丹东十七中中考数学质检试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的相反数是
A．B．C．D．2022
2．（3分）下面计算错误的是
A． B．
C．D．
3．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是
A．B．C．D．
4．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为，“0.00000012”用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
5．（3分）某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占，演讲的成绩占，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是
A．83分B．84分C．85分D．86分
6．（3分）已知：的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．
③画射线，交于点，则点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
7．（3分）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是
A．B．C．D．
8．（3分）如图①，在矩形中，为边上的一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，若点、同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是
①当时，是等边三角形．
②在运动过程中，使得为等腰三角形的点一共有3个．
③当时，．
④当时，．
⑤当时，．
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式： ．
10．（3分）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
11．（3分）在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中黄球的个数为 ．
12．（3分）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
13．（3分）关于的不等式组的解集是，则的值为 ．
14．（3分）如图，中，，在轴上，分别为，的中点，连接，为上任意一点，连接，，反比例函数的图象经过点．若的面积为2，则的值是 ．
15．（3分）如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ．
16．（3分）在直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边△，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边△，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边△，，则等边△的边长为 ．
三、（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中
18．（8分）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）①若，，则四边形的面积 ．
②若，则 时，四边形是正方形．
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）丹东十七中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：．机器人，．围棋，．羽毛球，．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，其中图（1）中所占扇形的圆心角为．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）求出所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）若学校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
20．（10分）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）某水果商从批发市场用8万元购进一批大樱桃若干千克，很快销售一空．于是该水果商又用17.6万元购进第二批大樱桃，所购质量是第一批的3倍，但每千克便宜了4元．求该水果商购进第一批大樱桃每千克多少元？
22．（10分）如图，在中，，于点，是上一点，以为直径的交于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使其到该小区铺设的管道最短，并求的长．（精确到1米，，
24．（10分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用80元．
（1）请直接写出与之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
七、（本题12分）
25．（12分）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，．点是的中点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为，请直接用含的式子表示的长．
八、（本题14分）
26．（14分）已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
（3）连接、，求的值；
（4）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年辽宁省丹东十七中中考数学质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）的相反数是
A．B．C．D．2022
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【解答】解：的相反数是2022，
故选：．
【点评】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
2．（3分）下面计算错误的是
A． B．
C．D．
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是
A．B．C．D．
【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【解答】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
4．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为，“0.00000012”用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
5．（3分）某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占，演讲的成绩占，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是
A．83分B．84分C．85分D．86分
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：他的最终成绩为（分，
故选：．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
6．（3分）已知：的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．
③画射线，交于点，则点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，接着证明得到，设交轴于，如图，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到点坐标．
【解答】解：由作法得平分，则，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
设交轴于，如图，
，
，，
设，
，，
在中，，解得，
，．
故选：．
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）；也考查了平行四边形的性质．利用方程的思想求出是解决问题的关键．
7．（3分）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是
A．B．C．D．
【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【解答】解：直线与相交于点，
，
，
，
当时，，
关于的方程的解是，
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
8．（3分）如图①，在矩形中，为边上的一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，若点、同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是
①当时，是等边三角形．
②在运动过程中，使得为等腰三角形的点一共有3个．
③当时，．
④当时，．
⑤当时，．
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤
【分析】由图②可知：当时，点、两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动；由点、两点的运动速度为，所以可得，利用四边形是矩形可知；当时，且保持不变，说明点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒，可得，即点为的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．
【解答】解：由图②可知：点、两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动，如图，
①点、两点的运动速度为，
，
四边形是矩形，
．
当时，，
．
．
当时，且保持不变，
点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒，
，即点为的中点．
．
，
为等边三角形．
．
点、同时开始运动，速度均为1 ，
，
当时，为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点在的垂直平分线上时，为等腰三角形：
此时有两个符合条件的点；
当时，为等腰三角形，如图：
当时，为等腰三角形，如图：
综上所述，在运动过程中，使得为等腰三角形的点一共有4个．
②不正确；
③过点作于点，如图，
由题意：，
由①知：．
在中，
，
，
．
③正确；
④当时，，如图，
由①知：，
．
，
，
．
，
．
．
，
．
④正确；
⑤当时，此时点在边上，如图，
此时，
．
⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式： ．
【分析】首先提取公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．注意先提公因式，再利用公式法分解因式，注意分解要彻底．
10．（3分）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【解答】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数列不等式是解题的关键．
11．（3分）在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中黄球的个数为 7 ．
【分析】设有黄球个，根据概率公式得：，解得的值即可．
【解答】解：设有黄球个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：7．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
13．（3分）关于的不等式组的解集是，则的值为 3 ．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于的方程，解之可得．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，即，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（3分）如图，中，，在轴上，分别为，的中点，连接，为上任意一点，连接，，反比例函数的图象经过点．若的面积为2，则的值是 4 ．
【分析】根据等腰，中位线得出，，应用的几何意义求．
【解答】解：
如图：连接，
中，，在轴上，、分别为，的中点，
，，
，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．
15．（3分）如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ．
【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于，过点作于，交于，则．求出，即可解决问题．
【解答】解：取的中点，连接，过点作交的延长线于，过点作于，交于，则．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
当，，共线时，的值最小，最小值为，
面积的最小值．
【点评】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（3分）在直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边△，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边△，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边△，，则等边△的边长为 ． ．
【分析】从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可．
【解答】解：直线与轴交于点，
，，△的边长为1；
直线与轴的夹角为，，
，
，
，△的边长是2，
同法可得：，△的边长是；
由此可得，△的边长是，
△的边长是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得△的边长是．
三、（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
18．（8分）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）①若，，则四边形的面积 120 ．
②若，则 时，四边形是正方形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形是平行四边形，根据垂直推出，根据矩形的判定得出即可；
（2）①求出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出即可．
②利用等腰三角形的性质和正方形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：点是中点，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
是等腰底边上的高，
，
四边形是矩形；
（2）①是等腰底边上的高，，，
，，，
由勾股定理得：，
四边形的面积是．
②当，时，四边形是正方形，理由如下：
，，
，
，
四边形是正方形；
故答案为：120；．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中．
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）丹东十七中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：．机器人，．围棋，．羽毛球，．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，其中图（1）中所占扇形的圆心角为．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）求出所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）若学校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
【分析】（1）由类有20人，所占扇形的圆心角为，即可求得这次被调查的学生数；
（2）首先求得项目对应人数，即可补全统计图；
（3）该校1000学生数参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）类有20人，所占扇形的圆心角为，
这次被调查的学生共有：（人，
故答案为：200；
（2）类有40人，所占扇形的圆心角为，
项目对应人数为：（人，
补充如图．
（3）（人，
答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团．
【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，掌握条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小是关键．
20．（10分）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）列表格列出所有可能性；
（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．
【解答】解：（1）所有可能性如下表：
总共12种情况．
（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种
甲获胜概率，乙获胜概率
这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）某水果商从批发市场用8万元购进一批大樱桃若干千克，很快销售一空．于是该水果商又用17.6万元购进第二批大樱桃，所购质量是第一批的3倍，但每千克便宜了4元．求该水果商购进第一批大樱桃每千克多少元？
【分析】设该水果商购进第一批大樱桃每千克元，根据两次购进水果的质量的倍数为3列出方程并解答．
【解答】解：设该水果商购进第一批大樱桃每千克元，则该水果商购进第二批大樱桃每千克元，
依题意得：
解得
经检验是所列方程的根，且符合题意．
答：该水果商购进第一批大樱桃每千克15元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（10分）如图，在中，，于点，是上一点，以为直径的交于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
（2）连接、，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：，，
，又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接、，
，
，
，，
，
为的直径，
，
，
．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握切线的判定定理、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理是解题的关键．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使其到该小区铺设的管道最短，并求的长．（精确到1米，，
【分析】首先过点作于点，由题意可求得，，然后设，由三角函数的性质，可表示出与，继而可得方程：，解此方程即可求得答案．
【解答】解：如图：过点作于点，
根据题意得：，，，
，设米，
在中，（米，
在中，（米，
米，
，
解得：，
（米．
答：的长为634米．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24．（10分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用80元．
（1）请直接写出与之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天获得160元的利润列出方程，解方程并结合即可求解；
（3）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设，
将，；，代入，
得，解得，
则与之间的函数关系式为；
（2）由题意，得，
整理，得，
解得，．
，
．
答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意得：
，
，
当时，有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．
七、（本题12分）
25．（12分）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，．点是的中点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为，请直接用含的式子表示的长．
【分析】（1）由“”可证，可得，可求，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）过点作于，设，可得，，，由全等三角形的性质可得，由锐角三角函数可求，可求，可求的长，即可求；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可得当点，点，点，点共线时，值最小，由旋转的性质可得是等边三角形，是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1），，
，
把绕点逆时针旋转，得到，
，，
，，
又，
，
，
，
点是的中点，
；
（2），
理由如下：如图2，过点作于，
，
设，则，，
，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（3）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，值最小，
此时，如图，连接，
将绕点顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，，
垂直平分，
，，
，
，，，
，
，
，
，
由（1）可知：．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点的位置是本题的关键．
八、（本题14分）
26．（14分）已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
（3）连接、，求的值；
（4）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，代入计算得到答案；
（3）连接，根据勾股定理的逆定理得到，根据余弦的定义计算即可；
（4）根据平行四边形的判定定理画出图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答．
【解答】解：（1）抛物线的顶点为，
设函数表达式为
图象过点，
当时，，
解得，
函数表达式为，即；
（2），
，，
点的坐标为，点的坐标为，
、关于对称轴对称，点在对称轴上，
，
的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小，
设直线的函数解析式为，
则，
解得，，
直线的函数解析式为，
点的横坐标为，
所以点的坐标为；
（3）连接，
由勾股定理，得，，，
，
是直角三角形，
，
；
（4）如图2，当点与点重合，点与点关于轴对称时，四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，此时点的坐标为，
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
的纵坐标为：，
点的坐标为，
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
的纵坐标为：，
点的坐标为，
综上所述：以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，点或或．
【点评】本题考查的是二次函数的性质、平行四边形的判定、锐角三角函数的定义，灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
销售单价（元
3.5
5.5
销售量（袋
280
120
甲
乙
红1
红2
白1
白2
红1
（红，红）
（白，红）
（白，红）
红2
（红，红）
（白，红）
（白，红）
白1
（红，白）
（红，白）
（白，白）
白2
（红，白）
（红，白）
（白，白）
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