2023年山东省青岛二十六中中考数学一模试卷

这是一份2023年山东省青岛二十六中中考数学一模试卷，共41页。试卷主要包含了填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛二十六中中考数学一模试卷
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1—8各小题所选答案的标号涂写在答题纸规定位置
1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有　　个．

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（3分）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
5．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是　　
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
6．（3分）如图，将一个规则几何体的上半部分钻一个圆孔，则该几何体的俯视图是　　

A． B．
C． D．
7．（3分）如图，四边形为的内接四边形．弦与的延长线相交于点，，垂足为，连接，，则的度数为　　

A． B． C． D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是　　
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算的结果是 　　．
10．（3分）关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是　　．
11．（3分）某工程队进行爆破时，为了安全，人要撤离到距爆破点50米以外的安全区域．已知引线的燃烧速度为0.2米秒，爆破者离开速度为3米秒，点燃时引线向远离爆破点的方向拉直，则引线的长度应满足什么条件？设引线长米，请根据题意列出关于的不等式 　　．
12．（3分）在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有　　个白球．
13．（3分）如图，已知正方形的边长为4，是边延长线上一点，为边上一点，，连接并延长交线段于点，连接交于点，连接交于点．则下列结论：
①；
②；
③；
④当时，．
其中正确的有 　　．（填序号）

14．（3分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 　　．

三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．（4分）已知：和线段．求作：，使它与的两边相切，半径等于线段．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）计算：
（1）计算：．
（2）解不等式组，并写出它的非负整数解．
17．（6分）甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1，2，；转盘被等分成三份，分别标有数字，，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之差的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由．

18．（6分）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走200米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走500米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东方向，求中餐台到就餐区（即的距离．（结果保留整数）
（参考数值：，，，，，．

19．（6分）【问题背景】九年级学生进行了第一次中考一模质量检测，已知青岛市南区九年级学生总数占比青岛市南区九年级学生总数的
【评分标准】90分及以上为优秀；80分分为良好；60分分为及格；60分以下为不及格．将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题：
【数据分析】（1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是 　　；
（2）求参加本次测试学生的平均成绩；
（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有192人，请你估计全青岛市“不及格”等级的学生的人数．


20．（8分）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的成本价及成活率如表：
品种
购买价（元棵）
成活率

28


40

设种植种树苗棵，承包商获得的利润为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，已知每人每天可种植种树苗6棵或种树苗3棵，如何分配人数才能使种植、两种树苗同时完工．
21．（8分）如图，在中，是对角线、的交点，延长边到点，使，过点作，连接、．
（1）求证．
（2）连接，已知 　　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：且；
条件②：且．

22．（10分）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方3米的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当运动员与点的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）运动员从点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？

23．（10分）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到△，则与的有怎样的数量关系．
问题探究
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
（1）如图1，直接写出的值 　　；
（2）将绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到△、的对应点分别为、点），连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
一般规律
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到△，连接，，请直接写出与的数量关系．
问题解决
如图4，当时，其他条件不变，绕点顺时针旋转，设旋转角为当时，直接写出此时　　．
拓展延伸
如图5，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交线段于点，交线段于点，连接交线段于点．给出下列四个结论，①；②；③；④；正确的结论有 　　个．

24．（12分）已知：如图，在中，，，．点是中点，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；连接，，，将绕点旋转得，连接，．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻，使得点在的外接圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．


2023年山东省青岛二十六中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1—8各小题所选答案的标号涂写在答题纸规定位置
1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据有理数和无理数统称为实数，判断即可．
【解答】解：、是有理数，故符合题意；
、是无理数，故不符合题意；
、是无理数，故不符合题意；
、是无理数，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2．（3分）万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有　　个．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：从左往右第二、四、五这3个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
第一、三这两个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，掌握合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
4．（3分）冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是　　
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：．
【点评】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（3分）如图，将一个规则几何体的上半部分钻一个圆孔，则该几何体的俯视图是　　

A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的俯视图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，几何体的俯视图为，
故选：．

【点评】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
7．（3分）如图，四边形为的内接四边形．弦与的延长线相交于点，，垂足为，连接，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理、等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接，
四边形为的内接四边形，
，
，
，，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是　　
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断、的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故正确；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，顶点的纵坐标大于零，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时抛物线的顶点的纵坐标大于零，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算的结果是 　　．
【分析】根据二次根式的混合运算方法进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是正确解答的前提．
10．（3分）关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是　且　．
【分析】关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得且．
故答案是：且．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系．
△决定抛物线与轴的交点个数．△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
11．（3分）某工程队进行爆破时，为了安全，人要撤离到距爆破点50米以外的安全区域．已知引线的燃烧速度为0.2米秒，爆破者离开速度为3米秒，点燃时引线向远离爆破点的方向拉直，则引线的长度应满足什么条件？设引线长米，请根据题意列出关于的不等式 　　．
【分析】根据引线燃烧的时间人撤离到安全区域的时间，得出不等式即可．
【解答】解：设引线长米，
由题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式关系式是解题的关键．
12．（3分）在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有　30　个白球．
【分析】根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
袋中球的总数为：，
则白球约为（个，
故答案为30．
【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
13．（3分）如图，已知正方形的边长为4，是边延长线上一点，为边上一点，，连接并延长交线段于点，连接交于点，连接交于点．则下列结论：
①；
②；
③；
④当时，．
其中正确的有 　①③　．（填序号）

【分析】由，即可证明，不一定等于，故不一定等于，由三角形全等，三角形外角的性质即可证明，由等边三角形的性质，三角函数定义即可求出的长．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，，
故①正确，
若，
，
，
而不一定是，
故②错误，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，

，
，
，
，
故③正确，
作于，

是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故④错误，
正确的是①③．
故答案为：①③．

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14．（3分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 　　．

【分析】设大圆的半径为，利用已知条件求出、的长，利用求出大圆的半径，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：如图，作垂直于，交、于、，垂足为，过点作垂直于，垂足为，

到直线和的距离均为，
，
又，，
，，
，
，
，
由于是圆弧的切线，
，，
设大圆的半径为，则，
，，
，
，
解得，
图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积减去小半圆的面积，
所以


．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，熟练掌握圆的有关计算方法是解题的关键．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．（4分）已知：和线段．求作：，使它与的两边相切，半径等于线段．

【分析】先作的平分线，在上取一点，再过点作的垂线，在垂线上截取，然后过点作的垂线交于，最后以点为圆心，为半径作圆．
【解答】解：如图，为所作．

【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）计算：
（1）计算：．
（2）解不等式组，并写出它的非负整数解．
【分析】（1）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据不等式组的解法即可求出的范围，然后根据非负整数解即可求出答案．
【解答】解：（1）原式


．
（2），
由①得：．
由②得：．
不等式组的解集为：，
由于是非负整数，
故，1，2．
【点评】本题考查分式的加减运算以及乘除运算，不等式组的解法，本题属于基础题型．
17．（6分）甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1，2，；转盘被等分成三份，分别标有数字，，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之差的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由．

【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此求解即可．
【解答】解：这个游戏对甲乙两人不公平，理由如下：
列表如下：

1
2



2
3
2
2

3
4
1
1
3
2
1
6
6
由表知，共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之差的绝对值大于2的有5种结果，指针所指的数字之差的绝对值小于2的有3种结果，
所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
，
这个游戏对甲乙两人不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走200米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走500米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东方向，求中餐台到就餐区（即的距离．（结果保留整数）
（参考数值：，，，，，．

【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，，从而可得四边形是矩形，进而可得米，，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出，，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，（米，
（米，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
中餐台到就餐区（即的距离为357米．
【点评】本题考查了矩形的判定，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（6分）【问题背景】九年级学生进行了第一次中考一模质量检测，已知青岛市南区九年级学生总数占比青岛市南区九年级学生总数的
【评分标准】90分及以上为优秀；80分分为良好；60分分为及格；60分以下为不及格．将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题：
【数据分析】（1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是 　36　；
（2）求参加本次测试学生的平均成绩；
（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有192人，请你估计全青岛市“不及格”等级的学生的人数．


【分析】（1）先求出“不及格”等级所占百分比，再乘以即可；
（2）利用加权平均数的公式计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想求解即可．
【解答】解：（1）“不及格”等级所占百分比为，
．
故答案为：36；
（2）（分；
（3）参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有192人，
青岛二十六中九年级学生总数为（人，
青岛二十六中九年级学生总数占比青岛市南区九年级学生总数的，
估计全青岛市南区“不及格”等级的学生的人数为（人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，掌握条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小是关键．
20．（8分）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的成本价及成活率如表：
品种
购买价（元棵）
成活率

28


40

设种植种树苗棵，承包商获得的利润为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，已知每人每天可种植种树苗6棵或种树苗3棵，如何分配人数才能使种植、两种树苗同时完工．
【分析】（1）由购买种树苗棵，可得出购买种树苗棵，根据“总利润报价购买种树苗钱数购买种树苗钱数”即可得出关于的函数关系式；
（2）根据政府要求栽植这批树苗的成活率不低于，即可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设安排人种植种树苗，则有人种植种树苗，根据每人每天可种植种树苗6棵或种树苗3棵且同时完工，可列出关于的分式方程，解分式方程求出的值，检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，得：购买种树苗棵，
与之间的函数关系式为．
（2）根据题意，得：，
解得：，
中，
当，时，取最大值，最大值为44400．
答：购买种树苗1200棵，种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元．
（3）设安排人种植种树苗，则有人种植种树苗，
根据题意，得：，
解得：．
经检验，是分式方程的解，且符合实际，此时（人．
答：安排10人种植种树苗，30人种植种树苗，恰好同时完工．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据数量关系列出不等式；（3）根据数量关系列出分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式（不等式或方程）是关键．
21．（8分）如图，在中，是对角线、的交点，延长边到点，使，过点作，连接、．
（1）求证．
（2）连接，已知 　②　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：且；
条件②：且．

【分析】（1）由，，可以证明；
（2）由推出四边形是平行四边形，再由证明四边形是矩形，最后由即可证明四边形是正方形．
【解答】（1）证明：，
，，
，
；
（2）选择②，四边形是正方形，
证明：，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是正方形，
【点评】本题考查三角形全等的判定，正方形的判定，关键是掌握正方形的判定：判定四边形即是矩形，又是菱形．
22．（10分）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方3米的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当运动员与点的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）运动员从点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？

【分析】（1）根据题意将点和代入求出、的值即可写出的函数解析式；
（2）令，解方程即可；
（3）设运动员与小山坡的高度差为，根据题意得，由函数的性质可以求出的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线过点和，将其代入得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
（2）当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
当运动员与点的水平距离是12，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）设运动员与小山坡的高度差为，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，
运动员与小山坡的高度差最大是米．
【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
23．（10分）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到△，则与的有怎样的数量关系．
问题探究
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
（1）如图1，直接写出的值 　　；
（2）将绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到△、的对应点分别为、点），连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
一般规律
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到△，连接，，请直接写出与的数量关系．
问题解决
如图4，当时，其他条件不变，绕点顺时针旋转，设旋转角为当时，直接写出此时　　．
拓展延伸
如图5，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交线段于点，交线段于点，连接交线段于点．给出下列四个结论，①；②；③；④；正确的结论有 　　个．

【分析】问题探究
探究一：（1）直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；
（2）先判断出，进而得出，即可得出结论；
探究二：
先画出图形得到图3，利用勾股定理得到，再证明得到，则，接着利用旋转的性质得，，，所以，然后根据相似三角形的判定方法得到，再利用相似的性质可得．
一般规律
作，垂足为．依据勾股定理可得中，，再根据，可得，即可得出；
问题解决
先判断出点在的中垂线上，再判断出是等边三角形，求出，再分两种情况计算即可得出结论．
拓展延伸
过点作，交于，于，利用正方形的性质证明，证得，，故①正确；进而证得，故②正确；过点作，根据，可得，根据，可证得④成立．
【解答】解：问题探究
探究一：（1）是正方形的对角线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
探究二：
四边形为矩形，

，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到△，
，，，
，
，
．
即．
一般规律
与的数量关系是：；
理由：如图，作，垂足为．

，
四边形是矩形，
，
，
中，，
，
，
，
；
问题解决
如图3，连接，，
，
点在的中垂线上，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
是等边三角形，
，
如图3，，
即：，
如图4，，
即：，
故答案为：或．
拓展延伸
如图5，过点作，交于，于，

则四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，故①正确；
，，
，
，故②正确；
当向点运动时，的面积逐渐增大，而的面积逐渐减小，特别地，当点和点重合时，的面积是的面积，而的面积是0，
③不正确，
过点作，
，
，
，，
，
，故④正确，
故答案为：3．


【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出是等边三角形是解本题的关键．
24．（12分）已知：如图，在中，，，．点是中点，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；连接，，，将绕点旋转得，连接，．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻，使得点在的外接圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）首先根据勾股定理得到的长，根据旋转性质和平行四边形判定，可以证出四边形为平行四边形，假设，在此条件下，得线段成比例，从而得解；
（2）过作于，用含的代数式表示出、、、的长，由（1）已经证明四边形为平行四边形，它的对角线互相垂直时为萎形，再证明，，再根据相似三角形对应边的比相等即可得解；
（3）过作于，过点作于，根据，即可得解；
（4）过作于，所以，再证明，对应角相等，即为内错角相等，所以，从而证出当在上运动时，也在过点与平行的直线上运动，取中点连作于，则四边形为矩形，，若在的外接圆上，则，即可得解．
【解答】解：（1）连接、、，

由旋转知：，，
四边形为平行四边形，
当时，则，
，
，，，
，
依题意得：，，
，，
，
，
，
，
当时，；
（2）由（1）知，四边形为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形为萎形知，当，即时，平行四边形为菱形，
过作于，

，
，
，
，
，
，
，
①，
，，
，
，即，
，，
，
，
由①等式知：，
，
，
，
，舍去负根，
，
检验是原方程的根，
；
（3）四边形为平行四边形，
，
过作于，过点作于，

由（2）知，
在中，，
，



，
；
（4）过作于，

，
，
连接，，，，
，
，
，
当在上运动时，也在过点与平行的直线上运动，
取中点连作于，则四边形为矩形，，若在的外接圆上，则，
，
，
又，
，
，
，
即，
，
即当时，在的外接圆上．




【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外接圆的性质，解题关键是恰当作出辅助线，熟练掌握以上性质和判定．