2022年重庆一中中考数学一诊试卷

这是一份2022年重庆一中中考数学一诊试卷，共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年重庆一中中考数学一诊试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑..
1．（4分）在下列数中既是分数，又是负数的是　　
A．4.7 B．0 C． D．
2．（4分）下列四家足球俱乐部的队徽图案中是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（4分）要使代数式有意义，的取值应满足　　
A． B． C． D．
4．（4分）如图反映了摩天轮上的一点的高度与旋转时间之间的关系，下列根据图象得到的信息正确的是　　

A．2分钟时达到最高点
B．11分钟时高度为10米
C．5分钟到9分钟之间高度持续上升
D．1分钟与8分钟时高度一致
5．（4分）下列命题为假命题的是　　
A．对顶角相等
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．（4分）一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为　　
A．11 B．10 C．9 D．8
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是　　

A． B． C． D．
8．（4分）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
10．（4分）如图，为外一点，过点作的切线、，与过圆心的直线交于、两点，点、为切点，线段交于点．若，，，则的长度为　　

A． B． C． D．
11．（4分）已知关于的一元一次不等式组有解且至多有2个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　
A．6 B．10 C．13 D．18
12．（4分）有依次排列的2个整式，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，称为第一次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，称为第二次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，称为第三次操作，得到第5个整式；以此类推，下列四个说法：①第7个整式为；②第20个整式中的系数与的系数的差为；③第11个整式和第12个整式中的所有系数与的所有系数之和等于2048；④若，，第2023次操作完成后，所有整式的和为0，则，其中正确的结论有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）计算：　　．
14．（4分）一个不透明袋子中装有白球1个、红球3个，这些球除了颜色外无其它差别．从袋中随机摸出一个球，不放回，继续再随机摸出一个球，则前后两次摸出的球都是红球的概率是 　　．
15．（4分）如图，在矩形中，以顶点为圆心，长为半径画弧交边于点，以顶点为圆心，长为半径画弧交边于点，若，则图中阴影部分的面积为 　　（结果保留．

16．（4分）一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“天生荔质”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装6盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装8盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“天生荔质”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出，第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓，也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春遇”、“春见”两款混合水果礼盒若干套，其中每套“春遇”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“春见”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“天生荔质”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春遇”和“春见”礼盒中所有水果的总盒数比“春遇”礼盒中荔枝的盒数多1352盒，则第一次销售的所有礼盒共有 　　套．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）如图，在中，为边上一点，连接，为上一点，且，．连接、、．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．
请将下列证明过程补充完整：
证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
①　　．
，
②　　．
又③　　．
．
④　　．
平分，
．

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解笞时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）清明是二十四节气之一，古人为什么要把这个节气命名为“清明”？为什么二十四节气中只有清明节是节假日？清明节又有哪些习俗？为继承和弘扬中国优秀传统文化，学校“雾星”文学社联合校团委一起开展了清明传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（单位：分），进行整理和分析（竞赛成绩均为整数，满分为12分，9分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
抽取的七年级学生的竞赛成绩：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．
抽取的七、八年级学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8.75
8.75
中位数
9

众数
9

优秀率


根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中、、的值；
（2）根据以上数据分析，请从一个方面评价该校哪个年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异；
（3）该校七年级有300名学生参加知识竞赛，八年级有400名学生参加知识竞赛，请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数．

20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线在第一象限交于点、两点，且点的横坐标为，点与点关于原点对称．
（1）求直线的解析式，并在网格中画出一次函数的图象，以及叙述一次函数的一条性质；
（2）过点作直线轴，交直线于点，求的面积：
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集．

21．（10分）列方程（组解决下列问题：
2022年4月16日上午，神舟十三号载人飞船返回舱安全降落，三名航天员翟志刚、王亚平和叶光富顺利返回地球，航天爱好者小宇、小文和亿万观众通过直播见证了“太空出差三人组”平安重回祖国的激动时刻，适逢4月23日又是“世界读书日”，他们便相约购入同一套与航天相关的书籍进行阅读．该套书籍分为上、下两册，其中上册的页数比下册的页数多32页，小宇计划每天读30页，正好可以24天读完整套书籍．
（1）求该套书籍的上册共有多少页？
（2）小宇和小文同一天开始阅读这套书籍，小宇按计划阅读了12天后，从第13天开始每天的阅读页数为小文每天阅读页数的，结果比小文晚4天读完该套书籍，求小文每天阅读多少页？
22．（10分）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东方向200米处，以航标为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
（1）由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西方向300米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；（精确到1米）
（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．
（参考数据：，

23．（10分）一个四位自然数，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，则称这个四位自然数为“青年数”．“青年数” 的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为；“青年数” 的千位数字与4的差记为，令．
例如：对7240，，，是“青年数”．
，，
．
又如：对5093，，但，不是“青年数”．
（1）请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值；
（2）若一个“青年数” ，当能被10整除时，求出所有满足条件的．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标和长度的最大值；
（3）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到新抛物线，新抛物线与抛物线交于点，为新抛物线上一点，点、为直线上的两个动点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

25．（10分）在中，，，点为线段上一点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，延长交延长线于点．

（1）如图1，当点与点重合时，连接，若，，求线段的长；
（2）如图2，当时，过点作交于点，过点作，垂足为点，与交于点，求证：；
（3）如图3，当点与点重合且时，将△沿着边翻折到同一平面内得到△，点、点分别为线段、线段上的动点，且，连接，，当取得最小值时，请直接写出的值．

2022年重庆一中中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑..
1．（4分）在下列数中既是分数，又是负数的是　　
A．4.7 B．0 C． D．
【分析】根据有理数的定义以及正数和负数的定义解答即可．
【解答】解：．4.7是正数，不是负数，故本选项不合题意；
．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
．是整数，不是分数，故本选项不合题意；
．既是分数，又是负数，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查有理数以及正数和负数，掌握有理数的定义与分类是解答本题的关键．
2．（4分）下列四家足球俱乐部的队徽图案中是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（4分）要使代数式有意义，的取值应满足　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使代数式有意义，
则，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
4．（4分）如图反映了摩天轮上的一点的高度与旋转时间之间的关系，下列根据图象得到的信息正确的是　　

A．2分钟时达到最高点
B．11分钟时高度为10米
C．5分钟到9分钟之间高度持续上升
D．1分钟与8分钟时高度一致
【分析】分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可．
【解答】解：由图象可知：
．3分钟时达到最高点，原说法错误，故本选项不合题意；
．11分钟时高度为10米，说法正确，故本选项符合题意；
．5分钟到6分钟之间高度持续下降，原说法错误，故本选项不合题意；
．1分钟的高度为10米，8分钟的高度为35米，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
5．（4分）下列命题为假命题的是　　
A．对顶角相等
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】利用对顶角的性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
、两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，难度不大．
6．（4分）一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为　　
A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】根据多边形的内角和公式列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式并列出方程是解题的关键．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是　　

A． B． C． D．
【分析】根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：点，，
，，
与是位似图形，
，
，
，
与的面积比为，
故选：．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（4分）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相关数值代入即可．
【解答】解：一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为，
即，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（4分）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得：，证明，得，由三角形的内角和定理可得，最后由等腰三角形的性质和平角的定义可得结论．
【解答】证明：四边形是菱形，点在对角线上，
，，
，
，
，，
，
，
，
中，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明．
10．（4分）如图，为外一点，过点作的切线、，与过圆心的直线交于、两点，点、为切点，线段交于点．若，，，则的长度为　　

A． B． C． D．
【分析】连接、，根据切线的性质得到，，，证明四边形为正方形，设，根据正切的定义、勾股定理列式计算，求出，进而求出．
【解答】解：连接、，
、为的切线，
，，，
，
四边形为正方形，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
则，
解得：，
，
故选：．

【点评】本题考查的是切线的性质、切线长定理、正切的定义、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
11．（4分）已知关于的一元一次不等式组有解且至多有2个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　
A．6 B．10 C．13 D．18
【分析】根据一元一次方程组求出的范围，根据关于的分式方程，求出的范围，然后求出满足条件的的值，最后求和．
【解答】解：由，
得，
，
由题意可知，
，

由，
得，
，
又为非负整数，
的值为0，1，3，4，5，6，7，
又为整数，
为偶数，
的值为0，4，6，
此时的值分别为：6，4，3，
满足条件的整数的值之和为：．
故选：．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组，注意一个偶数减去另一个偶数结果也为偶数是关键．
12．（4分）有依次排列的2个整式，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，称为第一次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，称为第二次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，称为第三次操作，得到第5个整式；以此类推，下列四个说法：①第7个整式为；②第20个整式中的系数与的系数的差为；③第11个整式和第12个整式中的所有系数与的所有系数之和等于2048；④若，，第2023次操作完成后，所有整式的和为0，则，其中正确的结论有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①按要求分别列出即可求解；
②由①，可得规律当是奇数时，的系数比的系数大1，当是偶数时，的系数比的系数大1，再求解即可；
③分别求出部分整式的系数和，可得第11个整式和第12个整式的系数和是，即可求解；
④第2023次操作完成后，得到第2025个等式，奇数个整式比偶数个等式多1个，则所有的系数和要比的系数大1，再由所有整式的和为0，可得．
【解答】解：①第1个整式：，
第2个整式：，
第3个整式：，
第4个整式：，
第5个整式：，
第6个整式：，
第7个整式：，
故①符合题意；
②由①可知，当是奇数时，的系数比的系数大1，当是偶数时，的系数比的系数大1，
个整式中的系数与的系数的差为，
故②符合题意；
③第1个整式和第2个整式的系数和是2，
第3个整式和第4个整式的系数和是，
第5个整式和第6个整式的系数和是，

第11个整式和第12个整式的系数和是，
故③符合题意；
④第2023次操作完成后，得到第2025个等式，奇数个整式比偶数个等式多1个，
所有的系数和要比的系数大1，
所有整式的和为0，
，
故④符合题意；
故选：．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出整式各项系数之间的关系，找到系数和的规律是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）计算：　4　．
【分析】利用算术平方根的意义和零指数幂的意义解答即可．
【解答】解：原式．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义和零指数幂的意义，正确利用算术平方根的意义和零指数幂的意义解答是解题的关键．
14．（4分）一个不透明袋子中装有白球1个、红球3个，这些球除了颜色外无其它差别．从袋中随机摸出一个球，不放回，继续再随机摸出一个球，则前后两次摸出的球都是红球的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中前后两次摸出的球都是红球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中前后两次摸出的球都是红球的结果有6种，
前后两次摸出的球都是红球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）如图，在矩形中，以顶点为圆心，长为半径画弧交边于点，以顶点为圆心，长为半径画弧交边于点，若，则图中阴影部分的面积为 　　（结果保留．

【分析】根据，得，，，即，图中阴影部分的面积等于扇形的面积减去图形的面积即可．
【解答】解：，
，
，，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
16．（4分）一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“天生荔质”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装6盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装8盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“天生荔质”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出，第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓，也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春遇”、“春见”两款混合水果礼盒若干套，其中每套“春遇”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“春见”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“天生荔质”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春遇”和“春见”礼盒中所有水果的总盒数比“春遇”礼盒中荔枝的盒数多1352盒，则第一次销售的所有礼盒共有 　360　套．
【分析】设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是套，“天生荔质”礼盒是套，则“喜上莓梢”礼盒是套，设第二次销售的“春遇”礼盒是套，“春见”礼盒是套，根据第二次“天生荔质”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，得到①，根据第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，得到②，根据“春遇”和“春见”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1352盒，得到③，联立3个方程可求，进一步求出第一次销售的所有礼盒数量．
【解答】解：设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是套“天生荔质”礼盒是套，则“喜上莓梢”礼盒是套，设第二次销售的“春遇”礼盒是套，“春见”礼盒是套，依题意有：
，即①，
，即②，
，即③，
②③得，即④，
①④得，
解得，
则


．
故第一次销售的所有礼盒共有360套．
故答案为：360．
【点评】本题考查了应用类问题，理解题意，能够通过所给的量之间的关系列出正确的方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算多项式乘多项式，再合并同类项即可；
（2）先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）

；
（2）



．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（8分）如图，在中，为边上一点，连接，为上一点，且，．连接、、．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．
请将下列证明过程补充完整：
证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
①　　．
，
②　　．
又③　　．
．
④　　．
平分，
．

【分析】（1）利用基本作图作的平分线；
（2）先根据平行四边形的性质得到，．再证明，，则可判断，所以，然后根据等腰三角形的性质得到结论．
【解答】（1）解：如图，为所求；

（2）证明：四边形是平行四边形，
，．
，
，
，
，
又，
，
，
平分，
．
故答案为：，，，．
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解笞时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）清明是二十四节气之一，古人为什么要把这个节气命名为“清明”？为什么二十四节气中只有清明节是节假日？清明节又有哪些习俗？为继承和弘扬中国优秀传统文化，学校“雾星”文学社联合校团委一起开展了清明传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（单位：分），进行整理和分析（竞赛成绩均为整数，满分为12分，9分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
抽取的七年级学生的竞赛成绩：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．
抽取的七、八年级学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8.75
8.75
中位数
9

众数
9

优秀率


根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中、、的值；
（2）根据以上数据分析，请从一个方面评价该校哪个年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异；
（3）该校七年级有300名学生参加知识竞赛，八年级有400名学生参加知识竞赛，请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数．

【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到、的值．由八年级的优秀率可得、组的学生成绩为优秀，即可得七年级的优秀率；

（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解．
（3）根据优秀率进行评价即可．
【解答】解：（1）八年级学生的竞赛成绩中组的占：，
组的人数最多，
，
八年级学生的竞赛成绩从小到大排列第10、11个数为9，10，
，
八年级学生竞赛成绩的优秀率为，
、组的学生成绩为优秀，
乙班的优秀率，
，，；

（2）八年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异，理由如下：
根据表中可得，七、八年级的平均数一样，但八年级的中位数、众数，优秀均高于七年级，因此八年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异；

（3）该（人，
答：估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数为305人．
【点评】本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线在第一象限交于点、两点，且点的横坐标为，点与点关于原点对称．
（1）求直线的解析式，并在网格中画出一次函数的图象，以及叙述一次函数的一条性质；
（2）过点作直线轴，交直线于点，求的面积：
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集．

【分析】（1）由反比例函数解析式求得的坐标，进一步求得、的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）求得点的坐标，进而利用三角形面积公式即可求得的面积：
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）反比例函数的图象过点，两点，
，解得，
，
点的横坐标为，点与点关于原点对称，
，，，
把、的坐标代入得，解得，
直线的解析式为，
如图：

由图象可知，随的增大而增大；
（2）轴，交直线于点，
，，
，
；
（3）由图象可知，不等式的解集是或．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21．（10分）列方程（组解决下列问题：
2022年4月16日上午，神舟十三号载人飞船返回舱安全降落，三名航天员翟志刚、王亚平和叶光富顺利返回地球，航天爱好者小宇、小文和亿万观众通过直播见证了“太空出差三人组”平安重回祖国的激动时刻，适逢4月23日又是“世界读书日”，他们便相约购入同一套与航天相关的书籍进行阅读．该套书籍分为上、下两册，其中上册的页数比下册的页数多32页，小宇计划每天读30页，正好可以24天读完整套书籍．
（1）求该套书籍的上册共有多少页？
（2）小宇和小文同一天开始阅读这套书籍，小宇按计划阅读了12天后，从第13天开始每天的阅读页数为小文每天阅读页数的，结果比小文晚4天读完该套书籍，求小文每天阅读多少页？
【分析】（1）设该套书籍的上册共有页，则该套书籍的下册共有页，根据该套书籍共页，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出该套书籍上册的页数；
（2）设小文每天阅读页，则小宇从第13天开始每天阅读页，根据小宇比小文晚4天读完该套书籍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该套书籍的上册共有页，则该套书籍的下册共有页，
依题意得：，
解得：．
答：该套书籍的上册共有376页．
（2）设小文每天阅读页，则小宇从第13天开始每天阅读页，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：小文每天阅读40页．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
22．（10分）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东方向200米处，以航标为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
（1）由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西方向300米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；（精确到1米）
（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．
（参考数据：，

【分析】（1）过点作于点，由题意可得，在中，由三角函数可求得米，米，则米，再根据勾股定理可得出答案．
（2）过点作航道的垂线，在中，，求出的值，与150作比较，可得结论；设米，利用勾股定理求出，再根据对称性可得被影响的航道长度．
【解答】解：（1）过点作于点，

由题意得，，米，米，
在中，，，
解得，，
米，
由勾股定理得，米．
、两地的距离约为265米．
（2）该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为100米，理由如下：
过点作航道的垂线，

由题意得，米，，
在中，，
解得，
，
该条航道会被这片浅滩区域影响．
设米，
在中，（米，
根据对称性可知，被影响的航道长度为100米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23．（10分）一个四位自然数，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，则称这个四位自然数为“青年数”．“青年数” 的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为；“青年数” 的千位数字与4的差记为，令．
例如：对7240，，，是“青年数”．
，，
．
又如：对5093，，但，不是“青年数”．
（1）请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值；
（2）若一个“青年数” ，当能被10整除时，求出所有满足条件的．
【分析】（1）根据题中的定义进行判断；
（2）根据题意列方程，再根据10倍，20倍，30倍进行讨论，求出满足条件的整数解．
【解答】解：（1）7240不是“青年数”，9462是“青年数”，
理由：对5093，，，
不是“青年数”；
对9462，，，
是“青年数”，
，，
；
（2）设“青年数” 的千位数是，十位数是，则的百位数是，个位数是，，
则，
，
能被10整除，
当，有，
解得：，，或者，，
或；
当，有，
解得：，，
；
所有满足条件的值为：6151或7284或5073．
【点评】本题考查了因式分解的应用，求整数解是解题的关键．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标和长度的最大值；
（3）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到新抛物线，新抛物线与抛物线交于点，为新抛物线上一点，点、为直线上的两个动点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

【分析】（1）直接利用待定系数法求出，的值进而得出答案；
（2）求出抛物线与轴的交点的坐标，求出直线的解析式，过点作轴，交于点，过点作，交轴于点，可求出直线的解析式，由平行线得三角形相似，根据比例式用含的代数式表示，根据函数关系式设点、的坐标，表示出线段，配方后求出最大值，即可求出的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）根据平移变换的性质可得新抛物线，通过联立方程可求得点，分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，根据平行四边形的性质求解即可得出答案．
【解答】解：（1）把点，代入中，
，
解得：，
所以所求函数关系式为：；

（2）抛物线与轴交于点，
，
点，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
过点作轴，交于点，过点作，交轴于点，

设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
，
当时，取得最大值，
长度的最大值为，
点的坐标为，；

（3）将抛物线向右平移3个单位长度得到新抛物线：
，
联立得，解得，
，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
①当为边时，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，点、为直线上的两个动点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立得，
解得（舍去）或8，
点的坐标为；
②当为对角线时，也是平行四边形的对角线，
设、交于点，，
，
，，
点、为直线上的两个动点，直线的解析式为，
，解得，
点的坐标为，或，．
综上，点的坐标为或，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象上点坐标的特征，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
25．（10分）在中，，，点为线段上一点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，延长交延长线于点．

（1）如图1，当点与点重合时，连接，若，，求线段的长；
（2）如图2，当时，过点作交于点，过点作，垂足为点，与交于点，求证：；
（3）如图3，当点与点重合且时，将△沿着边翻折到同一平面内得到△，点、点分别为线段、线段上的动点，且，连接，，当取得最小值时，请直接写出的值．
【分析】（1）如图1中，过点作于点．利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，，可得结论；
（2）如图2中，在上取一点，使得，连接．证明，，可得结论．
（3）证明△是等边三角形，再根据垂线段最短，三角形中位线定理，解决问题即可．
【解答】（1）解：如图1中，过点作于点．

在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
；

（2）证明：如图2中，在上取一点，使得，连接．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；

（3）解：如图3中，

，
，
，
△是等边三角形，
设，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，当时，的值最小，此时的值最小，
此时，，
，
．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．