2022-2023学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（4分）如图，是的直径，是的弦，连接、、，若，则的度数为
A．B．C．D．
3．（4分）某超市4月份新上架四种数量相同、款式不同的保温杯，该月这四款保温杯的销售量如表所示，则最适宜加大进货量的款式是
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（4分）如图四边形是正方形，点、分别在线段、上，．若线段绕点逆时针旋转后与线段重合，则旋转的角度是
A．B．C．D．
5．（4分）下列图形中，的是
A．B．
C．D．
6．（4分）关于抛物线，下列说法错误的是
A．开口向上B．当时，随的增大而减小
C．对称轴是直线D．顶点
7．（4分）某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度（单位：关于离地时间（单位：的函数解析式是，其中的取值范围是
A．B．C．D．
8．（4分）为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是
A．B．
C．D．
9．（4分）若一个整数能表示成，是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”．例如，因为，所以2是“和平数”．已知是任意整数，是常数），若为“和平数”，则下列值中不符合要求的是
A．5B．10C．15D．17
10．（4分）已知点，，均在抛物线上，其中．若，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算： ．
12．（4分）正六边形的每个内角的大小为 ．
13．（4分）已知点与点关于原点对称，则 ．
14．（4分）写出一个满足“当时，随增大而减小”的二次函数解析式 ．
15．（4分）如图，在中，，，，分别是边，的中点，点在上，且，则的长是 ．
16．（4分）四边形中，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的直角三角形，则对角线的长的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，25题14分．
17．（8分）解方程．
18．（8分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，画出关于原点的中心对称图形△，并写出点的坐标．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）已知直线经过点，，第一象限内的一点在直线上，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式；
（2）点绕着点顺时针旋转得到点，点的坐标．
21．（8分）如图，在中，，点为边上一点．
（1）尺规作图：在边上找一点，使得．
（2）在（1）的条件下以点为圆心，为半径的圆分别与，交于，点，且．求证：与相切．
22．（10分）平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
（1）该商店若希望每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠元为整数，且，帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求的值．
23．（10分）某县疫情防控指挥部根据新冠流调信息，决定在第一时间对七个相关住宅小区进行全员核酸检测，现根据各小区人数共安排18个检测组进行采样．采样结束后，防控指挥部通过整理数据，得到如下统计图表：
（1）本次针对七个住宅小区的核酸检测属于 调查（填“普查”或“抽样调查” ，七个住宅小区的检测人数的中位数是 人；
（2）根据图中信息求每组平均每小时检测人数的平均数；（每组中各个数据用该组中间值代替，如的中间值为
（3）根据疫情防控需要，计划从第二天7时开始对全县约430000人进行全员核酸检测，要求在5小时内完成检测任务．已知一个检测组需要两名医护人员，本县目前可调用402名医护人员参与检测．根据上述数据分析，仅依靠本县医护人员是否可以在规定时间内完成检测任务？如果不能完成任务，则至少需要向外县请求抽调多少名医护人员前来支援？
24．（12分）已知是半圆的直径，，是半圆不与，重合的两点，且点在弧上．
（1）如图1，，，，求的长；
（2）如图2，过点作于点，点是的中点，连接、、，试探究、、之间的数量关系，并证明．
25．（14分）已知抛物线经过原点．
（1）若，求顶点的坐标；（用含的代数式表示）
（2）若抛物线经过点和，且当时，的最大值与最小值的差为4．
①求抛物线的表达式；
②设直线与抛物线交于，两点，点在直线上（点不与点重合），过点且与轴平行的直线分别交直线和抛物线于点，，当为的中点时，求证：．
2022-2023学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1．（4分）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：．
2．（4分）如图，是的直径，是的弦，连接、、，若，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：是的直径，
，
又（圆周角定理），
．
故选：．
3．（4分）某超市4月份新上架四种数量相同、款式不同的保温杯，该月这四款保温杯的销售量如表所示，则最适宜加大进货量的款式是
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】由统计表可知，超市上架的四种数量相同、款式不同的保温杯中，甲款式销售量最多，所以最适宜加大进货量的款式是甲．
故选：．
4．（4分）如图四边形是正方形，点、分别在线段、上，．若线段绕点逆时针旋转后与线段重合，则旋转的角度是
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
线段绕点逆时针旋转后与线段重合，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
旋转角为．
故选：．
5．（4分）下列图形中，的是
A．B．
C．D．
【解答】解：中，；
中，与的大小无法判定；
中，；
中，．
故选：．
6．（4分）关于抛物线，下列说法错误的是
A．开口向上B．当时，随的增大而减小
C．对称轴是直线D．顶点
【解答】解：抛物线，
、因为，开口向上，故说法正确，不符合题意；
、当时，随的增大而增大，故说法错误，符合题意；
、因为对称轴是直线，故说法正确，不符合题意；
、因为顶点为，故说法正确，符合题意；
故选：．
7．（4分）某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度（单位：关于离地时间（单位：的函数解析式是，其中的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：，
当时，爆竹达到最大高度燃爆，
的取值范围是，
故选：．
8．（4分）为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则第三季度有个社区实现垃圾分类，第四季度有个社区实现垃圾分类，
依题意得：．
故选：．
9．（4分）若一个整数能表示成，是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”．例如，因为，所以2是“和平数”．已知是任意整数，是常数），若为“和平数”，则下列值中不符合要求的是
A．5B．10C．15D．17
【解答】解：当时，，
是“和平数”．
不合题意．
当时，．
是“和平数”．
不合题意．
当时，．
因为14不是平方数，
合题意．
当时，．
是“和平数”．
不合题意．
故选：．
10．（4分）已知点，，均在抛物线上，其中．若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
点是该抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为，
点，均在抛物线上，且，
，
解得，
故选：．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算： 0.3 ．
【解答】解：，
故答案为：0.3．
12．（4分）正六边形的每个内角的大小为 ．
【解答】解： 根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数．
故答案为：．
13．（4分）已知点与点关于原点对称，则 5 ．
【解答】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：5．
14．（4分）写出一个满足“当时，随增大而减小”的二次函数解析式 答案不唯一 ．
【解答】解：由题意可知，抛物线开口向下，对称轴为直线；
所以满足条件的二次函数关系式为答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
15．（4分）如图，在中，，，，分别是边，的中点，点在上，且，则的长是 3 ．
【解答】解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故答案为：3．
16．（4分）四边形中，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的直角三角形，则对角线的长的取值范围是 ．
【解答】解：是以为斜边的直角三角形，
点在以为直径的圆上，
如图中，连接并延长，交于点和点，
当点在图中点时，对角线最长，当点靠近点或点时，对角线变短，
等边的边长为6，
，，，
，
，
，
对角线的长度的取值范围为，
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，25题14分．
17．（8分）解方程．
【解答】解：，
移项，得，
配方，得，
，
，
，．
18．（8分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，画出关于原点的中心对称图形△，并写出点的坐标．
【解答】解：关于原点的中心对称图形△如图所示．．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：
，
当时，原式．
20．（8分）已知直线经过点，，第一象限内的一点在直线上，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式；
（2）点绕着点顺时针旋转得到点，点的坐标．
【解答】解：（1）设直线的解析式为，
将点，，代入，
则，
解得，
直线的解析式为；
（2），
当时，，
点，
过点作轴交于，过点作轴交于，
，，
，
，
△，
，，
，，
，，
，
，．
21．（8分）如图，在中，，点为边上一点．
（1）尺规作图：在边上找一点，使得．
（2）在（1）的条件下以点为圆心，为半径的圆分别与，交于，点，且．求证：与相切．
【解答】（1）解：如图，连接，作的垂直平分，交于点，点即为所求；
（2）证明：如图，连接，，
由的作图可知：垂直平分，
，
，
是半径，
也是的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切．
22．（10分）平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
（1）该商店若希望每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠元为整数，且，帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求的值．
【解答】解：（1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
．
答：每顶头盔应降价20元．
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，
依题意得：．
抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大，
，
解得：，
又，且为整数，
或．
23．（10分）某县疫情防控指挥部根据新冠流调信息，决定在第一时间对七个相关住宅小区进行全员核酸检测，现根据各小区人数共安排18个检测组进行采样．采样结束后，防控指挥部通过整理数据，得到如下统计图表：
（1）本次针对七个住宅小区的核酸检测属于 普查 调查（填“普查”或“抽样调查” ，七个住宅小区的检测人数的中位数是 人；
（2）根据图中信息求每组平均每小时检测人数的平均数；（每组中各个数据用该组中间值代替，如的中间值为
（3）根据疫情防控需要，计划从第二天7时开始对全县约430000人进行全员核酸检测，要求在5小时内完成检测任务．已知一个检测组需要两名医护人员，本县目前可调用402名医护人员参与检测．根据上述数据分析，仅依靠本县医护人员是否可以在规定时间内完成检测任务？如果不能完成任务，则至少需要向外县请求抽调多少名医护人员前来支援？
【解答】解：（1）本次针对七个住宅小区的核酸检测属普查，七个住宅小区的检测人数的中位数是3230人，
故答案为：普查，3230；
（2）每组平均每小时检测人数的平均数为：；
（3）402名医护人员可分为（组，
可监测人数为（人，
在规定时间内不能完成任务，
未监测人数为（人．
（组，
（名．
答：至少需要向外县请求抽调214名医护人员前来支援．
24．（12分）已知是半圆的直径，，是半圆不与，重合的两点，且点在弧上．
（1）如图1，，，，求的长；
（2）如图2，过点作于点，点是的中点，连接、、，试探究、、之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图1，是半圆的直径，
，
在中，，
．
，
，
又，
是等边三角形，
．
（2）结论：．
理由：方法一：如图2中，
画，延长交于点，连接，．，．
，
又，
，
即是的中点，
又是的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
是直径，
，
在中，，
，
即．
方法二：如图中，连接，，，，，．
是中点，
又，
，
且，
，
，
设的中点为，
则，
点，在以为直径的圆上，
在该圆中，，
又，
，
在半圆中，，
，
是直径，
，
在中，，
，
即．
25．（14分）已知抛物线经过原点．
（1）若，求顶点的坐标；（用含的代数式表示）
（2）若抛物线经过点和，且当时，的最大值与最小值的差为4．
①求抛物线的表达式；
②设直线与抛物线交于，两点，点在直线上（点不与点重合），过点且与轴平行的直线分别交直线和抛物线于点，，当为的中点时，求证：．
【解答】（1）解：抛物线经过原点，
，
，
，
；
（2）①解：和是对称点，
对称轴为：，
又图象经过原点，
抛物线的表达式为：，
，
最大值为0，
，
当时，，
当时，的最大值与最小值的差为4，
，
，
抛物线的表达式为：，
②证明：设，，则与直线的交点，与抛物线的交点，
当时，如图，
当时，如图，
是的中点，
，
，
由得，即，
设方程的解为，，则点，的坐标为，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
款式
甲
乙
丙
丁
销售量（个
65
27
32
28
住宅区
小区一
小区二
小区三
小区四
小区五
小区六
小区七
检测人数
1931
3530
3230
5210
2872
3735
2452
款式
甲
乙
丙
丁
销售量（个
65
27
32
28
住宅区
小区一
小区二
小区三
小区四
小区五
小区六
小区七
检测人数
1931
3530
3230
5210
2872
3735
2452