2022-2023学年广东省广州市祈福教育集团八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年广东省广州市祈福教育集团八年级（上）期中数学试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是　　

A．迎 B．二 C．十 D．大

2．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是　　

A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 

C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性

4．（3分）如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是　　

A．5 B．3 C．2 D．7

5．（3分）一个多边形的内角和与外角和之比为，则这个多边形的边数是　　

A．7 B．8 C．9 D．10

6．（3分）如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，已知，，，则等于　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠至位置，点的对应点为．若，，则的度数为　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，的三边长均为整数，且周长为22，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有　　个．

A．4 B．5 C．6 D．7

10．（3分）已知：如图，中，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）如图，已知，，于，且，若，，则的长为 　　．

12．（3分）等腰三角形中，，，则的长为 　　．

13．（3分）如图，小明从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 　　．

14．（3分）如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积等于　　．

15．（3分）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则的度数是 　　．

16．（3分）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　　秒时，与全等．

三.解答题（共9小题，满分72分）

17．（4分）已知，如图，是的边上一点，交于点，，，

求证：．

18．（4分）如图，两条公路，相交于点，在内部有两个村庄，．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在内部再启动一个方舱式接种点，要求同时满足：

（1）到两条公路，的距离相等．

（2）到两村庄，的距离相等．

请你用直尺和圆规作出接种点的位置（保留作图痕迹）．

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、．

（1）作出关于轴对称的图形△，并写出顶点的坐标．

（2）求△的面积．

20．（6分）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．

21．（8分）如图在四边形中，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．

22．（10分）如图，在中，．，交于点，且分别平分，．

（1）求的度数；

（2）连接，求证：是等腰三角形．

23．（10分）等边，为外一点，，，，射线与直线相交于点，射线与直线相交于点．

（1）当点、在边、上，且时，猜想、、之间的数量关系，并且请证明．

（2）当点、在边、的延长线上时，请画出图形，并写出、、之间的数量关系．

24．（12分）如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上的点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）判断是什么三角形，并证明你的结论；

（3）判断线段、与的数量关系并证明你的结论．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知、且、满足．

（1）求证：；

（2）如图1，若，求的度数；

（3）如图2，若是的中点，，在的延长线上，，连接，试探究和的数量和位置关系．

2022-2023学年广东省广州市祈福教育集团八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是　　

A．迎 B．二 C．十 D．大

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

故选：．

2．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是　　

A． B． C． D．

【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．

【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

故选：．

3．（3分）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是　　

A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 

C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性

【分析】根据点、、组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．

【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，

所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．

故选：．

4．（3分）如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是　　

A．5 B．3 C．2 D．7

【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可．

【解答】解：，

，

，

，

，

．

故选：．

5．（3分）一个多边形的内角和与外角和之比为，则这个多边形的边数是　　

A．7 B．8 C．9 D．10

【分析】设多边形有条边，则内角和为，再根据内角和等于外角和3倍可得方程，再解方程即可．

【解答】解：设多边形有条边，由题意得：

，

解得：，

故选：．

6．（3分）如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长　　

A． B． C． D．

【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：为的平分线，，，

，

，即，

解得，

故选：．

7．（3分）如图，已知，，，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形内角和，可以得到和的和，再根据三角形内角和，可以得到和的关系，然后即可求得的度数．

【解答】解：连接，如右图所示，

，，，

，

，

，

故选：．

8．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠至位置，点的对应点为．若，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】由折叠的性质可得，，由邻补角定义可解得，继而解得，再由三角形内角和解得，最后由折叠的性质解答即可．

【解答】解：由题意得，，，

，

，

，

，

沿折叠至位置，

，

故选：．

9．（3分）如图，的三边长均为整数，且周长为22，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有　　个．

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】依据的周长为22，的周长比的周长大2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到，6，8，10．

【解答】解：的周长为22，的周长比的周长大2，

，

解得，

又的三边长均为整数，的周长比的周长大2，

为整数，

边长为偶数，

，6，8，10，

即的长可能值有4个，

故选：．

10．（3分）已知：如图，中，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据由可证，可判断①选项；由三角形的内角和定理以及角平分线的定义可判断②选项；根据全等三角形的性质可判断③选项；通过证明，，可得，，可判断④选项．

【解答】解：①为的角平分线，

，

在和中，

，

，

故①选项正确；

②，

，

，

，

为的角平分线，

，

，

即，

故②选项正确；

③，，

，

，

，

，

，

故③选项正确；

④过点作于点，如图所示：

是的角平分线上的点，，

，

，

在和中，

，

，

，，

在和中，

，

，

，

，

故④选项正确，

综上所述，正确的选项有4个，

故选：．

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）如图，已知，，于，且，若，，则的长为 　3　．

【分析】利用证明，得，从而解决问题．

【解答】解：，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

故答案为：3．

12．（3分）等腰三角形中，，，则的长为 　5　．

【分析】根据三角形三边的关系得到，然后找出此范围内的奇数即可．

【解答】解：根据题意得，

即，

因为三角形是等腰三角形，

所以．

故答案为：5．

13．（3分）如图，小明从点出发，前进到点处后向右转，再前进到点处后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 　108　．

【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．

【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点时，所走过的图形是一个正多边形，

由于正多边形的外角和是，且每一个外角为，

，

所以它是一个正18边形，

因此所走的路程为，

故答案为：108．

14．（3分）如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积等于　2　．

【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．

【解答】解：点是的中点，

，，

，

，

点是的中点，

．

故答案为：2．

15．（3分）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则的度数是 　　．

【分析】连接，先利用平角定义求出，从而可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，进而可得，最后利用周角定义进行计算即可解答．

【解答】解：如图：连接，

，

，

，

线段、的垂直平分线、相交于点，

，

，，

，，

，

，

故答案为：．

16．（3分）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　2或或12　秒时，与全等．

【分析】点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算．

【解答】解：由题意得，，，

，，

，，

①如图1，在上，点在上时，作，，

，

，

，

当时，

则，

即，

解得：；

②如图2，当点与点重合时，

当，

则，

．

解得：；

③如图3，当点与重合时，，

，

当，

则，

即，

解得：；

当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等，

故答案为：2或或12．

三.解答题（共9小题，满分72分）

17．（4分）已知，如图，是的边上一点，交于点，，，

求证：．

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

【解答】证明：，

，，

在和中，，

，

．

18．（4分）如图，两条公路，相交于点，在内部有两个村庄，．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在内部再启动一个方舱式接种点，要求同时满足：

（1）到两条公路，的距离相等．

（2）到两村庄，的距离相等．

请你用直尺和圆规作出接种点的位置（保留作图痕迹）．

【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求．

【解答】解：如图，点即为所求．

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、．

（1）作出关于轴对称的图形△，并写出顶点的坐标．

（2）求△的面积．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；

（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．

【解答】解：（1）如图，△即为所求，点；

（2）．

20．（6分）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．

【分析】先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求、，可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出．

【解答】解：，

，

又是高，

，

，

、是角平分线，

，，

，

，

，

，．

故，．

21．（8分）如图在四边形中，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．

【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出、的等式，推出，最后代入求出即可．

【解答】解：如图，延长，交于点．

，，

，

平分，平分，

，，

，，

，即，

，

．

22．（10分）如图，在中，．，交于点，且分别平分，．

（1）求的度数；

（2）连接，求证：是等腰三角形．

【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，，求出，再根据三角形内角和定理求出答案即可；

（2）在上截取，连接，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出即可．

【解答】（1）解：，

，

平分，平分，

，，

，

；

（2）证明：在上截取，连接，

在和中，

，

，

，，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

是等腰三角形．

23．（10分）等边，为外一点，，，，射线与直线相交于点，射线与直线相交于点．

（1）当点、在边、上，且时，猜想、、之间的数量关系，并且请证明．

（2）当点、在边、的延长线上时，请画出图形，并写出、、之间的数量关系．

【分析】（1）在的延长线上截取，连接．可证，即可得，易证得，则可证得△，然后由全等三角形的性质，即可得结论；

（2）首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得△，则可得．

【解答】解：（1）、、之间的数量关系：．

证明：在的反向延长线上截取，连接．

是等边三角形，

，

，，

，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

在和△中，

，

△，

；

（2）如图：．

证明：在上截取，连接．

同理，

，

同（1）可得△，

，

．

24．（12分）如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上的点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）判断是什么三角形，并证明你的结论；

（3）判断线段、与的数量关系并证明你的结论．

【分析】（1）首先得出，再利用，得出即可；

（2）利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；

（3）先大致观察三者的关系，过点作的垂线，交的延长线于点，利用（1）的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系．

【解答】（1）证明：等腰直角三角形中，，

，，

在和中

，

（2）为等腰三角形；

理由：，

，

，

，，

，

，

，

，

，为等腰三角形．

（3）线段、与的数量关系为．

理由：如图所示：过点作的垂线，交的延长线于点，

，，

．

，

，

，

，，

由（1）可得，

，

在和中

，

，，

又，

，

，

又，

．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知、且、满足．

（1）求证：；

（2）如图1，若，求的度数；

（3）如图2，若是的中点，，在的延长线上，，连接，试探究和的数量和位置关系．

【分析】（1）根据非负数的性质得到，解得，确定、，得到，所以为等腰直角三角形，即可解答；

（2）如图1，过点作交于，利用已知条件证明，得到，即为等腰直角三角形，即可解答；

（3）过点作交的延长线于，过点作交轴于，延长交于，利用已知条件证明，得到，再证明得到，进而且（三线合一）．

【解答】解：（1）、满足．

，

、，

，

为等腰直角三角形

，

（2）如图1，过点作交于，

，

，

，

又

在和中，

为等腰直角三角形

（3）过点作交的延长线于，过点作交轴于，延长交于，

，，

、为等腰直角三角形，

，

，

在和中，

又

在和中，

且（三线合一）．