2022-2023学年江苏省连云港市东海县马陵山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2022-2023学年江苏省连云港市东海县马陵山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省连云港市东海县马陵山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）将方程配方后，原方程可变形为　　
A． B． C． D．
3．（3分）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系为　　
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
4．（3分）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）如图，点，，都在上，若，则　　

A． B． C． D．
6．（3分）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽，设小路的宽为，则可列方程　　

A． B．
C． D．
7．（3分）已知：关于的方程有实根，则的取值范围为　　
A．且 B．且 C． D．
8．（3分）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为　　

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分，不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）写出一个以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程　 　．
10．（3分）是关于的一元二次方程，则的值是 　　．
11．（3分）若方程的两根是，，则的值为　　．
12．（3分）某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，则平均每月增长的百分率应该是　 　．
13．（3分）如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为 　　．

14．（3分）矩形中，边，，以为圆心作，使、、三点有两个点在内，有一点在外，则的半径的取值范围是 　　．

15．（3分）在中，弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角的度数是　　．
16．（3分）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为　　．

三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（16分）解方程：
（1）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）；
（4）（公式法）．
18．（6分）已知关于的一元二次方程的一个根为2，求的值及另一个根．
19．（8分）如图，、为的两条弦，延长到，使，如果，求的度数．

20．（8分）已知关于的方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
21．（8分）（1）如图1，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆弧所在圆的圆心的坐标为　　
（2）如图2所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．求破残的圆形轮片圆的半径．

22．（10分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么的长为多少米？
（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．

23．（10分）如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求外接圆的直径．

24．（10分）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
25．（12分）如图，的半径为1，，，，是上的四个点，．
（1）判断的形状：　　；
（2）试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积．

26．（14分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．
（1）几秒钟后的面积等于；
（2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
（3）在点、的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案．


2022-2023学年江苏省连云港市东海县马陵山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．是一元二次方程，故本选项符合题意；
．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
2．（3分）将方程配方后，原方程可变形为　　
A． B． C． D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：，
，
则，即，
故选：．
3．（3分）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系为　　
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【解答】解：的半径为，点与圆心的距离为，，
点在圆外．
故选：．
4．（3分）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据圆周角的性质，圆的对称性，以及圆周角定理即可解出．
【解答】解：①、是圆周角定理的推论，故正确；
②、根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；
③、根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；
④、应是不共线的三个点，故错误．
故选：．
5．（3分）如图，点，，都在上，若，则　　

A． B． C． D．
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：，，
．
，
是等腰三角形，
，
，
故选：．
6．（3分）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽，设小路的宽为，则可列方程　　

A． B．
C． D．
【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的，即可得出关于的一元二次方程，
【解答】解：设小路的宽为米，则绿化区域的长为米，宽为米，

故选：．
7．（3分）已知：关于的方程有实根，则的取值范围为　　
A．且 B．且 C． D．
【分析】讨论：当时方程为一元一次方程，有一个实数解；当，利用根的判别式的意义得到△，然后确定满足条件的的值．
【解答】解：当时，方程化为，解得；
当，△，解得且，
综上所述，的取值范围是．
故选：．
8．（3分）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为　　

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，

则、，
，
又，
，
，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分，不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）写出一个以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程　　．
【分析】先计算与7的和与积，然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程．
【解答】解：，，
以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程为．
故答案为．
10．（3分）是关于的一元二次方程，则的值是 　　．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：是关于的一元二次方程，
，，
解得：．
故答案为：．
11．（3分）若方程的两根是，，则的值为　5　．
【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后把展开得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得，，
所以


．
故答案为5．
12．（3分）某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，则平均每月增长的百分率应该是　　．
【分析】如果设平均每月增长的百分率是，那么7月份的利润是元，8月份的利润是元，而此时利润是3600元，根据8月份的利润不变，列出方程．
【解答】解：设平均每月增长的百分率是．
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：平均每月增长的百分率应该是．
13．（3分）如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为 　　．

【分析】根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可．
【解答】解：连接，

，，
，
，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
故答案为：．
14．（3分）矩形中，边，，以为圆心作，使、、三点有两个点在内，有一点在外，则的半径的取值范围是 　　．

【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，再利用点与圆的位置关系进行求解．
【解答】解：连接，

矩形，
，，
在中，
，
当点在上时，半径，
当点在上时，半径，
当点、、三点有两个点在内，有一点在外需满足，
故答案为．
15．（3分）在中，弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角的度数是　或　．
【分析】如图，连接、，先证明为等边三角形得到，利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
【解答】解：如图，连接、，和为弦所对的圆周角，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
弦所对的圆周角的度数为或．
故答案为或．

16．（3分）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为　　．

【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为1的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为1，
取，连接，

，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为；
故答案为．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（16分）解方程：
（1）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）；
（4）（公式法）．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先移项，分解因式，再求出方程的解即可；
（4）先计算根的判别式，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：（1），
，
或，
，；
（2），
，
，
，
，
或，
，；
（3），
，
，
，
，
或，
，；
（4），
，，，
，
，
，．
18．（6分）已知关于的一元二次方程的一个根为2，求的值及另一个根．
【分析】由于一根为2，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．
【解答】解：方程的一个根为2，
，
解得，
设另一根为，
，
，
，另一根为．
19．（8分）如图，、为的两条弦，延长到，使，如果，求的度数．

【分析】在等腰中，根据三角形的外角性质可求出外角的度数；而、是同弧所对的圆周角和圆心角，可根据圆周角和圆心角的关系求出的度数．
【解答】解：中，，则：；
；
．
20．（8分）已知关于的方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
【分析】（1）先计算出△，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）依题意方程一个根为5，代入方程求得，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
【解答】（1）证明：△，
，即△，
无论取任何实数值，方程总有实数根；

（2）解：等腰三角形一腰长为5，
另外一边长度为5，
方程一个根为5，
，
解得，
方程为，
，
解得，，
故的周长．
21．（8分）（1）如图1，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆弧所在圆的圆心的坐标为　　
（2）如图2所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．求破残的圆形轮片圆的半径．

【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；在中，由勾股定理可求得半径的长．
【解答】解：（1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心
如图1所示，圆心的坐标为；
故答案为：；
（2）作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图．


连接，设，，，
则根据勾股定理列方程：
，
解得：．
答：圆的半径为

22．（10分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么的长为多少米？
（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．

【分析】（1）设出的长，表示出的长，利用长方形面积公式列方程解答，再据墙的最大可用长度为11米即可；
（2）利用（1）中的方法列出方程解答，利用根的判别式进行判定即可．
【解答】解：（1）设的长为米，则为米，根据题意列方程得，
，
解得，；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：的长为5米．

（2）不能围成面积为60平方米的花圃．
理由：假设存在符合条件的长方形，设的长为米，
于是有，
整理得，
△，
这个方程无实数根，
不能围成面积为60平方米的花圃．
23．（10分）如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求外接圆的直径．

【分析】（1）先根据：得出为的直径故可得出．再由是中的平分线可知，由定理得出，根据全等三角形的性质可知；
（2）先根据勾股定理求出的长，设，则，，在中，根据勾股定理得出的值，再由是直角三角形即可得出的长．
【解答】（1）证明：，且为的圆周角，
为的直径，
，
．
是中的平分线，
，
，
在与中，
，
，
；

（2）是直角三角形，且，，
，
由（1）得，，
．
设，则，，
在中，根据勾股定理得，，即，解得，
，
，是直角三角形，
，
．
解法二：由，
可得，可得，
．

24．（10分）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）根据总利润单件利润销售数量解答；
（2）根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）（元．
答：降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．

（2）（4分）设每件商品应降价元，
由题意，得．
解得，．
要更有利于减少库存，
．
答：每件商品应降价30元．
25．（12分）如图，的半径为1，，，，是上的四个点，．
（1）判断的形状：　等边三角形　；
（2）试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积．

【分析】（1）利用圆周角定理可得，，而，所以，从而可判断的形状；
（2）在上截取，则是等边三角形，然后证明，证明，即可证得；
（3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点为的中点时，从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）是等边三角形．
证明如下：在中
与是所对的圆周角，与是所对的圆周角，
，，
又，
，
为等边三角形；
（2）在上截取，连接，如图1，
又，
是等边三角形，
，，即．
又，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）当点为的中点时，四边形的面积最大．
理由如下，如图2，过点作，垂足为．
过点作，垂足为．
，，
，
当点为的中点时，，为的直径，
此时四边形的面积最大．
又的半径为1，
其内接正三角形的边长，
．


26．（14分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．
（1）几秒钟后的面积等于；
（2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
（3）在点、的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案．

【分析】（1）设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据以点为圆心，为半径的圆正好经过点，可知，分别表示出和的长度，列出方程解方程解决问题；
（3）假设存在，可分别根据、、三种情况，利用相似三角形的判定与性质求解可得．
【解答】解：（1）设运动秒钟后的面积为，则，，，，
，
，
，

，
即，
解得：，．
答：运动2秒或4秒后的面积为；
（2）假设运动开始后第秒时，，
，，
，
整理，得：，
解得，
，
运动开始后第秒时，以为圆心，为半径的圆正好经过点．
（3）存在，
①若，则，
又，
，
，
，
，即，
解得：；
②若，则，
，
，
，
，
，即，
解得：（舍；
③若，显然不成立；
④当时，与重合，与重合，此时是直角三角形；
故当或6时，是直角三角形．