2022年重庆市中考数学专题试卷（1）

这是一份2022年重庆市中考数学专题试卷（1），共22页。试卷主要包含了例题讲解，课堂练习，课后作业等内容，欢迎下载使用。
2022年重庆市中考数学专题试卷（1）
一、例题讲解：
1．对于一个三位正整数，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数，在所有重新排列的三位数中，当最小时，称此时的为的“最优组合”，并规定，例如：124重新排序后为：142、214、因为，，，所以124为124的“最优组合”，此时．
（1）三位正整数中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：
（2）一个正整数，由个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，，一直到前位数能被整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能被1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数” ，，、为整数），的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中的最大值．
2．一个三位正整数，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数为“公主数”，例如：132，选择百位数字1和十位数字3组成的两位数为13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为12和21，选择十位数字3和个位数字2组成的两位数为32和23．因为，所以132是“公主数”．试判断123是不是“公主数”？请说明理由．
3．若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”．
例如：判断210是“劳动数”的过程如下：，能被7整除，是“劳动数”；
判断322是“劳动数”的过程如下：，能被7整除，是“劳动数”；
（1）直接写出最小的“劳动数”为　 　，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”；
（2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．
4．有一个百位数字为1的三位整数，它能被7整除．将这个三位数的百位数字和个位数字交换所产生的新三位整数仍能够被7整除，求这个三位数．
5．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
问：若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，求满足条件的三位对称数？
6．一个三位自然数．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数可以与相同），记，在所有的可能情况中，当最小时，我们称此时的是的“幸福美满数”，并规定．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为，，，，．所以138是318的“幸福美满数”． ．
（1）若三位自然数的百位上的数字与十位上的数字都为．为自然数），个位上的数字为0，求证：；
（2）设三位自然数，，，为自然数），且，交换其个位与十位上的数字得到新数，若，那么我们称为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中的最大值．
7．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数，将它各个数位上的数字平方后再取其个位，得到三个新的数字；再将这三个新数字重新组合成三位数，当的值最小时，称此时的为自然数的理想数，并规定，例如245，各数字平方后取个位分别为4，6，5，再重新组合为465，456，546，564，654，645，因为最小，所以546是原三位数245的理想数，此时；
若一个三位正整数的十位数字是个位数字的2倍，则称这个数为自信数，例如384，其中，所以384是自信数；对于一个各数位上的数字均不为0三位正整数，把它的个位数字和百位数字交换所得的新三位数记为，把它的个位数字和十位数字交换所得到的新三位数记为，若，，这三个数的和能被29整除，则称这个数为成功数．若一个成功数也是自信数，求所以符合条件的成功数中的最小值．
三、课堂练习：
8．如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环节的阶数．例如：525252，它由“52”依次重复出现组成，所以525252是循环数，它是2阶6位循环数，再如：77，是1阶2位循环数，135135135是3阶9位循环数
（1）请你直接写出2个2阶4位循环数，并证明对于任意一个2阶4位循环数，若交换其循环节的数字所得到的新数和原数的差能够被9整除；
（2）已知一个能被9整除的2阶4位循环数，设循环节为，求，应满足的关系．
9．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：，是正整数，且，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．
例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．
（1）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数，总有；
（2）如果一个两位正整数，，，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求的最大值．
四、课后作业：
10．若整数能被整数整除，则一定存在整数，使得，即．例如若整数能被11整除，则一定存在整数，使得，即．一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，如：42559奇数位的数字之和为．偶数位的数字之和为是11的倍数．所以42559为“光棍数”．
①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；
②若七位整数能被11整除．请求出所有符合要求的七位整数．
11．将一个三位正整数各数位上的数字重新排列后（含本身），得到新三位数，在所有重新排列中，当最小时，我们称是的“调和优选数”，并规定．例如215可以重新排列为125、152、215，因为，，，且，所以125是215的“调和优选数”， ．
（1）　　；
（2）如果在正整数三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：是一个完全平方数；
（3）设三位自然数，，，为自然数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到数．若，那么我们称为“和顺数”．求所有“和顺数”中的最大值．
12．一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等．若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“团结数”，如：123的“团结数”为．
（1）求证：与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）若一个三位正整数，其百位数字为2，十位数字为、个位数字为，且各位数字互不相等，若的“团结数”与之差为24，求的值．
13．如果把一个奇数位的自然数各数为上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于，且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数” 从左数到右，奇数位上的数字之和为，偶数位上的数字之和为，记，．
（1）已知一个三位“阶梯数” ，其中，且为一个完全平方数，求这个三位数；
（2）已知一个五位“阶梯数” 能被4整除，且除以4余2，求该五位“阶梯数” 的最大值与最小值．
14．对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为，例如：
（1）　　，并求证：当能被3整除时，一定能被6整除；
（2）若一个两位数，一个三位数（其其中，，且、均为整数）．交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的3倍的和被7除余1时，称这样的两个数和为“幸运数对”，求所有“幸运数对”中的最大值．

2022年重庆市中考数学专题试卷（1）
参考答案与试题解析
一、例题讲解：
1．对于一个三位正整数，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数，在所有重新排列的三位数中，当最小时，称此时的为的“最优组合”，并规定，例如：124重新排序后为：142、214、因为，，，所以124为124的“最优组合”，此时．
（1）三位正整数中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：
（2）一个正整数，由个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，，一直到前位数能被整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能被1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数” ，，、为整数），的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中的最大值．
【分析】（1）由三位正整数中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，根据“最优组合”的定义即可求解；
（2）由三位“善雅数”的定义，可得为偶数，且是3的倍数，且，又由的各位数字之和为一个完全平方数，可得，继而求得答案．
【解答】（1）证明：三位正整数中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，
重新排序后：其中两个数位上数字的和是一个数位上的数字的2倍，
，即，
；
（2）是“善雅数”，
为偶数，且是3的倍数，
，，
，
的各位数字之和为一个完全平方数，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所有符合条件的“善雅数”有：207，；225，；243，；261，；
所有符合条件的“善雅数”中的最大值是1．
【点评】此题考查了完全平方数的应用问题．注意掌握数的整除问题，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
2．一个三位正整数，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数为“公主数”，例如：132，选择百位数字1和十位数字3组成的两位数为13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为12和21，选择十位数字3和个位数字2组成的两位数为32和23．因为，所以132是“公主数”．试判断123是不是“公主数”？请说明理由．
【分析】根据“公主数”的定义即可求解．
【解答】解：123不是“公主数”．理由如下：
，
不是“公主数”．
【点评】本题考查了有理数的加法的实际运用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，解题的关键是理解“公主数”的定义．
3．若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”．
例如：判断210是“劳动数”的过程如下：，能被7整除，是“劳动数”；
判断322是“劳动数”的过程如下：，能被7整除，是“劳动数”；
（1）直接写出最小的“劳动数”为　105　，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”；
（2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．
【分析】（1）根据“劳动数”的定义及三位数的特点即可得出结论；
（2）先设出三位数，然后判断出此三位数除以7的商是整数即可．
【解答】解：（1） “劳动数”是三位数，而三位数要最小，百位最小是1，十位最小是0，
设这个最小的“劳动数”为，
由“劳动数”的定义得，，
能被7整除，且要最小，
，
，
最小的“劳动数”为 105，
故答案为：105；
，而28能被7整除，
是“劳动数”；

（2）设一个“劳动数”为，
能被7整除，
是7的倍数，
，
，，是整数，
“劳动数”为能被7整除．
【点评】此题主要考查了三位数的表示，整除问题，新定义，解本题的关键是理解和应用新定义“劳动数”．
4．有一个百位数字为1的三位整数，它能被7整除．将这个三位数的百位数字和个位数字交换所产生的新三位整数仍能够被7整除，求这个三位数．
【分析】先根据题意列出代数式，再根据整除的定义验证求解．
【解答】解：设原三位数的十位数字为，个位数字为，
则是7的倍数，是7的倍数，
，，且都是整数，
，，
所以这个三位数是168．
【点评】本题考查了整式的加减，代入验证求解是解题的关键．
5．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
问：若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，求满足条件的三位对称数？
【分析】设这个三位对称数为，依题意求得这个三位对称数减去其各位数字之和，再利用数位上的数字的特征求得值，则结论可得．
【解答】解：设这个三位对称数为，
则这个三位对称数减去其各位数字之和为：


．
这个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，
是正整数，而的整数，
是整数，
的整数，
．
满足条件的三位对称数为：101，202，303，404，505，606，707，808，909．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，正确利用三位数字的表示方法表示出三位对称数是解题的关键．
6．一个三位自然数．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数可以与相同），记，在所有的可能情况中，当最小时，我们称此时的是的“幸福美满数”，并规定．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为，，，，．所以138是318的“幸福美满数”． ．
（1）若三位自然数的百位上的数字与十位上的数字都为．为自然数），个位上的数字为0，求证：；
（2）设三位自然数，，，为自然数），且，交换其个位与十位上的数字得到新数，若，那么我们称为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中的最大值．
【分析】（1）根据案例找出变化后得到的新数，验证后即可得出是的“幸福美满数”．进而即可得出．
（2）根据题意找出、，结合即可得出，根据“，，”即可得出、的可能值，进而可找出的“幸福美满数”和的值，取其最大值即可．
【解答】（1）证明：按上述方法可得新数，
，，，
是的“幸福美满数”．
．

（2）解：根据题意得：，，
，
，即．
，，，
，；，．
或．
是128的“幸福美满数”，136和316是136的“幸福美满数”，
或或．
所有“梦想成真数”中的最大值为．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及解二元一次方程，解题的关键是：（1）结合案例找出的“幸福美满数”；（2）结合案列找出的“幸福美满数”．
7．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数，将它各个数位上的数字平方后再取其个位，得到三个新的数字；再将这三个新数字重新组合成三位数，当的值最小时，称此时的为自然数的理想数，并规定，例如245，各数字平方后取个位分别为4，6，5，再重新组合为465，456，546，564，654，645，因为最小，所以546是原三位数245的理想数，此时；
若一个三位正整数的十位数字是个位数字的2倍，则称这个数为自信数，例如384，其中，所以384是自信数；对于一个各数位上的数字均不为0三位正整数，把它的个位数字和百位数字交换所得的新三位数记为，把它的个位数字和十位数字交换所得到的新三位数记为，若，，这三个数的和能被29整除，则称这个数为成功数．若一个成功数也是自信数，求所以符合条件的成功数中的最小值．
【分析】设的百位数字是，十位数字是，个为数字是，由题意可得能被29整除，求出或842，再分别求出，即可求的最小值为11．
【解答】解：设的百位数字是，十位数字是，个为数字是，
，，，
，
，，这三个数的和能被29整除，
能被29整除，
，或，，
或842，
当时，各数字平方后取个位分别为6，4，1，
再重新组合为641，614，461，416，164，146，
，
，
是原三位数421的理想数，
此时；
当时，各数字平方后取个位分别为4，6，4，
再重新组合为464，446，644，
，
；
是原三位数842的理想数，
此时；
的最小值为11．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，整式的加减法运算，弄清定义是解题的关键．
三、课堂练习：
8．如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环节的阶数．例如：525252，它由“52”依次重复出现组成，所以525252是循环数，它是2阶6位循环数，再如：77，是1阶2位循环数，135135135是3阶9位循环数
（1）请你直接写出2个2阶4位循环数，并证明对于任意一个2阶4位循环数，若交换其循环节的数字所得到的新数和原数的差能够被9整除；
（2）已知一个能被9整除的2阶4位循环数，设循环节为，求，应满足的关系．
【分析】（1）根据循环节”的数字个数叫做循环节的阶数，可得答案；
（2）根据一个能被9整除的2阶4位循环数，可得，根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：（1）1717是2阶4位循环数，7171是2阶4位循环数；
证明：设原数为，新数为
即原数，新数是，



，
，为整数，
也为整数，
新数和原数的差能够被9整除；
（2）该2阶4位循环数为，
即
，
要使得能被9整除，则需能被9整除，
，，
，
，应满足的关系是或．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解循环阶的阶数是解题关键．
9．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：，是正整数，且，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．
例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．
（1）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数，总有；
（2）如果一个两位正整数，，，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求的最大值．
【分析】（1）对任意一个完全平方数，设为正整数），找出的最佳分解，确定出的值即可；
（2）设交换的个位上数与十位上的数得到的新数为，则，根据“吉祥数”的定义确定出与的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出的最大值即可．
【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数，设为正整数），
，
是的最佳分解，
对任意一个完全平方数，总有；
（2）设交换的个位上数与十位上的数得到的新数为，则，
是“吉祥数”，
，
，
，，为自然数，
满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3），，，，，
，
所有“吉祥数”中，的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
四、课后作业：
10．若整数能被整数整除，则一定存在整数，使得，即．例如若整数能被11整除，则一定存在整数，使得，即．一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，如：42559奇数位的数字之和为．偶数位的数字之和为是11的倍数．所以42559为“光棍数”．
①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；
②若七位整数能被11整除．请求出所有符合要求的七位整数．
【分析】①先设出四位数，将四位数写成11的倍数，即可；
②根据题意先得出，的关系得出的可能值，分情况写出七位数即可．
【解答】解：①设为任意四位数，满足为整数），
，
为整数，
能被11整除，
②由题意，为整数，
，
，且为整数，
，
，1，
当时，，
满足的数有：1753620，1754621，1755622，1756623，1757624，1758625，1759626，
当时，，
满足的数有：1750628，1751629．
【点评】此题是数的整数，主要考查了新定义，数的整除，解本题的关键是理解新定义，掌握数的整除是解本题的难点．
11．将一个三位正整数各数位上的数字重新排列后（含本身），得到新三位数，在所有重新排列中，当最小时，我们称是的“调和优选数”，并规定．例如215可以重新排列为125、152、215，因为，，，且，所以125是215的“调和优选数”， ．
（1）　　；
（2）如果在正整数三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：是一个完全平方数；
（3）设三位自然数，，，为自然数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到数．若，那么我们称为“和顺数”．求所有“和顺数”中的最大值．
【分析】（1）根据定义求出236是236的“调和优选数”，再计算即可；
（2）设，令，由可知的“调和优选数”的十位数字是，再由，即可证明；
（3）根据题意可得，再由、的取值范围求出，或，，则或861，分别求出，，即可求解．
【解答】（1）解：236重新排列为236，326，263，
，，，
是236的“调和优选数”，
，
故答案为：；
（2）证明：设，令，
，
，
是一个完全平方数；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，，为自然数，
，或，，
或861，
当时，“调和优选数”是269，
；
当时，“调和优选数”是168，
；
的最大值为28．
【点评】本题考查完全平方数，弄清定义，熟练掌握完全平方公式，并将所求的问题与整式的运算相结合是解题的关键．
12．一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等．若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“团结数”，如：123的“团结数”为．
（1）求证：与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）若一个三位正整数，其百位数字为2，十位数字为、个位数字为，且各位数字互不相等，若的“团结数”与之差为24，求的值．
【分析】（1）根据题意可以表示出的友谊数，然后作差再除以15即可解答本题；
（2）根据题意可以表示出和的团结数，然后作差即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
设为，则它的友谊数为：，



，
，
与其“友谊数”的差能被15整除；
（2）由题意可得，
，
的团结数是：，
，
解得，或，
即是284或218．
【点评】本题考查因式分解的应用、解二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．如果把一个奇数位的自然数各数为上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于，且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数” 从左数到右，奇数位上的数字之和为，偶数位上的数字之和为，记，．
（1）已知一个三位“阶梯数” ，其中，且为一个完全平方数，求这个三位数；
（2）已知一个五位“阶梯数” 能被4整除，且除以4余2，求该五位“阶梯数” 的最大值与最小值．
【分析】（1）设“阶梯数” 的百位为，相邻两数的差为，则，可得，，根据，得到关于的方程，可求，再根据为一个完全平方数，其中，可求，16，25，可求，从而得到这个三位数；
（2）设某五位阶梯数为，根据，
可得是4的倍数，根据，，可得，则，可得是4的倍数，根据完全平方数的定义得到，6，再分两种情况求得的值，进一步得到该五位“阶梯数” 的最大值和最小值．
【解答】解：（1）设“阶梯数” 的百位为，相邻两数的差为，则，
，，
，
，
为一个完全平方数，其中，
，
，16，25，
，
；
（2）设某五位阶梯数为，
，
是4的倍数，
，，
，
，
是4的倍数，
，
，
，4，
，6
当时，为整数且，
，
，3，
所以，23432，25852；
当时，为整数且，
，
，，
所以，65456，67876．
所以该五位“阶梯数” 的最大值是67876，最小值是21012．
【点评】考查了完全平方数，解题的关键是弄清楚“阶梯数”的定义，从而写出符合题意的数．
14．对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为，例如：
（1）　222　，并求证：当能被3整除时，一定能被6整除；
（2）若一个两位数，一个三位数（其其中，，且、均为整数）．交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的3倍的和被7除余1时，称这样的两个数和为“幸运数对”，求所有“幸运数对”中的最大值．
【分析】（1）利用新定义进行判断和证明；
（2）先确定的个位数字和百位数字，再表示与的个位数字的3倍的和，最后利用验证法求出．
【解答】解：（1），
故答案为：222；
设的十位数字为，个位数字为，的百位数字为，十位数字为，个位数字为，且为正整数），
则：

，
所以一定能被6整除；
（2），，
当时，
，
由题意得：是7的倍数，
当，时，，，，
当，时，，，，
当，时，，，，
当时，
，
由题意得：是7的倍数，
，不存在，
所以所有“幸运数对”中的最大值为235．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．