(新高考)高考数学一轮基础复习讲义4.6正弦、余弦定理(2份打包，教师版+原卷版)

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第1课时

进门测



1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　√　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)
(5)在△ABC中，＝.(　√　)
(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)
2、在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.
3、在△ABC中，若sin B·sin C＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案　D
解析　sin B·sin C＝，
∴2sin B·sin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)，
∴cos(B－C)＝1，
∵B、C为三角形的内角，∴B＝C，
又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，
综上，△ABC为等腰直角三角形．

4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－a)sin A＝(b－c)·(sin B＋sin C)，则C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由已知，得(b－a)·a＝(b－c)(b＋c)，
∴ba－a2＝b2－c2，
∴cos A＝＝，
又0 5、在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．
答案　4
解析　∵cos C＝，0 ∴sin C＝，
∴S△ABC＝absin C
＝×3×2×＝4.

作业检查


无


第2课时


阶段训练


题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
(1)证明　根据正弦定理，可设
＝＝＝k(k>0)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．所以sin Asin B＝sin C.
(2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B.
故tan B＝＝4.
【同步练习】
(1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于(　　)
A．2 B．2
C. D.
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos Asin C，则b等于(　　)
A．6 B．4
C．2 D．1
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)(边化角)
由asin Asin B＋bcos2A＝a及正弦定理，得
sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B＝sin A，所以＝＝.故选D.
(2)(角化边)
由题意，得sin Acos C－cos Asin C＝2cos Asin C，
即sin Acos C＝3cos Asin C，
由正弦、余弦定理，得
a·＝3c·，
整理得2(a2－c2)＝b2，①
又a2－c2＝b，②
联立①②得b＝2，故选C.
题型二　和三角形面积有关的问题
例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
(1)证明　由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解　由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
思维升华　(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【同步练习】
1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.
C. D．3
答案　C
解析　∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，
∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.




第3课时

阶段重难点梳理



1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，
c＝2Rsin_C；
(2)sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
【知识拓展】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.

重点题型训练



题型三　正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1　判断三角形的形状
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)由 所以sin C 即sin(A＋B) 所以sin Acos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
引申探究
1．例3(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．
解　2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Bsin A，
∴sin(A－B)＝0，
又A，B为△ABC的内角，
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0 又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形．






命题点2　求解几何计算问题
例4　如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理可得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.

命题点3　解三角形的实际应用
例5　(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m

(2)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是______ m.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)如图，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m)．

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)
＝120(－1)(m)．
(2)如图，在Rt△CDB中，

CD＝200 m，
∠BCD＝90°－60°＝30°，
∴BC＝＝(m)．
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，
∠ACB＝60°－30°＝30°，
∴∠BAC＝120°.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AB＝＝(m)．
【同步练习】(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
(2)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
答案　(1)D　(2)(－，＋)
解析　(1)∵c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，
∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC为等腰或直角三角形．
(2)如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF
在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，
∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－




题型五 二审结论会转换
典例　(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝b，sin B＝sin C.
(1)求cos A的值；
(2)求cos的值．

(1)

(2)―→―→

规范解答
解　(1)在△ABC中，由＝及sin B＝sin C，
可得b＝c， [3分]
又由a－c＝b，有a＝2c， [5分]
所以cos A＝＝＝. [8分]
(2)在△ABC中，由cos A＝，
可得sin A＝. [10分]
于是，cos 2A＝2cos2A－1＝－， [12分]
sin 2A＝2sin A·cos A＝. [13分]
所以，cos＝cos 2Acos ＋sin 2Asin
＝×＋×＝. [15分]
思导总结


一、应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
二、(1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．


作业布置



1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于(　　)
A．135° B．105°
C．45° D．75°
答案　C
解析　由正弦定理知＝，即＝，
所以sin A＝，又由题知，BC 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b等于(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　D
解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　D
解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，
得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin A＝sin2A，在三角形中sin A≠0，
∴sin A＝1，∴A＝90°，
由sin2B＝sin2C，知b＝c，
综上可知，△ABC为等腰直角三角形．
4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案　C
解析　由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据正弦定理＝＝＝2R，
得＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac，
得cos B＝＝，
故B＝，故选C.
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　)
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
答案　B
解析　∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，
A＝π－(＋)＝π，
∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin
＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
答案　
解析　在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．
答案　或
解析　由余弦定理，得＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
9.如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是______ n mile/h.

答案　32
解析　设航速为v n mile/h，
在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得＝，∴v＝32.
*10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．
答案　12
解析　由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0 由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3()2，
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.
11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知cos C＝，a2＝b2＋c2.
(1)求sin(A－B)的值；
(2)若c＝，求a和b.
解　(1)△ABC中，∵a2＝b2＋c2，
∴sin2A＝sin2B＋sin2C，
即sin2A－sin2B＝，
从而－＝，
即cos 2B－cos 2A＝.
∴cos[(A＋B)－(A－B)]－cos[(A＋B)＋(A－B)]＝，
∴2sin(A＋B)sin(A－B)＝，
∵sin(A＋B)＝sin C＝，
∴sin(A－B)＝.
(2)由已知得
将①代入②，得a＝4b－， ③
将③代入①，得3b2＋＝17，b2＝4或b2＝(b＝代入③得a<0舍去)，故a＝3，b＝2.
12．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，满足bcos C＋bsin C－a－c＝0.
(1)求角B的值；
(2)若a＝2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．
解　(1)由已知条件得
sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0，
∴sin Bcos C＋sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0，
即sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0，
由sin C>0，得sin B－cos B＝1，
∴sin(B－)＝，
又B－∈(0，)，∴B－＝，∴B＝.
(2)由已知可得＋＝2，
平方得2＋2＋2·＝42，
即c2＋a2＋2ca·cos＝84，
又a＝2，∴c2＋2c－80＝0，解得c＝8或c＝－10(舍去)，
S△ABC＝acsin B＝×2×8×sin＝4.
*13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
解　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，
∴cos A＝＝，
又0＜A＜π，∴A＝.
由sin Asin B＝cos2 ，得sin B＝，
即sin B＝1＋cos C，
则cos C＜0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝，
则sin(－C)＝1＋cos C，化简得cos(C＋)＝－1，
解得C＝，∴B＝.
(2)由(1)知，a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋()2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，
故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.