(新高考)高考数学一轮基础复习讲义6.3等比数列(2份打包，教师版+原卷版)

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第1课时

进门测



1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　)
2、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2
C．2 D.
答案　D
解析　由题意知q3＝＝，∴q＝.
3、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
答案　C
解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.
4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________．
答案　27,81
解析　设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
5、设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
答案　－11
解析　设等比数列{an}的公比为q，
∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴＝·
＝＝＝－11.

作业检查


无
第2课时


阶段训练



题型一　等比数列基本量的运算
例1　(1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4等于(　　)
A．1 008 B．2 016
C．2 032 D．4 032
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a，
又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，
解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，
则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，
所以a2＝a1q＝.故选C.
(2)由题意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝＝211－2＝2 046，S4＝＝25－2＝30，
所以S10－S4＝2 016.故选B.
思维升华　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
【同步练习】
(1)已知等比数列{an}的首项a1＝1，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝________，数列{an}的前4项和S4＝________.
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
答案　(1)1或－　4或　(2)3n－1
解析　(1)由a2，a4，a3成等差数列得2a1q3＝a1q＋a1q2，
即2q3＝q＋q2，解得q＝1或q＝－.
当q＝1时，S4＝4a1＝4，
当q＝－时，S4＝＝.
(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，
可得a3＝3a2，所以公比q＝3，
故等比数列的通项an＝a1qn－1＝3n－1.
题型二　等比数列的判定与证明
例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故{}是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2.
引申探究
若将例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式．
解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.
∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，
∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，
又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，a2＝3，
当n＝1时上式也成立，
故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
【同步练习】
1、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋