(新高考)高考数学一轮基础复习讲义8.1空间几何体、三视图、直观图(2份打包，教师版+原卷版)

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第1课时


进门测



1、将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)


答案　B
解析　由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项B.

2、某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3，表面积为________cm2.

答案　　
解析　由三视图知该几何体为一个半球被割去后剩下的部分，
其球半径为1，所以该几何体的体积为××π×13＝(cm3)，
表面积为××4π×12＋×π×12＋2××π×12＝(cm2).
3、已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
答案　B
解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2 cm.
4、体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(　　)
A．12π B.π
C．8π D．4π
答案　A
解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
5、某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.

答案　80　40
解析　由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的棱长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如图所示，
其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)，体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．
6、 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为______．
答案　
解析　设点P到平面ABC，平面A1B1C1的距离分别为h1，h2，
则棱柱的高为h＝h1＋h2，又记S＝S△ABC＝，
则三棱柱的体积为V＝Sh＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥
P－ACC1A1的剩余体积为V′＝VP－ABC＋＝Sh1＋Sh2＝S(h1＋h2)＝，
从而＝V－V′＝1－＝.
作业检查


无
第2课时


阶段训练


题型一　简单几何体的三视图
命题点1　已知几何体，识别三视图
例1 如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是(　　)


答案　D
解析　正视图的轮廓线是矩形DCFG，点E在平面DCFG上的投影为DG的中点，且边界BE，BG可视，故正视图为选项B或D中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE，且边界BF不可视，故侧视图为选项D中的侧视图，故选D.
命题点2　已知三视图，判断几何体的形状
例2 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)

A．17π B．18π C．20π D．28π
答案　A
解析　由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的得到的(如图所示)．设该球的半径为R，则×πR3＝π，得R＝2.所以它的表面积为4π×22－×4π×22＋3××π×22＝17π.故选A.

命题点3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图
例3 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(　　)


答案　D
解析　由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.

【同步练习】
1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)

A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，
则该几何体的侧视图为(　　)

答案　(1)B　(2)B
解析　(1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3××2＝54＋18.
(2)由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为平面PAD，且EC投影在平面PAD上，故B正确．





题型二 空间几何的三视图
例4 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)


错解展示
解析　结合正方体中各顶点投影，侧视图应为一个正方形，中间两条对角线．
答案　C
现场纠错
解析　侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.
答案　B
纠错心得　确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的投影位置，要学会区分三视图中的实虚线．
题型三　求空间几何体的表面积
例5　(1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)

A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
(2)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
答案　(1)A　(2)12
解析　(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为
6×(4－)＋2××()2＝21＋.故选A.

(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得×6××2××h＝2，
∴h＝1，∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.
【同步练习】1、如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为____．

答案　26
解析　该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26.
第3课时


阶段重难点梳理


1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l

3.柱、锥、台和球的表面积和体积
　名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
【知识拓展】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
重点题型训练


题型四　求空间几何体的体积
命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积
例6 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π
答案　C
解析　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C.
命题点2　求简单几何体的体积
例7 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积为________m3.

答案　312
解析　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m．因为A1B1＝AB＝6 m，
所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
【同步练习】(1)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)

A. B. C. D.
答案　(1)　(2)A
解析　(1) 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰长为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝×(×2×1)×1＝.

(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，

容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.
题型五　与球有关的切、接问题
例8　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2
C. D．3
答案　C
解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，
OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
引申探究
1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，
从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，V内切球＝πr3＝π×23＝.
2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解　正四面体的表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.
3．已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？
解　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为 ＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
【同步练习】(1)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A. B．16π C．9π D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.
(2) 如图，设球心为O，半径为r，

则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，∴该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝π.
例9 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．

解析　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.

答案　96
思导总结


一、三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
二、空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
三、空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
四、空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
作业布置


1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)

A. B. C. D．1
答案　A
解析　由三视图知，三棱锥如图所示，由侧视图得高h＝1，

又底面面积S＝×1×1＝.所以体积V＝Sh＝.
2． 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于(　　)

A．1 B．2 C．4 D．8
答案　B
解析　如图，该几何体是一个半球

与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.


3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．20π B．24π C．28π D．32π
答案　C
解析　由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.
4．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
答案　C
解析　由几何体的结构可知，只有圆锥、正四棱锥两个几何体的正视图和侧视图相同，且不与俯视图相同．

5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)

A．1 B. C. D．2
答案　C
解析　根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，

且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝.
6. 一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是(　　)

A．①② B．①③ C．③④ D．②④
答案　D
解析　由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中，故选D.
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．

答案　64＋32
解析　由三视图可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥，

因为SB＝4，AC＝4，
则其表面积等于4×8＋×4×(8＋4)＋×4×(8＋4)＋×4×4＋×4×4＝64＋32.
8. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．

答案　1
解析　设正方体的棱长为a，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是a2，故面积的比值为1.
9. 如图所示，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的________．(填出所有可能的序号)

答案　①②③
解析　空间四边形D′OEF在平面DCC′D′上的投影是①，在平面BCC′B′上的投影是②，在平面ABCD上的投影是③，故填①②③.
10．某几何体的三视图如图所示．

(1)判断该几何体是什么几何体？
(2)画出该几何体的直观图．
解　(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体．
(2)直观图如图所示．




11．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．
解　如图，把几何体放到长方体中，

使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A1C＝，则它的正视图投影长为A1B＝，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋()2＝2·()2，即a2＋b2＝8，又≤，当且仅当“a＝b＝2”时等号成立．所以a＋b≤4，即a＋b的最大值为4.
*12.已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示．

(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图；
(2)求出侧视图的面积．
解　(1)如图．

(2)侧视图中VA＝ ＝＝2，则S△VBC＝×2×2＝6.
13、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．12＋4 B．18＋8
C．28 D．20＋8
答案　D
解析　由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为×2×2×2＋4×2×2＋4×2＝20＋8，故选D.
14、一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(　　)

A. B.
C. D．(4＋π)
答案　B
解析　由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为.则V＝··＝.故选B.
15、在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A. B. C. D．2π
答案　C
解析　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.
16、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)

A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
答案　B

解析　由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故选B.
17、某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是(　　)

A.π B．6π C.π D.π
答案　C
解析　该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝×π×4×1＋××π×4×2＝π.故选C.
18、 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)

A. B. C．2 D．1
答案　A
解析　由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为.∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为×1＝.故选A.
19、某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
答案　
解析　由三视图知该四棱柱为直四棱柱，
底面积S＝＝，高h＝1，
所以四棱柱体积V＝S·h＝×1＝.

20．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．
答案　7π
解析　(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π.
21、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

答案　3π
解析　方法一　由三视图可知，

此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V＝×π×12×4＝3π.
方法二　由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V＝×π×12×6＝3π.
　　
22．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．
答案　
解析　设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，则V圆锥＝·πa2·a＝πa3.
又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a，故V球＝·(a)3＝a3，
则其体积比为.





23．已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．

解　(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，
所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．

则PQ＝＝＝a，
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径长为a.