(新高考)高考数学一轮基础复习讲义9.4直线与圆、圆与圆的位置关系(2份打包，教师版+原卷版)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　 　)

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　 　)

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　 　)

(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　 　)

(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　 　)

无

题型一　直线与圆的位置关系的判断

例1　(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)

A．相切  B．相交  C．相离  D．不确定

(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)

A．相离  B．相切  C．相交  D．以上都有可能

　过点A(，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)

A．[－1,1]   B．[0，]

C．[0,1]   D．[－，]

题型二　圆与圆的位置关系

例2　(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切  B．相交  C．外切  D．相离

(2)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．

　已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切；

(2)m取何值时两圆内切；

(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

题型三　直线与圆的综合问题

命题点1　求弦长问题

例3已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.

命题点2　直线与圆相交求参数范围

例4　已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

命题点3　直线与圆相切的问题

例5　已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．

(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；

(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；

(3)过切点A(4，－1)．

　(1)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于(　　)

A．2  B．8  C．4  D．10

(2)若直线xcos θ＋ysin θ－1＝0与圆(x－1)2＋(y－sin θ)2＝相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．

d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．

(2)代数法：

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).

【知识拓展】

1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

一、与圆有关的最值问题

典例1　(1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)

A.  B．－  C．±  D．－

二、直线与圆的综合问题

典例2　(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)

A．2  B．4  C．6  D．2

(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)

A.π   B.π

C．(6－2)π   D.π

1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)

A．相切   B．相交但直线不过圆心

C．相交过圆心   D．相离

2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于(　　)

A．－  B．－  C.  D．2

3．若点A，B为圆(x－2)2＋y2＝25上的两点，点P(3，－1)为弦AB的中点，则弦AB所在的直线方程为________．

4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为_____．

1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)

A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0

C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0

2．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有(　　)

A．1条  B．2条  C．3条  D．4条

3．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为(　　)

A.  B．2  C．4  D．2

4．过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)

A．2x＋y－3＝0   B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0   D．4x＋y－3＝0

5．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)

A．相交  B．相切

C．相离  D．不确定

6．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为(　　)

A．x＝－1或4x＋3y－4＝0

B．x＝－1或4x－3y＋4＝0

C．x＝1或4x－3y＋4＝0

D．x＝1或4x＋3y－4＝0

7．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．

8．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.

9．已知点A(1－m,0)，B(1＋m，0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P使得·＝0，则正实数m的最小值为________．

10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．

11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.

(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；

(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．

12．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．

(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；

(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．

*13已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．