2023天津红桥区高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年天津市红桥区高一（上）期末数学试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题4分，共36分.

1. 已知集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】依次检验集合中的元素是否属于集合，从而求得.

【详解】因为，，

当时，满足，故；

当时，满足，故；

当时，不满足，故；

当时，不满足，故；

所以.

故选：D.

2. 函数的最小正周期是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】用周期公式计算.

【详解】由题意， ；

故选：D.

3. 的否定是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用全称命题的否定可得结论.

【详解】解：命题“”为全称命题，该命题的否定为“”.

故选：B.

4. 下列四个函数中，在区间上是减函数（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别考虑对应函数的单调性即可求解.

【详解】对于A：因为0<0.5<1,所以函数在区间上是减函数，符合题意；

对于B：，函数在单调递减，单调递增，不符合题意；

对于C：函数在区间上是增函数，不符合题意；

对于D：函数在区间上是增函数，不符合题意.

故选：A.

5. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】，因此，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

6. 设，，，则a，b，c大小关系为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性并与特殊值比较即可求解.

【详解】，

，

，

又，

所以.

故选：B.

7. 若，则（    ）．

A. 5 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角三角函数基本关系式即可求解.

【详解】因为，

所以，

再由，

解得，，

知与同号

所以，

故选：C.

8. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（    ）．

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.

【详解】函数的对称轴为，

因为函数在上具有单调性，

所以或，即或.

故选：C

9. 若，那么的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用诱导公式进行变换，即可得答案；

【详解】由题意可得，

故选：D.

【点睛】本题考查诱导公式求值，考查运算求解能力.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.

10. _______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用正弦的诱导公式计算．

【详解】，

故答案为：．

11. 已知函数，则该函数的定义域为 _____.

【答案】

【解析】

【分析】根据对数型函数的定义域运算求解.

【详解】解：由已知令，解得，

则函数的定义域为.

故答案为：.

12. 已知，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】

【分析】利用拼凑法结合均值不等式即可求解.

详解】，

当且仅当即即时等号成立，

所以的最小值为4，

故答案为：4.

13. 若，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】用二倍角公式展开代入计算.

【详解】

故答案为：

14. 已知函数 ,则______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意，根据函数的解析式，先求得，进而求得．

【详解】由题意，函数，所以，

所以，故答案为．

【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确利用分段函数的分段条件，合理代入求值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．

15. 若函数，函数有两个零点，则实数k的取值是__________．

【答案】和

【解析】

【分析】根据图象以及判别式求得正确答案.

【详解】由得，即与的图象有两个公共点，

画出的图象如下图所，

由图可知，

当时，与有两个公共点，

当时，与有一个公共点，

当时，

由消去并化简得，

由，

解得或（结合图象可知不符合，舍去），

综上所述，有两个零点，则实数k的值是和

故答案为：和

三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用二倍角的正弦公式即可得解；

（2）利用两角差的余弦公式计算即可得解.

【小问1详解】

因为，所以，

因为，所以，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，

所以.

17 （1）计算：；

（2）已知，且，求a的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可.

（2）利用对数换底公式求解即可.

【详解】（1）

（2）设，

所以，.

所以，即.

所以.

18. 已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）求在区间上的最大值与最小值．

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为.   

（2）时有最大值， 时有最小值.

【解析】

【分析】（1）利用正弦函数的单调性，利用整体代入的方法求得的单调区间；

（2）根据函数的关系式，利用函数的定义域确定函数的最大和最小值．

【小问1详解】

由，解得，所以的单调递增区间为；

由，解得，所以的单调递减区间为

【小问2详解】

，时，，

当即时有最大值；

当即时有最小值

19. 已知函数．

（1）判断函数在内的单调性，并证明你的结论；

（2）若函数在定义域内是奇函数，求实数m值．

【答案】（1）函数在内的单调递减，证明详见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用函数单调性的定义证得的单调性.

（2）由列方程来求得的值.

【小问1详解】

函数在内的单调递减，证明如下：

任取

，

其中，

所以，

所以函数在内的单调递减.

【小问2详解】

的定义域是，

若函数在定义域内是奇函数，则，

即，

，

所以.