福建省泉州市泉港区2022-2023学年九年级上学期期末教学质量检测数学试题

福建省泉州市泉港区2022-2023学年九年级上学期期末教学质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．要使二次根式有意义，x的值可以是（　　）

A．﹣1 B．0 C．2 D．4

【答案】D

【分析】二次根式的被开方数大于等于零，由此计算解答．

【详解】解：∵，

∴，

观察只有D选项符合，

故选：D．

【点睛】此题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．

2．若，则分式（    ）

A．5 B．3 C．2 D．2a

【答案】C

【分析】将变形为，再将即可求得分式的值．

【详解】解：

将代入，原式

故选：C．

【点睛】本题考查分式的求值，运用了整体代换思想解题．掌握分式的加减法是解题的关键．

3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．

【详解】解：

x2-2x=1，

x2-2x+1=2，

（x-1）2=2．

故选：A．

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

4．抛物线的顶点坐标是(    )

A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）

【答案】A

【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．

【详解】解：抛物线的解析式为：，

其顶点坐标为：．

故选：A．

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．

5．在一个不透明的布袋中装有红色、白色两种小球共40个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（    ）

A．6个 B．10个 C．15个 D．16个

【答案】A

【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．

【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，

∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为（个）．

故选A．

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

6．如图，的半径为5，弦心距，则弦的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】D

【分析】连接，由勾股定理求出，再根据垂径定理求解即可．

【详解】解：连接，

∵为弦心距，

∴，，

在中，由勾股定理，得

，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

7．如图，点、、、在上，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆周角定理求得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．

【详解】解：∵，，

∴，

∵点、、、在上，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，掌握圆周角定理是解题的关键．

8．如图，DE是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案．

【详解】 DE是的中位线，是的中位线，

，，

，，，

，

相似比为，

，

，

，

故选：B．

【点睛】本题考查中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．

9．若，是关于x的方程的两个实数根，则（    ）

A． B．3 C． D．3或

【答案】C

【分析】利用根与系数的关系得出，进而得出，将代入一元二次方程求出方程的根即可．

【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，

∴，解得：，

即：，则，

解得，，

∵

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了三角函数的取值范围及一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：，．

10．已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（    ）

A．1或7 B．或 C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据表格，可知对称轴为，根据抛物线经过点，得到抛物线也经过点，将方程变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出方程的根．

【详解】解：∵抛物线经过点和，

∴抛物线对称轴为，

∵抛物线经过点，

∴抛物线也经过点，

方程变形为，

∴方程的根可以理解为二次函数的函数值为时所对应的的自变量的取值，

所以方程的根为．

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，能根据对称性写出另一个根是解题的关键．

二、填空题

11．计算：______．

【答案】

【分析】运用二次根式的除法解题即可．

【详解】解：

故答案为：

【点睛】本题考查二次根式的除法 ，掌握二次根式除法的运算法则是解题的关键．

12．如果关于x的方程有一个根为1，那么______．

【答案】2

【分析】把方程的根代入方程中，可得关于的方程，解方程即可求得的值．

【详解】解：把代入方程中，得：，

解得：，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．

13．平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为B点，则______．

【答案】

【分析】令，求得点的坐标即可求解．

【详解】解：令，解得：，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了求抛物线与y轴的交点，将代入解析式是解题的关键．

14．2022年11月29日23时08分，“神舟十五”号载人飞船顺利发射，“神舟一号”至“神舟十五”都是一次性发射成功．发射前，为了确保万无一失，工程师对飞船的所有零部件进行了检查，调查方式应为______（请填“普查”或“抽样调查”）．

【答案】普查

【分析】因为“神舟十五”号载人飞船的零部件要求精准性非常高，必须普查．

【详解】解∶“神舟十五”号载人飞船的零部件要求高精准，不能出现误差，必须普查．

故答案为∶普查．

【点睛】本题考查了普查与抽样调查的适用范围；掌握两种调查方式的适用范围是解题的关键．

15．如图，由24个边长为1的正方形组成的网格。，的顶点都是网格内正方形的顶点，若，则它们的相似比______．

【答案】

【分析】根据网格的特点以及勾股定理，得出，继而根据相似三角形的性质，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．

16．如图，外切于圆O，点E、F、N为切点，，与的延长线相交于D点，连结、．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为______．

【答案】①③④

【分析】连接，

①由切线的性质和四边形的内角和即可得，再根据圆周角定理即可得到结论正确；

②根据已知条件知道四边形是正方形，然后证明，然后利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；

③根据已知条件可以证明，根据相似三角形的对应边成比例和已知条件即可证明结论正确；

④根据直角三角形的面积公式直接解答即可．

【详解】解：①连接，则，

得出，

根据圆周角定理得

故①正确；

②由①得四边形是正方形，

则圆的半径，

，

又∵，

∵，

∴

在与中，

,

∴，

∴，

∵，

∴，

故②错误；

③∵Rt外切于，切点分别为，

∴，

根据②得，

∴（等量代换），

∴；

连接．

∵，

∴，

则，又，

所以，

故③正确；

④设的三边分别为则

故；

故④正确；

故答案为：①③④．

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心．此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理和相似三角形的性质和判定，综合性比较强．

三、解答题

17．计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．

【详解】解：原式

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

18．某大学生就业服务平台，在2021年对接就业10万人，计划2023年对接就业人数达16.9万人．试求出该平台对接就业的年平均增长率．

【答案】30%

【分析】设平台对接就业的年平均增长率为x，根据2023年对接就业人数达16.9万人，列一元二次方程即可．

【详解】解：设平台对接就业的年平均增长率为x，依题意得：

解得，（不合题意，舍去）

答：该平台对接就业的年平均增长率为30%

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．

19．已知关于x的一元二次方程．

(1)当时，请求出方程的解；

(2)试说明方程总有两个实数根．

【答案】(1)，

(2)见解析

【分析】（1）当时，原方程为用因式分解法解方程即可；

（2）利用根的判别式进行证明即可．

【详解】（1）当时，原方程化为

∴

∴，

（2）证明：∵中，，，，

∴

∵，即

∴原方程总有两个实数根

【点睛】本题考查了解一元二次方程及一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．

20．某区举办“歌唱祖国”演唱比赛，由七位评委进行现场评分，对参加总决赛冠、亚军的甲、乙两位选手进行加赛，以下是总决赛中评委对甲、乙演唱的评分信息：

(1)求表中m的值；

(2)已知乙选手加赛得分（分）：7，9，8，7，8，9，8．规定：加赛成绩的平均分多者获胜；当平均分相同时，成绩稳定者获胜．试说明哪位选手将获得冠军．

（提示：方差）．

【答案】(1)8

(2)乙选手将获得冠军

【分析】（1）根据平均数的定义即可求解；

（2）计算乙位同学的方差，比较方差的大小即可；

【详解】（1）解：；

（2）方差

∵，

∴

∴乙选手成绩比较稳定

因为甲、乙两位选手平均分相同，所以乙选手将获得冠军

【点睛】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．

21．如图，四边形ABCD中，，，．

(1)尺规作图：在上求作一点E，使得；（保留作图的迹，不写作去）

(2)在（1）的条件下，连接DE．求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）以A为圆满心，为半径画弧，交于点E，连接即可；

（2）先求出，再利用等腰三角形的性质证，平行线的性质得，从而得，，即可由相似三角形的判定定理得出结论．

【详解】（1）解：如图，点E即为所求的点，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）证明：连接

∵

∴，

∴，

∴，

∴，

由作图得，，

∴，

∵，

∴

又∵，

∴，，

∴．

【点睛】本题考查尺规作图，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．

22．如图，某动车隧道的截而由抛物线L（曲线部分）和矩形构成，曲线的最高点E到的距离为8米，矩形的一边为12米，另一边为2米．

(1)请根据题意，建立合适的平面直角坐标系，并说明x轴、y轴及原点的位置；

(2)在（1）的条件下，试求出抛物线L的解析式．

【答案】(1)见解析；

(2)．

【分析】（1）以的中点O为原点，分别为x轴、y轴建立直角坐标系即可；

（2）求得顶点的坐标为，再利用待定系数法即可求解．

【详解】（1）解：建立合适的平面直角坐标系，

以的中点O为原点，分别为x轴、y轴建立直角坐标系；

（2）解：矩形中，米，原点O为的中点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴点，

设抛物线的解析式为：，

∵抛物线过点，

∴，

解得，，

∴抛物线的表达式为．

【点睛】本题考查考查二次函数的应用，根据题意列出抛物线的解析式是解题的关键．

23．北京冬奥会的滑雪大跳台在2022年北京冬奥会后成为世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，成为专业体育比赛和训练场地．如图，大跳台的横截面ABCD为梯形、高为136米、赛道AB边的坡比为．由于下雪造成赛道积雪至跳台底部E处，从E处测得跳台顶部A处的仰角为58°．

(1)请求出的值；

(2)试求出BE的长．（参考数据：，，）

【答案】(1)

(2)3.4米

【分析】（1）根据坡比的概念即可求得的正切值；

（2）过点A作交CE于点F，根据题意得出，，然后分别利用和的正切求出、的值，最后根据线段的和差即可得出答案．

【详解】（1）赛道AB边的坡比为

（2）过点A作交CE于点F

则，

在中，

∴

在中，

∴

∴

答：BE长度约为3.4米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答问题的关键．

24．如图，为的直径，点在上．过点作交的于点，过点作交的延长线于点，连结．

(1)求证：是的切线；

(2)求证：；

(3)若，，试求出的半径．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)5

【分析】（1）根据，得出，即可得证；

（2）连结、、，证明，进而即可得证；

（3）根据，得出，根据，得出，进而证明，得出，根据勾股定理得出，进而即可求解．

【详解】（1）证明：∵，，

∴ ，         

又∵是的半径，

∴是的切线；

（2）证明：连结、、，

∵，       

∴，

∵，        

∴，，

∴，        

∴，

∵AB是的直径，       

∴，

∵四边形ABCD为的内接四边形，

∴ ，       

∵，

∴，       

∴，

∴，

∴，        

∴，

∴；

（3）解：∵，，

∴在中，，        

∴，

∵，       

∴，

∵，           

 ∴，

∴，       

∴，

∵，        

∴，，

∴，，

∴，，

∴，

又∵，       

∴，        

∴，

∴的半径为5．

【点睛】本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

25．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．

(1)当，时，请求出该抛物线的解析式；

(2)将抛物线向上平移2个单位得到新的抛物线L．若抛物线L恰好经过AB的中点．试求出a的值；

(3)当、，点、、在抛物线上时，试比较，，的大小，并说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)，理由见解析

【分析】（1）将点，代入解析式求解即可；

（2）设AB的中点为点C，易得点，抛物线L的解析式为，进而可得，，，可得，进而求得；

（3）由题意知，，由可得与异号且，，将三个点的坐标代入可得，，，在进行作差比较大小即可．

【详解】（1）解：∵，，

∴点，在抛物线上将，代入得：

解得，

∴抛物线为；

（2）设AB的中点为点C，

由点和点得点，

抛物线L由抛物线向上平移2个单位，

∴抛物线L的解析式为：，

由点在抛物线L上得，

，即：

由点和点在抛物线上

①

②

由①+②，得

，

，

∴，

（3）∵点和点在抛物线上

∴，

∵，

∴

∴与异号

∵，

∴

∴，

∵，，在该抛物线上

∴，，

∵，

∴

∵，

∴

∴

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征及平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．