河北省廊坊市三河市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份河北省廊坊市三河市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河北省廊坊市三河市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】中心对称图形是指将图形绕某点旋转后，得到的图形与原图形完全重合，这样的图形即为中心对称图形，由此判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形的定义是解题关键．
2．一元二次方程的根的情况是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据判别式的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∴方程有两个不相等的实数根；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系．熟练掌握，方程有两个不相等的实数根，是解题的关键．
3．抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【答案】A
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
4．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出每名同学赠的标本数，再求x名同学赠的标本总数，而已知全组共互赠了182件，根据等量关系可得到方程．
【详解】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：件，
那么x名同学共赠：件，
所以，，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解决本题的关键．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　

A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选C．
【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
6．如图，在▱APBC中，∠C＝40°，若⊙O与PA、PB相切于点A、B，则∠CAB＝（  ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【分析】根据切线长定理得出四边形APBC是菱形，再根据菱形的性质即可求解.
【详解】解：∵⊙O与PA、PB相切于点A、B，
∴PA＝PB
∵四边形APBC是平行四边形，
∴四边形APBC是菱形，
∴∠P＝∠C＝40°，∠PAC＝140°
∴∠CAB＝∠PAC
＝70°
故选D．

【点睛】此题主要考查圆的切线长定理，解题的关键是熟知菱形的判定与性质.
7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先分别将各点代入反比例函数解析式，然后得出自变量的值，即可判定自变量大小.
【详解】解：将点 A(x1，−6) ， B(x2，−2) ， C(x3，3) 分别代入反比例函数解析式 y=- 中，
解得 x1= ， x2= ， x3=- ，
∴ x3 故选：B
【点睛】此题属于容易题，主要考查利用反比例函数的性质比较自变量的大小.失分的原因有2个：（1）代值时计算错误；（2）利用增减性判断时，对反比例函数的增减性理解错误.
8．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G，

根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
9．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（　 　）
①；②；③；④

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先根据垂径定理得到，CE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
【详解】∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE，②正确，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正确，
∴∠OCE＝90°−40°＝50°，④正确；
又，故①错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④：⑤，其中正确的结论是（    ）

A．①③④ B．①③⑤ C．②③④ D．①③④⑤
【答案】B
【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可；
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②错误，
∵时，，
∴，
∴，故③正确，
∵时，，时，，
∴，，
∴
∴，
∴，故④错误，
∵时，y取得最大值，
∴，
∴，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题
11．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．
【答案】2
【详解】由题意，得
b−1=−2，2a=−4，
解得b=−1，a=−2，
∴ab=(−2) ×(−1)=2，
故答案为2．
12．已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴的一个交点是（-1，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为______
【答案】（3，0）
【分析】利用配方法找出抛物线的对称轴，结合抛物线与x轴的一个交点横坐标可求出另一交点的横坐标，此题得解．
【详解】∵y=ax2-2ax+3=a（x-1）2+3-a2，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1．
又∵抛物线y=ax2-2ax+3与x轴的一个交点是（-1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为2×1-（-1）=3．
故答案为（3，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出另一交点的横坐标是解题的关键．
13．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_______．
【答案】y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y=2x2-1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2-1-2，即y=2（x+1）2-3，
故答案为：y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1．
【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
14．在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有____个．
【答案】
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为个
∵摸到红球的频率稳定在0.25附近
∴口袋中得到红色球的概率为0.25
∴
解得：

经检验，符合题意
即白球的个数为15个
故答案为：15
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率．
15．如图，⊙O与抛物线交于两点，且，则⊙O的半径等于_______．

【答案】
【分析】连接OA，AB与y轴交于点C，根据AB＝2，可得出点A，B的横坐标分别为−1，1．再代入抛物线即可得出点A，B的坐标，再根据勾股定理得出⊙O的半径．
【详解】连接OA，设AB与y轴交于点C，

∵AB＝2，
∴点A，B的横坐标分别为−1，1．
∵⊙O与抛物线交于A，B两点，
∴点A，B的坐标分别为（−1，），（1，），
在Rt△OAC中，由勾股定理得OA＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
故答案为：.
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及二次函数图象上点的特征，求得点A的纵坐标是解题的关键．
16．如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，将图中的菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′1，若∠BAD′＝110°，在旋转的过程中，点C经过的路线长为____．

【答案】π．
【分析】连接AC、AC′，作BM⊥AC于M，由菱形的性质得出∠BAC=∠D′AC′=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BM=AB=1，由勾股定理求出AM=BM=，得出AC=2AM=2，求出∠CAC′=50°，再由弧长公式即可得出结果．
【详解】解：连接AC、AC′，作BM⊥AC于M，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，
∴∠BAC=∠D′AC′=30°，
∴BM=AB=1，
∴AM=BM=，
∴AC=2AM=2，
∵∠BAD′=110°，
∴∠CAC′=110°-30°-30°=50°，
∴点C经过的路线长==π
故答案为：π
【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、弧长公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理和等腰三角形的性质求出AC的长是解决问题的关键．
17．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为______．

【答案】
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，可证四边形DEBF是矩形，可得DF＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函数的性质可求k的值．
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∵∠DEB＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE，DE＝BF，
∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，
∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，
∴DE＝1，
∴DF＝BE＝3，
设点C(5，m)，点D(1，m+3)，
∵反比例函数y＝图象过点C，D，
∴5m＝1×(m+3)，
∴m＝，
∴点C(5，)，
∴k＝5×＝，
故答案为
【点睛】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
18．如图，为的直径，C为圆上（除A、B外）一动点的角平分线交于D，若，，则
（1）的长为___________，
（2）的长为___________．

【答案】         
【分析】（1）连接，由直径所对圆周角是直角得到,由勾股定理得到,再证明为等腰直角三角形,即可得到；
（2）过点B作于点H ，则，在中，可得到，则，即可得到，由勾股定理得到；
∴，可证是等腰直角三角形，得到，即可得到的长．
【详解】解: （1）连接，

∵为直径,
∴,
在中, ∵，，
∴,
∵平分，
∴,
∴,,
∴为等腰直角三角形,
∴ .
故答案为：.
（2）过点B作于点H ，则，

在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．

三、解答题
19．解下列一元二次方程
(1)；
(2)；
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）先整理，移项，再根据因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：

∴或
解得：，；
（2）解：



∴或，
解得，．
【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握因式分解法解方程是解题关键．
20．如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．

(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；
②当时，直接写出函数的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②3

【分析】(1)设函数的解析式为，将代入解析式，即可求解；
(2)①首先可求得与x轴的另一个交点的坐标为，再根据函数图象，即可解答；②令，则，再根据在此范围内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】（1）解：设函数的解析式为，
将代入解析式，解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：①二次函数的图象经过点、顶点坐标为，
对称轴为直线，与x轴的另一个交点的坐标为，
当函数值时，；
②在中，令，则，
当时，由图象可知：y随x的增大而减小，
故当时，函数的最大值为3．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
21．有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？

【答案】（1）见解析；（2）公平，理由见解析
【分析】（1）分别使用树状图法或列表法将所有可能出现的结果表示出来，转盘共有3种不同的抽取情况，摸球同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种；
（2）通过（1）所列出的表格或是树状图表示的结果，统计 “和为3的倍数”、“和为7的倍数”出现的次数，并算出概率，通过概率的比较得出结论．
【详解】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

用树状图表示所有可能出现的结果如下：

（2）由（1）的表格可知，共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，
∴P（小杰胜）＝，P（小玉胜）＝，
∴游戏是公平的．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将转盘、摸球所可能发生的情况一一列出，避免遗漏，并通过对可能发生的结果进行统计，计算出游戏各赢法所对应的概率．
22．如图，已知反比例函数（k为常数，）的图像经过第二象限内的点A，过A点作轴，垂足为B，的面积为1，的半径为1．

(1)___________，当与x轴相切时，A点坐标为___________
(2)点C为y轴上一动点，当为等腰直角三角形且面积为3时，求出点C坐标．
【答案】(1)，；
(2)或．

【分析】（1）依据反比例函数的比例系数的几何意义和图像所在第二象限可求得，由与x轴相切得，代入即可求出A点坐标；
（2）当为等腰直角三角形时，设，则点A坐标为
代入，得即，由面积为3解得，
从而得到点C坐标．
【详解】（1）解：依题意得，
，
，
，
因为图像经过第二象限，
，
，
，
当与x轴相切时，
，
当时，解得，
A点坐标为，
故答案为：，；
（2）当为等腰直角三角形时，，
设，则点A坐标为，
代入，得，
∴，
∵面积为3，
∴，
∴，
∴点C坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质、比例系数的几何意义；解题的关键是掌握反比例函数比例系数的几何意义．
23．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD=DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD=1，求AD，CD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AD=2，DC=．
【详解】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，
∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，
∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC＝120°，
∵∠ADC＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°；
（3）∵△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°，
又∵∠DCE＝90°，
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2，
在Rt△DCE中，.
24．如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径和AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)5，

【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）证明：如下图，连接OA，
∵，
∴．
∵DA平分，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵OA是半径，
∴是切线；

（2）解：如上图，取CD中点F，连接OF，
∴于点F，
∴四边形AEFO是矩形．
∵，
∴．
在Rt△OFD中，，
∴，
在Rt△AED中，
，，
∴，
∴的长是．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
25．某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元．
【答案】（1）20%;（2）60元
【分析】（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240（不合题意，舍去）．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3－，2﹣4）．
【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）将A，B，C代入函数解析式，
得，解得，
这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；
（2）①设BC的解析式为y=kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，解得，
BC的解析式为y=x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，
当n=时，PM最大=；
②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，
n2﹣2n﹣3=－3，
P（2，－3）；
当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3－，
n2﹣2n﹣3=2－4，
P（3－，2－4）；
综上所述：P（2，﹣3）或（3－，2﹣4）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法．