空间向量与立体几何补充专题2：求长度、距离、比值问题 高三数学二轮专题复习

这是一份空间向量与立体几何补充专题2：求长度、距离、比值问题 高三数学二轮专题复习，共22页。试卷主要包含了【答案】解，【答案】Ⅰ证明等内容，欢迎下载使用。
空间向量与立体几何补充专题2：求长度、距离、比值问题  已知正方体，点为中点，直线交平面于点．     证明：点为的中点； 若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．         2.  如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，是的中点，，．求证：是线段上的点，若平面与平面的夹角为，求的长．                 3.  如图，在直三棱柱中，，，分别为线段，的中点．证明：平面；若二面角的大小为，求的长．                    如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求二面角的余弦值； Ⅲ在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．                  5.  如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点．若直线平面，求证：为的中点；若平面与平面夹角的余弦值为，求的值．                   6. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．当是线段的中点时，求证：平面；求证：；是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．                   7.  如图，在三棱柱，是正方形的中心，，平面，且．求异面直线与所成角的余弦值求二面角的正弦值设为棱的中点，点在平面 内，且平面，求线段的长．                  8.  如图，四边形是边长为的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面．求与平面所成角的余弦值；求点到平面的距离．                    9.  如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点．证明：若，直线平面；求二面角的正弦值；是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由．
答案和解析 1.【答案】解：证明：因为为正方体，所以，，又因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，且平面，所以，故，所以四边形为矩形，又点为中点，故，故点为的中点；因为为正方体，故，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，设，则，，，，，，，，，设平面的法向量为， ， ，则，即，故，令，，可取，设平面的法向量为， ， ，则，即令，则，，可取， ，，设二面角为，且为锐角，故，解得，故．   2.【答案】解：证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以．在中，由正弦定理得，所以，即．因为，，，平面，所以平面．又因为平面，所以．解：由得，，，，两两垂直以为原点，，，，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，于是，，．设，，则设平面的法向量为，则所以令，得，平面的一个法向量为，所以，，由平面与平面的夹角为，得，，所以，解得，因此，．   3.【答案】解：证明：取中点，连接，三棱柱为直三棱柱，平面，平面，．，为中点，，，，平面平面C.为中点，为中点，且为中点，．又，且，四边形为平行四边形，G.综合可知，平面C.，，为直角，，则．以直线为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系．设的长为．则，，，，，设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，则即得，取，即取，得，，．二面角的大小为，则，的夹角为或．，．解得，，．故的长为   4.【答案】Ⅰ证明：由题意可知四边形是平行四边形，又因为，为的中点，所以，．又因为，．所以四边形是平行四边形．所以．故CD．因为平面平面，平面平面，平面所以平面．因为平面，所以．因为，、平面，所以平面．Ⅱ解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，．，平面平面，平面平面，，平面的一个法向量为．设平面的法向量为，因为，，，令得，．所以，，因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．Ⅲ设在线段上存在点，使得平面，设，，，因为．所以．因为平面，所以，所以，解得，又因为平面，所以在线段上存在点，使得平面，．   5.【答案】解：连接交于点，再连接，由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系设，则，设，，，设平面的法向量为，则，即取，则．设平面的法向量，则，即可取平面的法向量，设平面与平面夹角为，整理得，．   6.【答案】证明：连接交于点，连接，因为四边形是菱形，所以点为的中点．又因为为的中点，所以．又因为平面，平面．所以平面．因为为正三角形，为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．解：Ⅲ因为是菱形，，是的中点，所以．又因为平面，，即，，两两垂直，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．假设棱上存在点，设点坐标为，，则，所以，所以，，设平面的法向量为，则，解得．令，则，得．因为平面，所以平面的一个法向量，所以．因为二面角的大小为，所以，即，解得，或舍去所以在棱上存在点，当时，二面角的大小为．   7.【答案】解：如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系．依题意得，，易得，于是，所以异面直线与所成角的余弦值为．易知．设平面的法向量，则即不妨令，可得，同样地，设平面的法向量，则即不妨令，可得．，则，二面角的正弦值为．由为棱的中点，得．设，则，由平面，得，，解得，故．因此，所以线段的长为．    8.【答案】解：四边形为矩形，平面平面，平面平面，平面平面连接交于点，则在平面内，过点作的平行线，交于点，则平面，又，均在平面内，则，，以为原点，以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：则，所以 ，平面的一个法向量是，设与平面所成的角为，所以，所以．因为，所以，设平面的一个法向量为，则，即令，则，所以，因为，所以，因为平面的一个法向量为，所以点到平面的距离．   9.【答案】证明：如图所示，在线段上取一点，使，连接，，，，又，，且，四边形为平行四边形，，又，，所以平面平面，平面，平面；解：如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，又是中点，则，所以，，，设平面的法向量，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，则二面角的正弦值为；存在，或，假设存在点，设，即，，由得，，，且平面的法向量，则，，则，，，解得或，故存在点，此时或．