新高考数学一轮复习讲义2.1《函数及其表示》(2份打包，解析版+原卷版)

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1．函数的基本概念
(1)函数的定义
设集合A是一个 ，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作 .
(2)函数的定义域、值域
函数y＝f(x)，x∈A中， 的范围(数集A)叫做这个函数的定义域， 构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．
(3)确定一个函数的两个要素： 和 ．
2．设A，B是两个 ，如果按照某种对应法则f，对A中的 一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的 (函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的 ，通常记作f(A)．
3．函数解析式的求法
求函数解析式常用方法： 、 、配凑法、消去法．
4．函数的表示法
(1)函数的常用表示方法： 、 、 ．
(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的 ，这样的函数通常叫做分段函数．
概念方法微思考
请你概括一下求函数定义域的类型．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝eq \f(\r(4－x),x－1)的定义域是________．
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
题组三 易错自纠
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x).
5．已知f(eq \r(x))＝x－1，则f(x)＝____________.
6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x<1，,4－\r(x－1)，x≥1，))则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为___________．
题型一 函数的定义域
命题点1 求函数的定义域
例1 (1)(2018·江苏)函数f(x)＝eq \r(lg2x－1)的定义域为________．
(2)函数f(x)＝eq \f(1,x)lneq \r(x2－3x＋2)＋eq \r(－x2－3x＋4)的定义域为________________．
(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数g(x)＝eq \f(fx＋1,x－1)的定义域是( )
A．[－1,2 019] B．[－1,1)∪(1,2 019]
C．[0,2 020] D．[－1,1)∪(1,2 020]
引申探究
本例(3)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f(x－1)的定义域为
[0,2 020]”，则函数g(x)＝eq \f(fx＋1,x－1)的定义域为________．
命题点2 已知定义域求参数的值或范围
例2 (1)若函数f(x)＝eq \r(ax2＋abx＋b)的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
(2)设f(x)的定义域为[0,1]，要使函数f(x－a)＋f(x＋a)有定义，则a的取值范围为____________．
跟踪训练1 (1)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域是( )
A．[0,1) B．[0,1]
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
(2)函数y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))＋eq \r(1－x2)的定义域为________．
(3)记函数f(x)＝eq \r(2－\f(x＋3,x＋1))的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围为________________．
题型二 求函数的解析式
1．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于( )
A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1) C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)－1
2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.
3．定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝________________.
题型三 常见函数的值域
求下列函数的值域：
(1)y＝3x2－x＋2，x∈[1,3]；
(2)y＝eq \f(3x＋1,x－2)；
(3)y＝x＋4eq \r(1－x)；
(4)y＝eq \f(2x2－x＋1,2x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2))).
题型四 分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
例3 (1)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg3x，x>0，,ax＋b，x≤0，))且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))等于( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，x≥3，,fx＋1，x<3，))则f(2＋lg32)的值为________．
命题点2 分段函数与方程、不等式问题
例4 (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,|lg2x|，x>0，))则使f(x)＝eq \f(1,2)的x的集合为__________．
(2)已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 若f(a)>eq \f(1,2)，则实数a的取值范围是__________．
跟踪训练2 (1)已知实数a≠0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2
C．f(x)＝eq \f(sin 2x,2cs x)，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
3．函数f(x)＝eq \f(1,\r(x－2))＋ln(3x－x2)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(2,3) D．(2,3)∪(3，＋∞)
4．(2018·营口联考)若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )
A．[－1,1] B．[1,2] C．[10,100] D．[0，lg 2]
5．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1))＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－eq \f(7,4) B.eq \f(7,4) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
6.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(07．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝eq \f(1－x2,1＋x2)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝eq \f(x,1＋x2)(x≠－1) B．f(x)＝－eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1)
C．f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1) D．f(x)＝－eq \f(x,1＋x2)(x≠－1)
8．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x2＋t，x<0，,3t－1x，x≥0，))且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝6，则f(f(－2))的值为( )
A．27 B．243 C.eq \f(1,27) D.eq \f(1,243)
9．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
10．函数y＝eq \f(x2,x2－x＋1)的值域是________．
11．(2018·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋lg2x，x>0，,x2－x－1，x≤0，))则不等式f(x)≤5的解集为________．
12．定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，x<0，,x2－2x，x≥0，))若f(f(－2))>f(t)，则实数t的取值范围是____________．
14．已知具有性质：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－eq \f(1,x)；②f(x)＝x＋eq \f(1,x)；
③f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01.))
其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号)
15．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))＝4成立，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)))＝________.
16.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m2，设用x表示y的表达式为f(x)，则f(x)＝______________.
最新考纲
考情考向分析
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.