新高考数学一轮复习讲义3.1《导数的概念及运算》(2份打包，解析版+原卷版)

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1．平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \f(Δy,Δx)，称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的 ．相应地，切线方程为 ．
3．函数f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x) ．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为 或y′(或y′x)．
4．基本初等函数的导数公式表
5.导数的四则运算法则
设f(x)，g(x)是可导的，则
(1)(f(x)±g(x))′＝ ；
(2)[f(x)g(x)]′＝ ；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(gxf′x－fxg′x,g2x)(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积．
概念方法微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？
2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(3)(2x)′＝x·2x－1.( )
(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( )
题组二 教材改编
2．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.
3．曲线y＝1－eq \f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为____________．
题组三 易错自纠
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cs 2x，则f′(0)＝________.
6．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
题型一 导数的计算
1．已知f(x)＝sin eq \f(x,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2cs2\f(x,4)))，则f′(x)＝________.
2．已知f(x)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)，则f′(x)＝________.
3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝______.
4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例1 (1)已知函数f(x＋1)＝eq \f(2x＋1,x＋1)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
命题点2 求参数的值
例2 (1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________.
(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m0，a≠1)
y′＝axln a
y＝lgax(a>0，a≠1，x>0)
y′＝eq \f(1,xln a)
y＝sin x
y′＝cs x
y＝cs x
y′＝－sin x