新高考数学一轮复习讲义4.5《简单的三角恒等变换第1课时 简单的三角恒等变换 》(2份打包，解析版+原卷版)

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§4.5　简单的三角恒等变换
最新考纲
考情考向分析
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.



1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.


3．半角公式
cos ＝±，
sin ＝±，
tan ＝±，

概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？
提示　先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)
(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
题组二　教材改编
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案　
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
题组三　易错自纠
5．化简：＝ .
答案　
解析　原式＝
＝＝＝.
6．(2018·抚顺模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .
答案　－
解析　方法一　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，
可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二　∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，
∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
7．化简：＝ .
答案　4sin α
解析　＝＝＝4sin α.

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一　和差公式的直接应用
1．(2018·呼和浩特质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　)
A. B. C. D．1
答案　D
解析　∵tan＝，tan＝，
∴tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝1.
3．(2018·辽阳调研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
4．计算的值为 ．
答案　
解析　＝
＝＝＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．








题型二　和差公式的灵活应用

命题点1　角的变换
例1 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
答案　
解析　依题意得sin α＝＝，
因为sin(α＋β)＝α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　B
解析　因为α为锐角，且cos＝，
所以sin＝＝，
所以sin＝sin 2
＝2sincos＝2××＝，故选B.
命题点2　三角函数式的变换
例2 (1)化简： (0b
答案　D
解析　a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°，
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.
8.的值是 ．
答案　
解析　原式＝
＝
＝＝.

9.＝ .
答案　
解析　＝
＝＝.
10．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝ .
答案　
解析　由sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，
解得sin 2α＝－，
所以sin2＝
＝＝＝.
11．化简：·＝ .
答案　
解析　原式＝tan(90°－2α)·
＝··
＝··＝.
12．(2018·营口模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ .
答案　
解析　依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin
＝×＋×＝.

13．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　由3cos 2α＝sin可得
3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
又由α∈可知，cos α－sin α≠0，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.故选C.
14．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为 ．
答案　
解析　因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2
＝＋＝.



15．化简：·＝ .
答案　－4
解析　原式＝·＝·
＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.
16．已知α，β∈，且sin ＋cos ＝，sin(α－β)＝－，则sin β＝ .
答案　
解析　由sin ＋cos＝，平方可得sin α＝.
∵α∈，
∴cos α＝－.
又∵－