新高考数学一轮复习讲义5.3《平面向量的数量积》(2份打包，解析版+原卷版)

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§5.3　平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题. 1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则      称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)范围向量夹角〈a，b〉的范围是      ，且      ＝〈b，a〉.(3)向量垂直如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作      .2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称      )，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的      或在轴l的方向上的      .＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝      .3.向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝            ；②a⊥b⇔      ；③a·a＝    ，|a|＝；④cos〈a，b〉＝            ；⑤|a·b|   |a||b|.(3)向量数量积的运算律①交换律：a·b＝    .②对λ∈R，λ(a·b)＝      ＝      .③分配律：(a＋b)·c＝      .(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a·b＝            ；②a⊥b⇔            ；③|a|＝；④cos〈a，b〉＝            .概念方法微思考1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？ 2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？  题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量.(　 　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　 　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　 　)(4)(a·b)c＝a(b·c).(　 　)(5)两个向量的夹角的范围是.(　 　)(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(　  　)题组二　教材改编2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为________.题组三　易错自纠4.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.5.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的正投影为________.6.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.题型一　平面向量数量积的基本运算1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)A.8  B.10  C.11  D.122.(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)A.4  B.3  C.2  D.03.(2019·铁岭模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)A.  B.  C.  D. 题型二　平面向量数量积的应用 命题点1　求向量的模例1　(1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)A.1  B.2  C.3  D.4(2)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为(　　)A.4  B.2  C.  D.1命题点2　求向量的夹角例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为(　　)A.  B.  C.  D.(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.(2)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)A.  B.  C.  D.题型三　平面向量与三角函数例3  已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.      跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.(1)若m⊥n，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值.         1.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)A.充分不必要条件   B.必要不充分条件C.充要条件   D.既不充分也不必要条件2.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为(　　)A.1  B.－1  C.2  D.－23.(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于(　　)A.2  B.  C.  D.24.(2018·辽阳模拟)非零向量a，b 满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b 与b 夹角θ的大小为(　　)A.135°  B.120°  C.60°  D.45°5.(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的正投影为(　　)A.－1  B.1  C.－  D.6.(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)A.[－1,0]             B.[－1,2]         C.[－1,3]   D.[－1,4]7.(2018·营口模拟)若平面向量a，b满足·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________.8.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的正投影为________.9.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则·的值为________.10.已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2且a·b＝1，若e为平面单位向量，则(a－b)·e的最大值为________.11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.        12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求·(＋)的最小值.       13.已知O是△ABC内部一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)A.  B.  C.  D.14.(2019·阜新模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是(　　)A.  B.  C.  D.15.已知，是非零不共线的向量，设＝＋，定义点集A＝，当F1，F2∈A时，若对于任意的m≥3，当F1，F2不在直线PQ上时，不等式≤k恒成立，则实数k的最小值为________.  16.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求·的最大值.